Matrizes: Conceito, Propriedades e Operações

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MATRIZES
1. Conceito: dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se mxn) toda tabela M formada por números reais distribuídos e m linhas e n colunas. Representamos uma matriz escrevendo os elementos entre parênteses ou colchetes.
Exemplo:
 a) 	2	5	7 é matriz do tipo 2 x 3 
	-3	0	1
 b)	-1	0 é matriz do tipo 3 x 2
-3
1
2. Representação
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas e seus elementos, por uma letra minúscula acoplada de dois índices: o primeiro indica a linha à qual o elemento pertence e o segundo indica a sua coluna.
Por exemplo, uma matriz A do tipo 2 x3 é representada por:
 A = 	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
Exemplo: Construa uma matriz B4x2 onde b ij = 2i + j
3. Propriedades
3.1. Matriz Quadrada: quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Essa matriz possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.
A = 	3	4	1
	2	0	1
	1	4	8
3.2. Matriz diagonal: quando sua diagonal principal possui os elementos diferentes de zero e os demais todos nulos.
B = 	2	0	0	
	0	1	0
	0	0	7
3.3. Matriz identidade ou unidade: quando a diagonal principal vale 1 e os demais zero.
C = 	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1
3.4. Matriz oposta: duas matrizes são opostas quando cada um de seus elementos são opostos.
D = 	4	9			- D = 	-4	-9
	2	-3					-2	3
3.5. Igualdade de matriz: duas matrizes são iguais quando cada um de seus elementos são iguais.
E = 	1	6	-4		F = 	1	6	-4
	0	2	0			0	2	0
3.6. Matriz Transposta (At): quando as linhas de uma matriz são iguais as colunas da outra.
G =	1	0		Gt =	1	-2	4
	-2	3			0	3	5
5
Exemplos:
1. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A é nula.
A =	x + 1		0
 y – 2
2.Calcule o valor de a e b sabendo que as matrizes são iguais.
	1	a+4	=	1	5
	2	 b2		2	4
Exercício
1. Dada a matriz A = 	0	 3
			1	-2
-1
Classifique A quanto ao tipo:
Determine os elemento a31, a22, a13
Obtenha – A
2. Escreva as matrizes:
A = (aij) 2x3 tal que aij = 2i+ 3j
B = (bij) 2x3 tal que bij = i.j
C = (cij) 2x3 tal que cij = 	i2 	se i = j
					i + j 	se i ( j
D = (dij) 2x3 tal que dij = ij
3. Dê o valor de x, y e z sabendo que a matriz A é nula.
A = 	x 	y+2		z2 –4
	0	z+2		y3 +8
4. Sabendo que a matriz A é matriz diagonal, calcule x, y e z.
A =	x		0		0
	x+2		2y		y-1
	z-4		0		3x
5. Escreva a matriz A = (aij) 2x2 tal que aij = i + j.
6. Calcule a soma e o produto dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij) 4x4 tal que aij =	i2 + j – 1 	se i = j
	i + j		se i ( j
7. Encontre os valores desconhecidos, sabendo que:
a) (	x	0	z	-3) =	( 1	y	2	-3)
b) 	x + y	 =	 10
	x – y		 4
	
8. Escreva a matriz transposta da matriz 	A = (aij) 3x3 tal que aij = i – 2j
9. Dada a matriz A = 	1	4	calcule o valor de a sendo A = At
			a2	3
10. Sendo A = (aij) 3x2tal que aij = 2i – 3j, determine – A, At e a soma dos elementos da 2º coluna com os da 2º linha.
4. Operações com matrizes.
4.1 Adição e subtração de matrizes: deve-se operar com cada elemento respectivamente. Para isso elas devem ser do mesmo tipo (mesma quantidade de linha e coluna)
A = 	0	1	3		B = 	1	-1	2
	-2	5	0			3	-4	5
Determine A+B e A – B
4.2. Multiplicação de um número real por uma matriz: o número real indicado deve multiplicar todos os termos da matriz.
	3.	1	-2
3
4.3. Multiplicação de matrizes: para efetuar essa operação, multiplicamos as linhas da 1ª matriz pela coluna da 2ª matriz; só definimos esse produto se o número de colunas da 1ª matriz for igual ao número de linhas da 2ª matriz.
	1	2	3		4	0
	1	1	5	.	7	1
					2	2
Exercício 
1. Determine x e y de modo que se tenha		2x	3y	=	x+1	2y
								3	4		3	y+4
2. Determine x, y, z e t de modo que se tenha	 x2	2x	 y	=	x	x	3
								 4	5	 t2		z	5t	t
3. Calcule a soma das matrizes A = (aij) 3x3 e B = (bij) 3x3 tais que aij = i2 + j2 e bij = 2ij.
4. Seja C a matriz soma de A = 	0	1	2	e	B =	 6	7	8
						3	4	5			 9	10	11
Calcule a soma c21 + c22 + c23.
5. Determine, a, b, c, d de modo que se tenha:
	a	1	+	2	b	=	3	2
	1	2		0	-1		c	d
6. Represente matriz A= (aij) 2x3 tal que aij = 5i – j .
7. Sendo a matriz A= (aij) 3x3 tal que aij = i , se i = j , obtenha At .
					 j , se i ≠ j	
8. São dados as matrizes A = 3 4 6 , B = 1 2 3 e C = 3 0
			 2 -8 3 8 1 -9 5 -4
								 1 2
 	
Determine: 
A + B
2A – B
B – (2A + Ct)
9. São dados as matrizes A = 2 1 , B = 4 3 1 , C = 4 , D = ( 3 2 )
 				 3 4 2 5 6 5
Determine
A . B
A . C
C . D
B . D
(A . B) . E
A . ( B . E)
10. Determinar a matriz X tal que 5 1 . X = 9
 4 1 7
5. Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir uma matriz tal que o produto dessa matriz por sua inversa é igual a matriz identidade.
	A . A-1 = I
Exemplo
Determine a inversa da matriz A =	3	2
	2	2
Determine a inversa da matriz B =	4	2	-1
	1	1	2
	2	3	1
Exercício
1. Determine, se existir, a inversa das matrizes abaixo:
a)	4	5	b)	3	1	c)	1	0
	3	4		5	2		0	0
2. Seja A =	1	2	e B a matriz inversa de A. Calcule o valor de b21 + b22.
		1	4
3. Dadas as matrizes A = 2 -4 , B = 3 -6 e C = -1 0 , calcule:
			 6 2 -3 0 2 -3
A + B + C
A + B – C 
3A + 2B – 5C 
(A+B)t – C t
(2A)t – B + 3C
4. Dê os valores de x, y e z de modo que:
	x 0 1 + -5 1 3 = 7 1 4
	3 2 -4 -2 y 0 1 5 z
5. Sabendo que A = (aij) 2x2 tal que aij = i2 – j2 e B = (bij) 2x2 tal que bij = i2 + j2 , determine os elementos c12 e c21 da matriz C, sendo C = 2A – 3B
6. Sendo A = (1 0 1) e B = ( 2 0 2 ) , ache a matriz X de modo que 3X–B =A.
		 -1 1 -1 -2 2 -2
		 0 0 1 0 0 2
7. Efetue as multiplicações:
a) 1 0 5 -3
 -2 3 . 1 2
 0 4 
b) 1 0 1 1 1
 0 2 0 . 2 2
 3 3
c) 2 -1 1 0 1 -2
 0 3 5 . -1 3 4
 1 0 2 2 1 0
d) (1 3 0) . 2
		 0
 		 -1
8.Sendo A = 1 0 B = 3 -2 e C = 0 -3 , determine
		 2 -1 1 4 -2 5
A . B. C
(A + B) . C
9. Sendo A = 1 4 e B = 14 4 , determine a matriz X de modo que A . X = B.
		 1 2 8 2 
10. Calcule x, y e z de modo que as matrizes A=	x	1 	e B =	0	x
Sejam uma a inversa da outra. 			1	y		1	z
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