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Matema´tica Aplicada - Lista 2
1. Descreva os conjuntos de pontos no espac¸o cujas coordenadas satisfac¸am as
desigualdades ou combinac¸o˜es de equac¸o˜es e desigualdades abaixo:
(a) x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0;
(b) x ≥ 0, y ≤ 0, z = 0;
(c) x2 + y2 + z2 ≤ 1;
(d) x2 + y2 + z2 > 1;
(e) x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0;
(f) x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0.
2. (a) Determine um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e
R;
(b) Calcule a a´rea do triaˆngulo PQR. P(0,0,0), Q(1,-1,1), R(4,3,7).
3. (a) Seja P um ponto na˜o pertencente a` reta L que passa pelos pontos Q e
R. Mostre que a distaˆncia d do ponto P ate´ a reta L e´
d = |~a×
~b|
|~a|
onde~a =−→QR e~b =−→QP;
(b) Utilize a expressa˜o da parte (a) do exercı´cio para determinar a distaˆncia
do ponto P(1,1,1) a` reta que passa por Q(0,6,8) e R(-1,4,7).
4. Encontre equac¸o˜es para as esferas com o centro e o raio dados por:
(a) Centro: (1,2,3), raio: √14;
(b) Centro: (0,-1,5), raio: 2.
5. Encontre o centro e o raio da esfera 2x2 +2y2 +2z2 + x+ y+ z = 9.
6. Dados os vetores na˜o-nulos ~u, ~v e ~w, use as notac¸o˜es de produto escalar e
produto vetorial para descrever o seguinte:
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(a) A projec¸a˜o ortogonal de~u em~v;
(b) Um vetor ortogonal a~u e~v;
(c) Um vetor ortogonal a~u×~v e ~w;
(d) O volume do paralelepı´pedo determinado por~u,~v e ~w.
7. Uma chave de boca com 30 cm de comprimento posicionada ao longo do
eixo y aperta um parafuso colocado na origem. Considere uma forc¸a apli-
cada no final do cabo da chave com direc¸a˜o dada por 〈0,3,−4〉. Determine
o mo´dulo da forc¸a necessa´ria para que o torque resultante no parafuso seja
de 100 J.
8. Determine a equac¸a˜o na forma parame´trica da reta obtida pela intersecc¸a˜o
dos planos z = x+ y e 2x−5y− z = 1.
9. Associe a equac¸a˜o com a superfı´cie que ela define nos ı´tens abaixo. Ale´m
disso, identifique cada superfı´cie pelo tipo (parabolo´ide, elipso´ide etc).
(1) x2 + y2 +4z2 = 10;
(2) z2 +4y2−4x2 = 4;
(3) 9y2 + z2 = 16;
(4) y2 + z2 = x2;
(5) x = y2− z2;
(6) x =−y2− z2;
(7) x2 +2z2 = 8;
(8) z2 + x2− y2 = 1;
(9) x = z2− y2;
(10) z =−4x2− y2;
(11) x2 +4z2 = y2;
(12) 9x2 +4y2 +2z2 = 36.
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Figure 1: Problema 9
10. Determine o trac¸o da superfı´cie dada nos planos x = k, y = k, z = k para as
func¸o˜es abaixo. Identifique a superfı´cie e fac¸a um esboc¸o da mesma.
(a) x2− y2 + z2 = 1;
(b) 4x2 +9y2 +36z2 = 36;
(c) 4z2− x2− y2 = 1;
(d) y2 = x2 + z2;
(e) x2 +4z2− y = 0;
(f) y = z2− x2.
11. (a) Esboc¸e o gra´fico da curva plana com a equac¸a˜o vetorial~r(t) = et ˆi+
e−2t ˆj;
(b) Determine~r′(t). (c) Desenhe o vetor de posic¸a˜o~r(t) e o vetor tangente
~r′(t) para t = 0.
12. Determine~r(t) se~r′(t) = t2ˆi+4t3 ˆj− t2 ˆk e~r(0) = ˆj.
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13. Encontre o vetor tangente unita´rio das curvas:
(a) ~r(t) = (cos3t) ˆj+(sen3t)ˆk;
(b) ~r(t) = (t cost)ˆi+(t sent) ˆj+(2√2/3)t3/2 ˆk. Encontre tambe´m o com-
primento da parte 0 ≤ t ≤ pi/2 da curva em (a) e 0 ≤ t ≤ pi da curva
em (b).
14. Para ilustrar que o comprimento de uma curva lisa no espac¸o na˜o depende
da parametrizac¸a˜o para ser calculado, calcule o comprimento de uma volta
da he´lice com as parametrizac¸o˜es a seguir.
(a) ~r(t) = (cos4t)ˆi+(sen4t) ˆj+4t ˆk, 0 ≤ t ≤ pi/2;
(b) ~r(t) = [cos(t/2)]ˆi+[sen(t/2)] ˆj+(t/2)ˆk, 0 ≤ t ≤ 4pi;
(c) ~r(t) = (cost)ˆi− (sent) ˆj− t ˆk, −2pi ≤ t ≤ 0.
15. O velocı´metro do seu carro marca 60 km/h constantes. Voceˆ poderia estar
acelerando? Explique.
16. Determine a curvatura das seguintes curvas:
(a) ~r(t) = t2ˆi+ t ˆk;
(b) ~r(t) = t ˆi+ t ˆj+(1+ t2)ˆk;
(c) ~r(t) = (sent)ˆi+(cost) ˆj+(sent)ˆk.
17. Determine as equac¸o˜es dos planos normal e osculador da curva x = 2sen3t,
y = t, z = 2cos3t, no ponto (0,pi,−2).
18. Um partı´cula P se move com rapidez angular constante ω em torno de um
cı´rculo com centro na origem e raio R. A partı´cula e´ dita estar em movimento
circular uniforme. Suponha que o movimento e´ no sentindo anti-hora´rio e
que a partı´cula esta´ no ponto (R,0) quanto t = 0. O vetor posic¸a˜o no instante
t ≥ 0 e´
~r(t) = Rcos(ωt)ˆi+Rsen(ωt) ˆj
(a) Determine o vetor velocidade~v e mostre que~v ·~r = 0. Conclua que~v
e´ tangente ao cı´rculo e tem sentido igual ao do movimento;
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(b) Mostre que a rapidez |~v| da partı´cula e´ constante e igual a ωR. O
perı´odo T da partı´cula e´ o tempo necessa´rio para que a partı´cula com-
plete uma volta. Conclua que
T =
2piR
|~v| =
2pi
ω
;
(c) Determine o vetor acelerac¸a˜o ~a. Mostre que ele e´ proporcional a ~r
e que aponta para a origem. Uma acelerac¸a˜o com essa propriedade
e´ chamada acelerac¸a˜o centrı´peta. Mostre que o mo´dulo do vetor
acelerac¸a˜o e´ |~a|= Rω2;
(d) Suponha que a partı´cula tenha massa m. Mostre que a magnitude da
forc¸a ~F que e´ necessa´ria para produzir esse movimento, chamada forc¸a
centrı´peta, e´
|~F|= m|~v|
2
R
.
Figure 2: Problema 18
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