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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas. Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com ∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = . a) q . . . C b) {q} . . . C c) w . . . C d) {p, q, w} . . . C e) {p, a, b, q} . . . C Soluc¸a˜o: Os elementos de C sa˜o formados pelas letras a, b, p e q do alfabeto portugueˆs. a) q ∈ C, pois q e´ elemento do conjunto C. b) {q} ⊂ C, pois {q} e´ um conjunto em que todos os seus elementos, neste caso, q e´ seu u´nico elemento, tambe´m pertencem ao conjunto C. c) w 6∈ C, pois w na˜o e´ um elemento do conjunto C. d) {p, q, w} 6⊂ C, pois para que {p, q, w} seja subconjunto de C, todos os seus elementos deveriam ser elementos de C e, como vimos no item c), w na˜o e´ elemento de C. e) {p, a, b, q} = C. Apesar dos elementos de {p, a, b, q} e C na˜o aparecerem na mesma ordem, os dois conjuntos possuem os mesmos elementos, logo eles sa˜o iguais. Exerc´ıcio 2 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos conjuntos a seguir. a) A = {x ∈ U | x < 0} b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0} c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10} d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0} Me´todos Determin´ısticos I EP1 2 Soluc¸a˜o: a) O conjunto A e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que x e´ negativo. Logo, A = {−3,−5,−1}. b) B e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que a soma de treˆs termos e´ igual a zero. O primeiro termo e´ o quadrado de x, o segundo termo e´ x e o terceiro termo e´ o sime´trico de 20. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do ca´lculo de x2 + x− 20. x x2 + x− 20 −3 (−3)2 + (−3)− 20 = 9− 3− 20 = −14 −5 (−5)2 + (−5)− 20 = 25− 5− 20 = 0 1 (1)2 + (1)− 20 = 1 + 1− 20 = −18 3 (3)2 + (3)− 20 = 9 + 3− 20 = −8 4 (4)2 + (4)− 20 = 16 + 4− 20 = 0 −1 (−1)2 + (−1)− 20 = 1− 1− 20 = −20 0 (0)2 + (0)− 20 = 0 + 0− 20 = −20 Notamos que a soma e´ zero quando x assume os valores −5 e 4. Portanto, B = {−5, 4}. c) C e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o resultado do ca´lculo de −x− 7 seja igual a 10. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do ca´lculo de −x− 7. x −x− 7 −3 −(−3)− 7 = 3− 7 = −4 −5 −(−5)− 7 = 5− 7 = −2 1 −(1)− 7 = −1− 7 = −8 3 −(3)− 7 = −3− 7 = −10 4 −(4)− 7 = −4− 7 = −11 −1 −(−1)− 7 = 1− 7 = −6 0 −(0)− 7 = 0− 7 = −7 Notamos que o resultado do ca´lculo de −x− 7, na˜o e´ igual a 10 para nenhum valor de x em U . Portanto, B = ∅. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 3 d) D e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o quadrado de x e´ maior ou igual a zero. Como o quadrado de qualquer nu´mero e´ maior ou igual a zero, segue que D = U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir, sa˜o iguais. a) A = { x ∈ U ∣∣ x− 3 2x = 0 } , B = { x ∈ U ∣∣ x > 0}. b) A = { x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}. Soluc¸a˜o: a) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que • A = { x ∈ U ∣∣ x− 3 2x = 0 } = {3}. Pois, pela Tabela ??, somente para x = 3, temos que a expressa˜o x− 3 2x e´ igual a zero. • B = {x ∈ U ∣∣ x > 0} = {3, 5}. Pois somente os elementos 3 e 5 de U sa˜o positivos. Portanto, como A e B na˜o tem os mesmos elementos, segue que A e B na˜o sa˜o iguais. Tabela 1: Exerc´ıcio ??–a) x x− 3 2x 3 3− 3 2(3) = 0 6 = 0 5 5− 3 2(5) = 2 10 = 1 5 −1 (−1)− 3 2(−1) = −1− 3 −2 = −4 −2 = 4 2 = 2 −7 (−7)− 3 2(−7) = −7− 3 −14 = −10 −14 = 5 7 −5 (−5)− 3 2(−5) = −5− 3 −10 = −8 −10 = 4 5 −2 (−2)− 3 2(−2) = −2− 3 −4 = −5 −4 = 5 4 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 4 b) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que • A = {x ∈ U ∣∣ x < −2} = {−5,−7}. Pois, somente os elementos −5 e −7, de U , sa˜o menores que −2. • B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0} = {−5,−7}. Pois pela Tabela ??, somente quando x assume os valores −5, −7, temos que a expressa˜o x2 + 12x+ 35 e´ igual a zero. Portanto, como A e B tem os mesmos elementos, segue que A e B sa˜o iguais. Tabela 2: Exerc´ıcio ??–b) x x2 + 12x+ 35 3 (3)2 + 12(3) + 35 = 9 + 36 + 35 = 80 5 (5)2 + 12(5) + 35 = 25 + 60 + 35 = 120 −1 (−1)2 + 12(−1) + 35 = 1− 12 + 35 = 24 −7 (−7)2 + 12(−7) + 35 = 49− 84 + 35 = 0 −5 (−5)2 + 12(−5) + 35 = 25− 60 + 35 = 0 −2 (−2)2 + 12(−2) + 35 = 4− 24 + 35 = 15 Exerc´ıcio 4 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados. A soluc¸a˜o encontra-se na Fi- gura ??. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 5 Figura 1: Exerc´ıcio ?? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 6 Exerc´ıcio 5 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o conjunto C. a) Determine A ∪B. b) Determine A ∩B. c) Determine B − A. d) Determine A−B. e) Determine B × A. f) Determine A×B. g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? Soluc¸a˜o: a) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}. b) A ∩B = {3}. c) B − A = {4, 5}. d) A−B = {1, 2}. e) B × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}. f) A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}. g) Na˜o e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C pois ele poderia ser qualquer um dos seguintes conjuntos: {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 6},{1, 2, 6}, {1, 3, 6}, {1, 6}, {2, 6},{3, 6}, {6}. (Verifique fazendo a unia˜o de cada um destes conjuntos com A). h) Sim, e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C. Ja´ que dos conjuntos declarados acima, o u´nico cuja intersec¸a˜o com A da´ {2, 3} e´ o {2, 3, 6}. Logo, C = {2, 3, 6}. Exerc´ıcio 6 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W . Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine: a) n(A ∩B) b) n(A−B). c) n(B − A). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 7 Soluc¸a˜o: Vamos denotar por x, y e z, o nu´mero de elementos em A ∩B, A−B e B −A, ou seja n(A ∩B) = x, n(A−B) = y, n(B − A) = z. Vamos representar no diagrama de Venn essas informac¸o˜es. A B x y z Como n(A ∪B) = 23, segue que x+ y + z = 23. Como n(A) = 15, segue que x+ y = 15. Como n(B) = 11, segue que x+ z = 11. Assim,substituindo x + y = 15 em x + y + z = 23, obtemos que 15 + z = 23. O que significa que z = 8. Substituindo z = 8 em x+ z = 11, obtemos que x+ 8 = 11, donde segue que x = 3. E, finalmente substituindo x = 3 em x+ y = 15, obtemos que 3 + y = 15, ou seja, y = 12. Portanto, n(A ∩B) = 3, n(A−B) = 12, n(B − A) = 8. Exerc´ıcio 7 Em um grupo de 100 crianc¸as: • 80 sa˜o meninas. • 50 teˆm menos de 10 anos. O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´: (a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova elaborada pelo CNE/UFRJ Soluc¸a˜o:Na figura abaixo, o retaˆngulo, o c´ırculo a` esquerda e o c´ırculo a` direita representam, respectivamente, o conjunto das crianc¸as, das meninas e das crianc¸as com menos de 10 anos. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 8 crianc¸as meninas crianc¸as com menos de 10 anos x y z w Conforme a figura, representamos pelas letras x, y, z e w o nu´mero de elementos dos seguintes conjuntos. x: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que teˆm menos de 10 anos; y: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que na˜o tem 10 anos; z: nu´mero de elementos do conjunto dos meninos que teˆm menos de 10 anos; w: nu´mero de elementos dos meninos que na˜o teˆm menos de 10 anos. Queremos determinar qual e´ o menor valor que pode ser assumido por y. Sabemos que x+ z = 50. Isto significa que x e´ no ma´ximo 50. Como x+ y = 80, devemos ter y maior ou igual a 30. Logo, a resposta correta e´ a alternatica (d). Exerc´ıcio 8 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o seguinte resultado: 1100 leˆem o JB; 1300 leˆem o Estado; 1500 leˆem a Folha; 300 leˆem a JB e o Estado; 500 leˆem a Folha e o Estado; 400 leˆem a Folha e o JB; 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado; E´ correto afirmar que: (a) 600 pessoas leˆem apenas o JB. (b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado. (c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais. (d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha. (e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 9 Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Soluc¸a˜o: Para resolver uma questa˜o deste tipo e´ importante que voceˆ saiba que quando se diz algo como “1500 leˆem a Folha”, isso significa que ha´ 1500 pessoas no conjunto das pessoas que leˆem a Folha, mas que algumas destas 1500 podem pertencer a outros conjuntos, isto e´, podem estar na intersec¸a˜o do conjunto das pessoas que leˆem a Folha com o das pessoas que leˆem o JB, por exemplo. Uma sugesta˜o para resolver este tipo de questa˜o e´ desenhar o diagrama de Venn e comec¸ar a escrever o nu´mero de elementos sempre a partir das intersec¸o˜es. Neste caso, por exemplo, vamos usar as informac¸o˜es que foram dadas (contidas no resultado) de baixo para cima, isto e´, comec¸amos anotando a u´ltima informac¸a˜o no diagrama de Venn, pois ela e´ a que fornece a intersec¸a˜o entre os treˆs conjuntos de leitores. Ou seja, 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado. 100 Folha JB Estado Depois, usamos as informac¸o˜es que dizem respeito a intersec¸a˜o de dois conjuntos. A saber: 400 leˆem a Folha e o JB : observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem o Estado, logo as que leˆem apenas a Folha e o JB sa˜o 300 (= 400− 100); 500 leˆem a Folha e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem o JB, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 400 (= 500− 100); 300 leˆem a JB e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem a Folha, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 200 (= 300− 100); Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 10 100 Folha JB Estado 300 400 200 A seguir, usamos as outras informac¸o˜es obtidas no resultado 1100 leˆem o JB : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o Estado ou a Folha, isto e´, 600 pessoas (= 300+100+200). Logo, sa˜o 500 (= 1100− 600) pessoas que leˆem apenas o JB. 1300 leˆem o Estado: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o JB ou a Folha, isto e´, 700 pessoas (= 400 + 100 + 200). Logo, sa˜o 600 (= 1300− 700) pessoas que leˆem apenas o Estado. 1500 leˆem a Folha: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o Estado ou o JB, isto e´, 800 pessoas (= 400 + 100 + 300). Logo, sa˜o 700 (= 1500− 800) pessoas que leˆem apenas a Folha. 100 Folha JB Estado 300 400 200 700 500 600 Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ pessoas que na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais. No total foram entrevistadas 3600 pessoas. Ja´ temos 2800 no diagrama. Conclu´ımos que 800 (= 3600− 1800) pessoas na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 11 100 Folha JB Estado 300 400 200 300 500 600 800 Portanto, a resposta e´ a alternativa (d). Exerc´ıcio 9 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000 pessoas em um supermercado, sendo constatado que: 1440 consomem ervilhas; 1350 consomem milho; 1500 consomem palmito; 540 consomem ervilhas e milho; 750 consomem milho e palmito; 450 ervilhas e palmito; 150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados; a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos. b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exerc´ıcio representando as informac¸o˜es dadas no diagrama de Venn. Sabemos que neste tipo de questa˜o devemos comec¸ar com o nu´mero de consumidores na intersec¸a˜o dos conjuntos envolvidos. Vamos chamar este nu´mero de x. Ou seja, x representa o nu´mero de elementos do conjunto dos consumidores de palmito, de milho e de ervilha. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 12 x Palmito Milho Ervilha entrevistados Em seguida, utilizamos as informac¸o˜es sobre a intersec¸a˜o de dois conjuntos. 540 entrevistados consomem ervilhas e milho : observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem palmito, logo as que consomem apenas ervilhas e milho sa˜o 540− x; 750 entrevistados consomem milho e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem ervilhas, logo as que consomem apenas milho e palmito sa˜o 750− x; 450 entrevistados consomem ervilhas e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem milho, logo as que consomem apenas ervilhas e palmito sa˜o 450− x; x a b c Palmito Milho Ervilha entrevistados 750− x 450− x 540− x A seguir, usamos as informac¸o˜es sobre o nu´mero de elementos de cada conjunto. 1440 entrevistados consomem ervilhas : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que, ale´m de consumirem ervilhas, consomem tambe´m milho ou palmito.Ou seja, que representam as (540− x) + x+ (450− x) = 990− x Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 13 pessoas que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1440− (990− x) = 450 + x as pessoas que consomem apenas ervilhas. 1350 entrevistados consomem milho: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo con- tadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem milho, consomem tambe´m ervilhas ou palmito, que representam as (540− x) + x+ (750− x) = 1290− x pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1350− (1290− x) = 60 + x as pessoas que consomem apenas milho. 1500 entrevistados consomem palmito: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo contadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem palmito, consomem tambe´m ervilhas ou milho, que representam as (450− x) + x+ (750− x) = 1200− x pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1500− (1200− x) = 300 + x as pessoas que consomem apenas palmito. x 300 + x 60 + x 450 + x PalmitoMilho Ervilha entrevistados 750− x 450− y 540− z Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ 150 entrevistados que na˜o consomem nenhum dos produtos. Vamos, colocar essa informac¸a˜o no diagrama de Venn. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 14 x 300 + x 60 + x 450 + x Palmito Milho Ervilha entrevistados 750− x 450− y 540− z 150 Observe que o nu´mero de entrevistados que consomem milho ou ervilha ou palmito e´ igual a (300 + x) + (750− x) + x+ (450− x) + (60 + x) + (540− x) + (450 + x) = 2550 + x. Desta forma, como, no total, foram entrevistadas 3000 pessoas e descobrimos que 2550+x consomem milho ou ervilha ou palmito e 150 na˜o consomem nenhum dos treˆs produtos, conclu´ımos que 3000 = (2550 + x) + 150. Resolvendo a equac¸a˜o acima, segue que 3000 = 2700 + x. De modo que x = 300. Conhecendo o valor de x, podemos responder os itens. a) O nu´mero de entrevistados que consomem os treˆs produtos e´ representado por x. Desta forma, temos que 300 entrevistados consomem os treˆs produtos. b) O nu´mero de entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ obtido a partir do diagrama. Temos que • 300 + x = 300 + 300 = 600 consomem apenas palmito; • 60 + x = 60 + 300 = 360 consomem apenas milho; • 450 + x = 450 + 300 = 750 consomem apenas ervilha. Portanto, os entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ dado pela soma 600 + 360 + 750 = 1710. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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