GMG106-Aula 02

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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinações compatíveis de elementos de simetria, Grupos Pontuais, Classes Cristalinas e Sistemas Cristalinos
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Elementos de Simetria: revisão
1) Rotação: eixos de simetria (En - em inglês, An, de axis);
2) Reflexão: planos de simetria (m – de mirror, espelho);
3) Inversão: centro de simetria (i – de inversão);
Os elementos de simetria podem ser:
a) próprios (objetos direitos geram apenas objetos direitos, e vice-versa) – eixos de simetria simples;
b) impróprios (objetos direitos geram objetos esquerdos, e vice-versa) – planos, centro de simetria e eixos de roto-inversão
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Eixos de simetria simples:	n = 360º / θ
	n = ordem do eixo (repetição da feição em uma volta)
	θ = ângulo de rotação por operação
Eixos possíveis:
			E1 – monário 		(θ=360o)	
			E2 – binário		(θ=180o) 		
			E3 – ternário		(θ=120o) 				E4 – quaternário	(θ=90o) 
			E6 – senário		(θ=60o) 
Obs: E5 e En>6 não são compatíveis com retículos cristalinos!
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Eixo próprio ternário – E3 – exemplo:
(Gravura de Escher)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Eixo próprio quaternário – E4 – exemplo:
(gravura de Escher)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Eixos próprios: projeções ortográficas
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Centro de Simetria (i):
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Centro de simetria (i)
	E = i
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Plano de simetria (m):
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E	 	θ = 180º + inversão
E = m
(m ortogonal ao eixo)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
E	 	θ = 120º + inversão
			= E3 + i
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
E	 	θ = 90º + inversão
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
E	 	θ = 60º + inversão
Obs: E = E3/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Eixos impróprios – projeções ortográficas
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinação dos elementos de simetria da morfologia externa de cristais (eixos próprios e impróprios, planos, centro de simetria): combinações compatíveis através de um ponto (que coincide com o centro de simetria i, quando este existe).
As combinações possíveis são limitadas: os elementos de simetria agem uns sobre os outros, gerando novos elementos; na grande maioria dos casos, combinações aleatórias de elementos geram simetria infinita (que corresponde à simetria de uma esfera perfeita).
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinações de eixos de simetria próprios: necessariamente, combinados três a três.
Combinações compatíveis: definidas através do triângulo esférico de Euler – cada vêrtice corresponde a um eixo de simetria (de ordem x, y e z) e os ângulos internos do triângulo são, respectivamente, a metade do ângulo de rotação de cada eixo (θx/2, θy/2 e θz/2).
Em um triângulo esférico:
		180o < θx/2 + θy/2 + θz/2 < 540o
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
180o < θx/2 + θ θy/2 + θz/2 < 540o, e:
θ = 360o/n, logo:	 
θ x = 360o/x; 	θy = 360o/y; e	θz = 360o/z
Substituindo e dividindo por 180o:
1 < 1/x + 1/y + 1/z < 3
Ou seja: apenas as combinações de 3 eixos que respeitam esta desigualdade são possíveis!
(Exceções: 2,4,4; 3,3,3; 3,3,4; 3,4,4; e 4,4,4 – nestes casos, o triângulo de Euler é indeterminado)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinações de eixos próprios possíveis:
	X	=	4	 2	6	4	2	 3
	Y	=	3	 3	2	2	2	 2
	Z	=	2	(3)*	2	2	2	(2)*
Ângulos entre os eixos: definidos em função da lei dos cosenos para triângulos esféricos.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
cos X  Y = cos θz/2 + (cos θx/2)*(cos θy/2)
				(sen θx/2)*(senθy/2)
cos Y  Z = cos θx/2 + (cos θy/2)*(cos θz/2)
				(sen θy/2)*(senθz/2)
cos X  Z = cos θy/2 + (cos θx/2)*(cos θz/2)
				(sen θx/2)*(senθz/2)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Tríades de eixos próprios compatíveis e os seus ângulos interaxiais correspondentes:
X		Y	 Z	X Y		X Z		Y Z
2		2	 2	90o		90o		90o
3		2	(2)	90o		90o		60o
4		2	 2	90o		90o		45o
6		2	 2	90o		90o		30o
4		3	 2	54o44’	45o		35o16’
2		3	(3)	54o44’	54o44’	70o32’
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinações de eixos próprios e impróprios: só é possível sendo um próprio e dois impróprios (Por quê?)
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 	2 2 2 = 2mm (mm2) 		6 2 2 = 6mm
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	3 2 (2) = 3m(m) 			6 2 2 = 62m
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	4 2 2 = 4mm			4 3 2 = 43m
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	4 2 2 = 42m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinação de eixos com centro de simetria (i):
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	1 + i = 1 			222 + i = 2/m 2/m 2/m
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	2 + i = 2/m	 		32 + i = 3 2/m 		
 _	
	3 + i = 3			422 + i = 4/m 2/m 2/m
	4 + i = 4/m			622 + i = 6/m 2/m 2/m
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	6 + i = 6/m 			23 + i = 2/m 3
	 _
					432 + i = 4/m 3 2/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinações de eixos com planos de simetria:
Eixo normal aos planos:
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	2/m;	3/m = 6;		4/m;		6/m;
Eixo contido nos planos:
	2mm (= mm2);	 3m(m); 	4mm;		6mm
		 _	 _ _ _ _	 
- Obs: 2/m = m; 3/m = 6; 4/m = 4/m; 6/m = 6
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Todas as combinações compatíveis de elementos de simetria através de um mesmo ponto: 32 combinações distintas = 32 Grupos Pontuais.
Classe Cristalina: conjunto de todas as substâncias cristalinas (naturais e artificiais, orgânicas e inorgânicas) que possuem simetria externa compatível com um mesmo Grupo Pontual. Portanto: há 32 Classes Cristalinas.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Símbolos dos Grupos Pontuais e Classes Cristalinas: nomenclatura de Hermann-Mauguin.
X2(2) – eixo de simetria principal na direção X, com conjuntos de eixos de ordem 2 perpendiculares a ele e relacionados entre si pela operação do eixo em X;
X3Z – eixo de ordem 3 como 2o dígito: orientação dos eixos referível ao cubo-guia;
X/m – eixo com plano perpendicular a ele;
Xmm – eixo na direção X, na intersecção de conjuntos de planos de simetria relacionados entre si pela sua operação.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplo de Classe Cristalina: 4/m 2/m 2/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplo de Classe Cristalina: 422 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
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Exemplo de Classe Cristalina: 4/m 3 2/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Notação de Schoenflies – utilizada em Espectroscopia:
C1, C2, C3, C4 e C6 = 1, 2, 3, 4 e 6
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Ci = 1; Cs = m
C2h = 2/m; C3h = 3/m = 6; C4h = 4/m e C6h=6/m
D2 = 222; D3 = 32; D4 = 422; D6 = 622
D2h = 2/m2/m2/m; D4h = 4/m2/m2/m; D6h = 6/m2/m2/m; 
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D2d = 42m; D3d = 32/m; D3h = 6m2
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Sistemas Cristalinos: referencial espacial (sistema de eixos com ângulos interaxiais e constantes lineares variáveis) para posicionar os elementos de simetria e elementos morfológicos de cristais.
Os 7 Sistemas: cúbico, tetragonal, trigonal, hexagonal, ortorrômbico, monoclínico e triclínico.
As 32 Classes Cristalinas são distribuídas entre os 7 Sistemas Cristalinos (ou 6 Sistemas)
segundo a sua simetria mínima ou característica.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Triclínico: 1, 1		Monoclínico: 2, m, 2/m
 
Ortorrômbico: 222, mm2, 2/m 2/m 2/m
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Tetragonal: 4, 4, 4/m, 42m, 422, 4mm, 4/m 2/m 2/m
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Trigonal: 3, 3, 3m, 32, 3 2/m
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Hexagonal: 6, 6, 6/m, 6m2, 622, 6mm, 6/m 2/m 2/m
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Cúbico: 23, 2/m 3, 432, 43m, 4/m 3 2/m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
A Cruz Axial genérica:
Constantes lineares: 
		a, b, c
Constantes angulares:
	 = b  c
	 = a  c
	 = a  b
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
	 A cruz axial para os 7 sistemas cristalinos:
		Obs: sistemas trigonal e hexagonal – mesma cruz!
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Características da Cruz Axial para os 7 Sistemas:
Triclínico: 		a ≠ b ≠ c, 	 ≠  ≠  ≠ 90º
Monoclínico: 	a ≠ b ≠ c, 	 =  = 90º ≠  (>90º)
Ortorrômbico:	a ≠ b ≠ c, 	 =  =  = 90º 
Tetragonal:	 	a = b ≠ c, 	 =  =  = 90º
					(a1 = a2 ≠ c)
Cúbico:		 a = b = c, 	 =  =  = 90º
					(a1 = a2 = a3)
Hexagonal / Trigonal: a = b ≠ c,  =  = 90º ≠  = 120º 
					(a1 = a2 = a3 ≠ c)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Orientação dos elementos de simetria em relação à Cruz Axial:
Um eixo X de simetria diferenciado: // c (sistemas trigonal, hexagonal e tetragonal). Se houver conjuntos E2: // a1, a2 (e a3), e nas bissetrizes;
Se houver 4 E3 ou 4E (sistema cúbico) orientação segundo o cubo-guia;
Apenas 1E2 e/ou 1m: E2 // b, m  b;
Apenas 3E2: // a,b,c; ou: 1E2 e 2m: E2 // c, m  a,b
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Sistema cúbico = 4 E3 ou 4E - ver cubo-guia:
1º Dígito: elemento normal 
às faces do cubo;
2º Dígito: elemento situado
nos vêrtices (eixos E3);
3º Dígito: elemento normal
ás arestas do cubo.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Exemplos do sistema cúbico: _ 
		Classe 23			Classe 4/m 3 2/m