TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON TRIÂNGULO DE PASCAL

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Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP 
Instituto de Matemática e Computação Científica – IMECC 
Matemática - Licenciatura 
 
 
 
 
 
 
Ana Cláudia Piau Candido - 154615 
Carla Cristina Zauli Pereira - 154954 
Bárbara de Souza Pinto Silva - 157709 
Maria Carolina Ramalho - 156576 
Otávio de Nadae- 156899 
Patrícia Cristina Vitor - 108355 
Rafael Ferezini- 157053 
Victor Matheus Nascimento Zeni - 160017 
Viviane Silva Freire - 160036 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Binômio de Newton 
(Triângulo de Pascal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campinas-SP 
Abril/2014 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 2 
2. OBJETIVOS ............................................................................................................ 3 
3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON ......................................................................... 4 
4. O BINÔMIO DE NEWTON ...................................................................................... 6 
4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO ................................................................ 6 
4.2 DEMONSTRAÇÃO ............................................................................................ 6 
4.3 PROPRIEDADES ............................................................................................... 8 
4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado: ........... 8 
4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral .................................................................... 8 
4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento ....... 9 
4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos ............................ 9 
4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes .................................................. 9 
5. O TRIÂNGULO DE PASCAL ................................................................................ 10 
5.1 PROPRIEDADE GERAL: ................................................................................. 10 
5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL) ............................. 11 
5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2 ............................................................................ 11 
5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3 ............................................................................ 12 
5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4 ............................................................................ 13 
5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5 ............................................................................ 13 
6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON ......................................................... 15 
7. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 17 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 18 
 
 
2 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Pelos produtos notáveis, sabe-se que (a+b)² = a²+2ab+b²; para calcular 
(a+b)³, escreve-se: (a+b)2(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3; e para obter(a+b)4 , pode-se 
adotar o mesmo procedimento: (a+b)4 = (a+b)3 (a+b) = a+4a3b+6a2b2+4ab3+ b4. De 
modo análogo, pode-se calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, é 
possível obter o desenvolvimento de uma potência (a+b)n a partir da anterior, ou 
seja, de (a+b)n-1. Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de 
cálculo se torna muito trabalhoso. (Só Matemática, 2013) 
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, 
conhecido como Binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 
- 1727). Para esse método é necessário saber o que são Coeficientes Binomiais, 
algumas de suas propriedades e o Triângulo de Pascal. (Só Matemática, 2013) 
 O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um 
número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O 
número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como: 
 
 O Triângulo de Pascal (Blaise Pascal, físico e matemático francês, 1623-
1662) é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações 
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que 
justifica o nome quelhe é dado. (Educ, 2012) 
3 
 
2. OBJETIVOS 
 
 
 Obter conhecimento a respeito da origem do Binômio de Newton; entendera 
relação entre o Triângulo de Pascal, os Coeficientes Binomiais e o Binômio de 
Newton; apresentar alguns resultados e demonstrações para o melhor 
entendimento; e, além disso, dar exemplos da utilização do Binômio de Newton na 
atualidade. 
4 
 
3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON 
 
 
Isaac Newton foi, e ainda é, considerado um dos maiores cientistas 
conhecidos historicamente. Nascido em 25 de dezembro de 1642 numa pequena 
aldeia conhecida por Woolsthorpe-by-Colsterworth, localizada na Inglaterra, ele 
tornou-se um dos principais precursores do Iluminismo, é responsável pelo teorema 
binomial, mais conhecido como Binômio de Newton (apresentado ao longo desta 
monografia), e, fez ainda, outras descobertas importantes para o avanço da ciência 
como o cálculo infinitesimal, que é utilizado para o estudo de taxas de variação de 
grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a 
área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), a lei da gravitação, principal 
responsável pelo seu reconhecimento, não apenas academicamente, mas também 
mundialmente por pessoas comuns, e por fim, mas não menos importante, também 
realizou estudos relacionados à natureza das cores. 
 Por volta do ano de 1665, vários países sofriam com a peste que se 
alastrava por toda a Europa, o que fez com que muitas faculdades fossem fechadas, 
e entre uma delas estava a Universidade de Cambridge, onde Newton cursava sua 
graduação neste mesmo período. Com a universidade fechada, Newton tivera que 
estudar em casa, e foi em sua própria residência, na fazenda da família que suas 
principais descobertas floresceram. 
 O cientista publicou diversas obras que contribuíram significativamente para 
todo o contexto da matemática e da física, além disso, escreveu também sobre 
química, alquimia, cronologia e teologia. 
 Newton sempre esteve envolvido com questões filosóficas, religiosas e 
teológicas e também com a alquimia e suas obras mostravam claramente seu 
conhecimento a respeito destes assuntos. Devido a sua modéstia, não foi fácil 
convencê-lo a escrever o livro Principia, considerado uma das obras científicas mais 
importantes do mundo. 
 Durante a sua vida, Newton conquistou o respeito como quaisquer outros 
cientistas jamais conseguiram. O matemático italiano Joseph-Louis Lagrange 
frequentemente dizia que Newton foi o maior gênio que já viveu, e uma vez 
5 
 
acrescentou que Newton foi também "o mais afortunado, dado que não se pode 
descobrir mais de uma vez o sistema que governa o mundo". 
 No final de sua vida, Newton passou por diversos problemas renais que 
culminaram com sua morte na noite do dia 20 de março de 1727. 
 
6 
 
4. O BINÔMIO DE NEWTON 
 
 
O binômio de Newton é um método que permite desenvolver um polinômio 
correspondente à potência de um binômio; esse estudo surgiu de forma 
complementar ao estudo dos produtos notáveis. (BRASIL ESCOLA) 
 
 
4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO 
 
 
Já eram conhecidos alguns produtos notáveis, como: 
 
 
 
Com o desenvolvimento de mais potências binomiais, foi possível observar 
uma relação entre esses produtos notáveis e os coeficientes binomiais, pois: 
 (
 
 
) () 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
A partir dessa observação, deduziu-se uma equação geral para o 
desenvolvimento de números binomiais da forma : 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
4.2 DEMONSTRAÇÃO 
 
 
Pretende-se demonstrar que o binômio de Newton é válido para qualquer 
 , a partir do princípio da indução finita. 
Primeiramente, precisa-se demonstrar que o resultado é válido para n=1. 
7 
 
Do lado esquerdo da igualdade, temos . 
Do lado direito da igualdade, temos ( 
 
) ( 
 
) . 
Logo, pode-se concluir que o binômio de Newton é válido para n=1. 
Denota-se: 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
E precisa-se demonstrar que P(k) ⇒ P(k + 1). 
Partindo da hipótese de P(k), multiplica-se ambos os lados da equação por 
(a + b): 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Efetuando a propriedade distributiva: 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
E utilizando a propriedade distributiva para todos os termos do somatório: 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Calculando o 0-ésimo termo do primeiro somatório e em seguida retirando-o 
do somatório, tem-se: 
∑(
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Calculando o k-ésimo termo do segundo somatório e retirando-o do 
somatório, e em seguida redefinindo a variável p como , tem-se: 
∑(
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Dessa forma, obtém-se: 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
Colocando em evidência o termo nos dois somatórios: 
8 
 
 ∑[(
 
 
) (
 
 
)] 
 
 
 
Mas ( 
 
) ( 
 
) ( 
 
) (mostrado em 5.2), então: 
 ∑ (
 
 
) 
 
 
 
Como o (k + 1)-ésimo termo do somatório é igual a e o 0-ésimo termo 
é igual a , podemos incorporar esses dois termos ao somatório modificando o 
índice p = 1 para p = 0, e o índice k para k + 1: 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
Logo, a partir de P(k), foi possível provar P(k +1), e o resultado é válido para 
todo número inteiro natural . (PASSOS SILVA, 2012) 
 
 
4.3 PROPRIEDADES 
 
 
4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado: 
 ∑(
 
 
) 
 
 
 
 
 
4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral 
 
 
De acordo com o desenvolvimento, é fácil observar que o termo de ordem k 
+ 1 do desenvolvimento de é determinado por: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
9 
 
4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento 
 
 
O desenvolvimento de tem n + 1 termos. 
 
 
4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos 
. 
 
Os coeficientes de dois termos eqüidistantes dos extremos de são 
iguais. 
Estes termos são formados por binomiais complementares 
 
 
4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes 
 
 
 
A soma dos coeficientes de 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
é igual a . É fácil demonstrar essa propriedade pois basta fazer a = b = 
1. 
A soma dos coeficientes de qualquer tipo de binômio pode ser obtida por 
procedimento semelhante. 
Exemplo: a soma dos coeficientes de (3x2 + 2y)5 = (3 + 2)5 = 55 = 3125. 
Para obter esse resultado fez-se x = y = 1. 
 
 
10 
 
5. O TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
 
 O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números 
relacionados entre si. O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo (a 
descoberta inicial é creditada ao matemático persa Omar Khayyám), mas foi 
nomeado como o 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos feitos e relações 
descobertas pelo filósofo e matemáticofrancês. 
Exemplo de um triângulo de Pascal : 
 
 Cada linha do triângulo possui um número a mais que a anterior, de modo 
que toda linha n possui n+1 elementos, sempre aplicando a primeira linha como 
sendo a linha 0. O triângulo também possui algumas propriedades interessantes que 
permitem construir com facilidade a linha seguinte. 
 As principais propriedades estão enumeradas a seguir: 
 
 
5.1 PROPRIEDADE GERAL: 
 
 A propriedade geral diz que a fórmula matemática para se construir uma 
pirâmide é: em que n é o número da linha e k é o número da coluna; ambos com 
contagem iniciada em 0. 
11 
 
 Demonstrando esta propriedade algebricamente temos que: 
Seja n a quinta linha e k terceiro o elemento da linha. 
O elemento 
 
 
5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL) 
 
 
 Esta propriedade diz que qualquer número, seu valor é exatamente a soma 
dos dois números que se encontram na linha acima. 
 Observe: 
1 
1 1 
(1 + 2) 1 
1 (3) 3 1 
1 4 (6 + 4) 1 
1 5 10 (10) 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
... 
 Esta propriedade é válida para qualquer linha e é o modo mais simples de 
encontrar a linha seguinte. 
 
 
5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2 
 
 
 Esta propriedade diz respeito sobre a soma dos números dispostos em 
diagonal, partindo sempre de um número 1 ser igual ao número exatamente a lateral 
contraria a contagem: 
 
1 
1 1 
12 
 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
... 
 Ou seja, somados a partir do número 1 da extrema direita da segunda linha, 
tem-se que: 
1+2+3+4= 10. 
 Esta propriedade, assim como todas as outras, é aplicável em toda e 
qualquer linha do triângulo. 
 
 
5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3 
 
 
 Esta propriedade está relacionada à soma dos elementos das linhas. Para 
demonstra-la, vamos associar um número para cada linha do triângulo, começando 
da linha 0: 
Linha 0: 1 
Linha 1: 1 1 
Linha 2: 1 2 1 
Linha 3: 1 3 3 1 
Linha 4: 1 4 6 4 1 
Linha 5: 1 5 10 10 5 1 
Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1 
... 
 A propriedade diz que, a soma dos números em determinada linha n, se dá 
pelo resultado da expressão 2n. 
 Pode-se demonstrar algebricamente esta propriedade da seguinte maneira: 
Escolhe-se ao acaso uma linha, por exemplo, a linha 4. 
13 
 
A propriedade nos diz que o resultado da soma dos elementos desta linha é 
igual a 24. 
24= 2x2x2x2=16. 
Somando os elementos da linha 4, temos: 1+4+6+4+1=16. 
 
 
5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4 
 
 
 Se colocar o triângulo de Pascal, alinhado pela esquerda, temos como 
resultado da soma das diagonais, a sequência de Fibonacci: 
 
 A soma dos elementos da primeira diagonal é 1, a soma dos elementos da 
segunda, 1; a soma dos elementos da terceira diagonal é dois. E assim, diagonal por 
diagonal, temos como resultado os números da sucessão de Fibonacci. 
 
 
5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5 
 
 
 Esta propriedade diz respeito a encontrar os elementos de uma linha n sem 
conhecer a linha anterior. 
 Demonstração: 
Encontrar a linha 12 do triângulo: 
O 1º elemento da linha é 1. 
O 2º elemento é n, aqui tomado como 12. 
O 3º elemento é . Nesta linha, temos que: 
14 
 
O 4º elemento é igual a . Nesta linha temos: 
 
O 5º elemento é igual a . Temos que: 
 
Seguindo esta linha de raciocínio, temos que a linha 12 é: 
1, 12, 66, 220, 495,792, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1 
 
15 
 
6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON 
 
 
 Uma das áreas, além da matemática, em que o binômio de Newton é 
utilizado é na área biológica que envolve genética. Como a genética em si divide-se 
em alguns segmentos, alguns destes, em que podemos observar a aplicação, estão 
descritos. 
 Na Herança Quantitativa temos que esta é um caso de interação gênica em 
que os fenótipos são contínuos e que a variação genética se dá maior ou menor em 
relação ao número de genes atuantes (GARCIA, 2011). 
 Os genes que fazem parte de tal herança são denominados poligenes, 
sendo que cada um desses contribui com uma parcela do fenótipo em questão. 
Neste tipo de herança, existe um padrão de distribuição que segue ao binômio de 
Newton: (p + q)n, sendo n=número de poligenes. Pode-se desenvolver o binômio 
para muitos valores de n, podendo gerar a construção do triângulo de Pascal 
baseando-se na distribuição dos coeficientes binomiais. Assim, o coeficiente 
binomial será o numerador da representação fenotípica e o número total será o 
denominador (BARRETO, 2010). 
 Alguns exemplos em que se utiliza herança quantitativa é, cor de pele 
humana, cor do olho humano, altura, peso, cor do cabelo, entre outras (CMS, 2013), 
porque esta é determinada por no mínimo dois pares de alelos, sendo que estes 
estão localizados em cromossomos não homólogos. 
 Exemplo: 
 Se acontecer um cruzamento entre diíbridos, quais serão as proporções 
genéticas da descendência? 
Gametas gerados – NnBb x NnBb 
Usando o Triângulo de Pascal: 
Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou 
b). 
Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4. 
Então se tem(p+q)4 (binômio de Newton), o que gera como coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 
(vê-se no triângulo de Pascal). 
O binômio de Newton desenvolvido possui a seguinte forma: 
16 
 
1p4q0 + 4p3q1 + 6p2q2 + 4p1q3 + 1p0q4. 
 Então, segundo as definições de herança quantitativa, tem-se que 1 
corresponde a negro, 4 a mulatos escuros, 6 a mulatos médios, 4 a mulatos claros e 
1 a brancos (CMS, 2013). 
 
17 
 
7. CONCLUSÃO 
 
 
 Em virtude das informações aqui abordadas, analisadas e demonstradas, 
conclui-se que o Binômio de Newton, juntamente com o triângulo de Pascal, foram 
obras de mentes brilhantes ao longo do desenvolvimento da matemática. Conforme 
visto, o Binômio de Newton se faz uma poderosa ferramenta matemática, com alta 
aplicabilidade no mundo contemporâneo, auxiliando os próximos passos do futuro 
matemático e tecnológico. 
18 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
BARRETO, Cindy. Pleiotropia, Interação Gênica e Herança Quantativa. 
Disponível em: 
<http://biometodologia.webnode.com.br/products/pleiotropia,%20intera%C3%A7%C3
%A3o%20g%C3%AAnica%20e%20heran%C3%A7a%20quantitativa/> Acessado em 
26 abr. 2014 
 
 
CMF Ensino. Herança Quantitativa. 
Disponível em: 
<http://www.cmf.ensino.eb.br/sistemas/pipa/files/arquivos/NA/2120_26_05_2013_Ar
quivo.pdf> Acessado em 26 abr. 2014 
 
 
Educ. Curiosidades sobre o Triângulo de Pascal. 
Disponível em: 
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/curios.htm>Acessado 
em 26 abr. 2014. 
 
 
Educ. O Triângulo de Pascal. 
Disponível em: 
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm> 
Acessado em 26 abr. 2014 
 
 
GARCIA, Juliana Fabris Lima. Genética – Herança quantitativa. 
Disponível em: 
<http://www.cfnp.com.br/2011/material_de_apoio/BIO/3/Heran%C3%A7a%20quantit
ativa.pdf> Acessado em 26 abr. 2014 
 
 
Matemática Didática. Triângulo de Pascal. 
Disponível em: 
<http://www.matematicadidatica.com.br/TrianguloDePascal.aspx> Acessado em 23 
abr. 2014 
 
 
Só Matemática. Binômio de Newton. 
Disponível em: 
<http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio.php> Acessado em 25 
abr. 2014 
 
 
 
 
19 
 
Wikibooks. Triângulo de Pascal. 
Disponível em: 
<http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_divertida/Tri%C3%A2ngulo_de_Pa
scal> Acessado em 26 abr. 2014. 
 
 
Wikipedia. Triângulo de Pascal. 
Disponível em: 
 <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal> Acessado em 25 abr. 
2014 
 
 
Brasil Escola. Binômio de Newton 
Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-de-newton.htm> Acessado em 27 
abr. 2014 
 
 
Cesário José Ferreira - MEU MUNDO. Binômio de Newton 
Disponível em: 
<http://www.cesariof.xpg.com.br/tn/alglog_28.htm> Acessado em 27 abr. 2014 
 
 
Rodrigo Thiago Passos Silva. Demonstração do binômio de Newton 
Disponível em: 
<http://pt.slideshare.net/RodrigoThiagoPassosSilva/demonstrao-do-binmio-de-
newton> Acessado em 27 abr. 2014