Relatório Circuito RLC

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
Circuito RLC em série
	
	
	ACADÊMICOS: RA:
MILENA VERISSIMO DE OLIVEIRA 81889 
MATEUS GABRIEL MATOS 89515 
EUGÊNIO MARCONI ZAGO JUNIOR 82150
PROFESSOR: ARY 
	
Maringá
2015
1.Introdução 
 O fenômeno da ressonância ocorre em inúmeros campos da Física e é particularmente
importante em situações técnicas. J´a estudamos a ressonância em dois sistemas mecânicos ( a corda vibrante e o tubo sonoro ), sujeitos a oscilações forçadas de uma fonte externa.
 O que caracteriza as situações de ressonância é o seguinte:
• Em termos de frequência - A fonte externa vibra com uma frequência que corresponde a uma das frequências naturais do sistema.
• Em termos de energia - a energia transferida da fonte ao sistema receptor é máxima.
 Nesta unidade estudaremos as oscilações elétricas[5, 15, 19] e o fenômeno
da ressonância associados a um circuito RLC, que consiste de um resistor,
de resistência ( R ), um indutor, de indutância ( L ) e um capacitor
de capacitância ( C ), ligados em série, a uma fonte de fonte de tensão
alternada do tipo:
( ε )= εm cos (ω t).
Figura 1.1- Circuito RLC sob tensão alternada.
 
 Uma situação semelhante às oscilações elétricas, ocorre na Mecânica para um oscilador mecânico constituído de uma massa ( m ) e uma mola de constante elástica ( K ) e que é posto a oscilar, sob ação de uma força externa periódica.
1.2 - Representação vetorial de variáveis em corrente alternada
Uma variável ( A ) em corrente alternada ( AC ou CA ) pode ser expressa
genericamente por
 A = Ao cos(ωt + α) (1)
onde ( A0 ) é o seu valor de pico ( valor máximo ) e ( α ) a diferença de fase
entre a variável A e outra variável ( CA ), escolhida arbitrariamente como origem.
Usando o método denominado de vetores girantes ( fasores ), temos para a variável ( A ), dada pela Eq.(1), a representação vetorial da Fig.(1.2-a), onde o vetor Ã0, que representa o valor máximo de Ã, que gira com velocidade angular ( ω ).
Figura 1.2- Vetores girantes - fasores. [1]
 Podemos fazer uma representação semelhante para o circuito RLC da Fig.(19). Na Fig.(1.2-b) temos o diagrama vetorial para os valores máximos das tensões, em cada um dos elementos do circuito, e da corrente. O vetor ( I ) representa o valor máximo da corrente no circuito, o vetor VR = RI está em fase com I, o vetor VL = XLI está adiantado de 90o, em relação à corrente, e o vetor VC = XCI está atrasado de 90o, em relação à mesma origem.
 De acordo com o diagrama vetorial da Fig.(20-b), os valores instantâneos
da tens˜ao na fonte e da corrente no circuito são, respectivamente
 (2)
 (3)
onde I e V = são respectivamente, os valores máximos da corrente e da tensão fornecida ao circuito.
1.3 - Impedância no circuito RLC - série.
Fazendo uma analogia com vetores, e de acordo com o gráfico da Fig.(1.2-b ), temos:
 (4)
Obtemos para o módulo de V e para a impedância (Z = V/I) do circuito, respectivamente 
 (5)
 (6)
onde
XL = ω L - reatância indutiva;
- reatância capacitiva;
ω = 2πf - frequência angular da fonte.
O gráfico da Fig.(1.3), nos mostra como a resistência ( R ) do resistor e as reatâncias do indutor ( XL ) e do capacitor ( XC ) variam com a frequência angular.
Figura 1.3-Comportamento da resistência e das reatâncias em função da frequência angular.[1]
Verifica-se que à medida que frequência aumenta a reatância indutiva também aumenta e a reatância capacitiva diminui, enquanto a resistência permanece constante. [1]
1.4 - Potência média consumida em um circuito RLC
 De um modo geral, em um circuito RLC, a corrente e a tensão estão defasadas de um ângulo φ, observe a Fig.(1.2-b), onde φ é dado por:
 (7)
A potência instantânea, de acordo com as Eq.(3) e (4), é
 P = v i = V I cos (ω t ) cos(ωt + φ) (8)
Integrando a Eq.(8), no intervalo de tempo de um período, e multiplicando pelo inverso do período, obtemos a potência média consumida no circuito, conforme a equação
 (9)
onde
 e 
são respectivamente, os valores eficazes da tensão e da corrente. O cos φ é o fator de potência do circuito, podendo variar entre zero (φ = 90°) e a unidade para (φ = 0°). Um baixo valor para o fator de potência causa sérios problemas `as instalações elétricas, entre eles sobrecarga nos cabos e transformadores. [1]
1.5 - Ressonância no circuito RLC
Quando um circuito RLC se encontra na situação de ressonância, a f.e.m. (ε) está em fase com a corrente (φ = 0°).
Dessa forma, de acordo com a Eq.(46), |XL| = |XC| e a frequência da fonte externa ( ω ) passa a ser igual a frequência natural ( ) do circuito, ou seja
 , (10)
 e (11)
Além disso, a corrente e a potência consumida, no circuito, são máximas e, conforme as equações (5), (6) e (9), iguais a:
 i = I = (12)
 (13)
Figura 1.4- Fator de qualidade. [1]
Em resumo, em um circuito RLC - série: A condição de ressonância, além de tornar a impedância puramente resistiva e fazer com que o circuito oscile com a sua frequência natural (ω0 = 1/√LC), leva a corrente para um valor de pico. Nessa situação a potência transferida pela fonte ao circuito é máxima.
Teoricamente, ( R = 0 ), faria a corrente tender a infinito ( I→ ∞ ), de acordo com a Eq.(12). Na prática, porém, tal situação não ocorre, uma vez que o indutor e as partes do circuito sempre apresentam alguma resistência. [1]
1.6 - Seletividade e fator de qualidade
 Uma forma de se estudar as características de um circuito RLC é verificar a variação da corrente ( i ) no circuito com a frequência angular ( ω ). A Fig.(1.4), mostra um gráfico ( i ×ω ) para o referido circuito, com base em três valores diferentes para ( R ).
 Pela análise do gráfico, verifica-se que a frequência angular de ressonância ( ω0 ) ´e a mesma para as três curvas ( só depende de L e C ), porém, o pico de ressonância é mais acentuado para a menor resistência. As frequências ω1 e ω2, referentes a correntes I/√2 do valor máximo, são pontos de potência média e a separação entre eles ( ω) é chamada largura de banda do circuito.
 Quanto mais estreita a largura de banda, mais seletivo é o circuito, ou seja, é capaz de distinguir, com um pequeno intervalo de variação, uma dada frequência. Isto é importante nos circuitos receptores de rádio e televisão. Define-se fator de qualidade ( Q ) de um circuito como:
 (14)
 Um circuito com elevado fator de qualidade é altamente seletivo e, praticamente, só responde na frequência de ressonância. [1]
2.Objetivo
Estudar o comportamento de um circuito RLC - série, em função da frequência, no que se refere a:
• tensão em cada elemento do circuito;
• frequência de ressonância;
• impedância, reatância indutiva e
capacitiva;
• corrente no circuito;
• largura de banda e fator de qualidade.
3.Materiais e métodos
 3.1 Materiais
 Gerador de funções, frequencímetro, osciloscópio, indutor, capacitor, resistor, placa para montagem do circuito, cabos, jacarés.
 3.2 Métodos
 Com o auxílio da Eq.(11), calculou-se o valor da frequência natural de ressonância Montou-se o circuito RLC - série, conforme esquematizado na Fig.(3) e conectou-se o osciloscópio aos terminais do resistor, após, variou-se a frequência do gerador, até obter tensão máxima no resistor.
 Nesta situação, o gerador e o circuito ficaram em ressonância. Verificou-se se VL = VC e se a frequência lida no osciloscópio é aproximadamente igual à frequência natural calculada. Na situação de ressonância, mediu-se e anotou-se na tabela (4.1) os valores de , VR, VL, VC.
Figura 3- Montagem do circuito RLC.
4.Resultados
 Os resultados do experimento foram obtidos através da análise da variação da frequência a partir da frequência de ressonância do circuito. Como na tabela 4.1, anotou-se a variação de Vr, Vc e Vl. Logo, podendo assim, calcular os valores de W, i, Xl, Xc e X e construir gráficos de R x f, Xl x f, Xc x f, i x f e X x f como nas figuras 4.1, 4.2 e 4.3 respectivamente.
Tabela 4.1: Dados obtidos a partir da frequência de ressonância
	
	f (Hz)
	Vr (V)
	Vl (V)
	Vc (V)
	i (mA)
	W (rad/s)
	Xl (Ω)
	Xc (Ω)
	X (Ω)
	
	23370
	7,45
	25,6
	39,2
	74,23276
	146838,0406
	391,32338
	695,93683
	-304,613
	
	24510
	8,95
	28,8
	41,6
	89,17896
	154000,8719
	410,41232
	663,56767
	-253,155
	
	25430
	10,49
	33,6
	45,6
	104,52371
	159781,4024
	425,81744
	639,56129
	-213,744
	f1
	26450
	12,37
	39,2
	50,4
	123,25628
	166190,2514
	442,89702
	614,89768
	-172,001
	
	27930
	14,90
	47,2
	55,2
	148,46552
	175489,3656
	467,67916
	582,31449
	-114,635
	
	29070
	16,85
	52,8
	57,6
	167,89558
	182652,1969
	486,76810
	559,47863
	-72,7105
	f0
	30480
	17,55
	57,6
	56,0
	174,87047
	191511,4882
	510,37812
	533,59723
	-23,2191
	
	32790
	16,75
	56,1
	47,2
	166,89916
	206025,6462
	549,05835
	496,00621
	53,05214
	
	34890
	14,27
	50,4
	36,8
	142,18812
	219220,3354
	584,22219
	466,15201
	118,0702
	f2
	36920
	12,42
	44,8
	29,6
	123,75448
	231975,2015
	618,21391
	440,52123
	177,6927
	
	37870
	11,58
	43,2
	27,2
	115,38462
	237944,2276
	634,12137
	429,47039
	204,6510
	
	38780
	10,90
	40,8
	24,8
	108,60901
	243661,9262
	649,35903
	419,39256
	229,9665
	
	39630
	10,32
	39,2
	24,0
	102,82981
	249002,6337
	663,59202
	410,39727
	253,1948
Temos que a largura de banda é:
∆f = │f1 - f2 │= │26450 - 36920 │= 10470 Hz
Tendo que os valores nominais da capacitância, indutância e do resistor sendo:
C = 10,219 nF
R = 100, 36 Ω
L = 2,665 mH
Em destaque na tabela 4.1, temos o valor obtido da frequência de ressonância do circuito que foi de 30480 Hz. Portanto, calculando o fator de qualidade do circuito pela equação (14), temos que Q = 2.911.
Logo, usando a equação (11), temos que a frequência de ressonância nominal do circuito é de 30498 Hz. Tendo assim, um desvio percentual de:
∆% = (│f - fn│/ fn) * 100
∆% = 0,06%
Figura 4.1- R x f, Xl x f e Xc x f.
 	A partir dos gráficos mostrados a cima podemos ver que a reatância aumenta a medida que a frequência imposta no gerador afasta-se da frequência de corte. Ou seja, na frequência de corte a reatância é mínima e na frequência máxima e mínima ela é máxima. No caso do nosso experimento a frequência mínima imposta ao gerador proporcionou a maior reatância no valor de 253,1948Ω.
	Na frequência de ressonância XL = Xc; podemos ver que isso não ocorreu exatamente, mas teve pequena variação. Além disso, nessa frequência o i é máximo e isso pode ser observado na Tabela 4.1.
Figura 4.2: i x f
Figura 4.3: X x f
 A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a nas frequências de metade da potência.
De acordo com o gráfico podemos ver que a largura da banda é dada pela distância, na corrente efetiva, das linhas do gráfico acima ( Figura 4.2 ); temos então que variação de frequência na corrente de 17,55/(2)1/2 é aproximadamente igual a 12,41 kHz.
A qualidade do circuito, ou factor Q, é calculada como a razão entre a frequência de ressonância e a largura de banda (em radianos por segundo):
Ou, em hertz:
6) Para uma rádio com banda de larga de 0,05 MHz e f0 = 100,1 MHz, temos que Q = 2002. 
Discussão
No circuito RLC observa-se três tipos de sistemas; no começo quando trabalhamos em baixas frequências, observamos que XC > XL, portanto, trabalhamos em um circuito capacitivo. Na freqüência de ressonância, de acordo com o embasamento teórico, era de se esperar que XC = XL provando que o sistema estaria em ressonância, porem pode se observar que houve uma pequena variação tal que XL> XC. A Cima destas frequências pode-se observar o sistema começa trabalhar de forma indutiva tal que XL > XC.
Conclusão
Os gráficos encontrados experimentalmente foram extremamente satisfatórios tanto nos que relacionava tipos de resistências, voltagens e nos fatores de qualidade, onde pudemos encontrar, no circuito RLC, banda de larga próxima de 12,4 kHz. Pudemos, na introdução teórica analisar a diferença de fasores para os diferentes tipos de voltagem e da corrente, e por fim, aprender a relação desses circuitos com o funcionamento das rádios e qual a verdadeira importância da frequência de corte para a natureza desses circuitos.
Bibliografia
[1] Weinand, Wilson Ricardo. Avila, Ester. Hibler, Mateus Irineu. Circuitos série sob tensão alternada e ótica. Apostila de Física Experimental. Disponível em: <http://www.dfi.uem.br/dfinova3/textos/ca_oticair.pdf> . Acesso em 31 de novembro de 2015
 [2] D. Halliday e R. Resnick – Física 4 –1984.
 [3]T. J. Bonagamba – Apostila de Laboratório de Ensino –Vol. 3 – USP, São Carlos – 1994.