analise combinatoria unid 2

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ANÁLISE COMBINATÓRIA EANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
BINÔMIO DE NEWTON EBINÔMIO DE NEWTON E
EXPANSÃO MULTINOMIALEXPANSÃO MULTINOMIAL
Autor: Me. Luciane Aparecida Marostegan
Revisor: E la ine Sturion
INICIAR
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introdução
Introdução
Nesta unidade, desenvolvemos quatro tópicos importantes: coe�cientes
binomiais e suas propriedades, triângulo de Pascal e suas propriedades,
fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton e o termo geral no
desenvolvimento do mesmo e expansão multinomial, conhecida como
polinômio de Leibniz, seus coe�cientes e teorema. Vamos mostrar,
primeiramente, que os coe�cientes binomiais são os elementos do triângulo
de Pascal, isto é, os coe�cientes binomiais no desenvolvimento do binômio
de Newton de ordem n correspondem à linha n do triângulo de Pascal.
Veremos o teorema de Newton e, em seguida, o termo geral no
desenvolvimento do binômio de ordem n. Utilizaremos exemplos para
melhor compreensão da teoria e algumas aplicações em outras áreas do
conhecimento, por exemplo na informática (na utilização da criptogra�a,
largamente empregada por bancos para segurança contra fraudes) e na
genética, dentre outras.
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Para desenvolvermos o binômio de Newton, é necessário sabermos o que
são os coe�cientes binomiais, suas propriedades e o triângulo de Pascal. Os
coe�cientes binomiais são os elementos de que compõem o triângulo de
Pascal, e esses coe�cientes são combinações, que vimos na Unidade I em
análise combinatória. Vamos iniciar o desenvolvimento do binômio de
Newton.
Seja um número natural. Já conhecemos o desenvolvimento de 
para alguns valores de :
Binômio de NewtonBinômio de Newton
n (x+ y)2
n
= 1(x+ y)0
= 1x+ 1y(x+ y)1
= 1 + 2xy+ 1(x+ y)2 x2 y2
= 1 + 3 y+ 3x + 1(x+ y)3 x3 x2 y2 y3
= 1 + 4 y+ 6 + 4x + 1(x+ y)4 x4 x3 x2y2 y3 y4
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Vamos escrever os coe�cientes das expressões desenvolvidas a seguir:
1
1   1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
Se �zermos as combinações , , vamos obter os
seguintes resultados:
Vamos tornar =. Vejamos como �cam os resultados:
Cn,0 ,Cn,1 ,Cn,2 ,Cn,3  Cn,4
= = 1Cn,0
n!
0!
= = nCn,1
n!
1! (n− 1)!
= =Cn,2
n!
2! (n− 2)!
n (n− 1)
2!
= =Cn,3
n!
3! (n− 3)!
n (n− 1) (n− 2)
3!
=Cn,4
n!
4! (n− 4)!
n (n− 1) (n− 2) (n− 3)
4!
n  = 3
= = 1C3,0
3!
0!
= = 3C3,1
3!
1! (3 − 1)!
= = = 3C3,2
3!
2! (3 − 2)!
3 (3 − 1)
2!
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As combinações acima são os coe�cientes do binômio de Newton de grau 3.
Vamos tornar agora. Vejamos os resultados:
As combinações acima são os coe�cientes do binômio de Newton de grau 4.
Portanto, os coe�cientes dos binômios são iguais aos resultados das
combinações.
Vamos, a seguir, ver a de�nição de coe�cientes binomiais.
= = = 1C3,3
3!
3! (3 − 3)!
3 (3 − 1) (3 − 2)
3!
n = 4
= = 1C4,0
4!
0!
= = 4C4,1
4!
1! (4 − 1)!
= = = 6C4,2
4!
2! (4 − 2)!
4 (4 − 1)
2!
= = = 4C4,3
4!
3! (4 − 3)!
4 (4 − 1) (4 − 2)
3!
= = 1C4,4
4!
4! (4 − 4)!
4 (4 − 1) (4 − 2) (4 − 3)
4!
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De�inição Coe�icientes Binomiais
“Dados dois números naturais, , com , de�nimos o Coe�ciente
Binomial   e indicamos por .
O número é dito numerador e o número é chamado denominador de
” (IEZZI et al., 2005, p. 395).
Casos particulares:
1° Quando , temos 
2º Quando , temos 
3º Quando , temos 
Os coe�cientes binomiais têm aplicação no estudo do desenvolvimento de
, como veremos adiante.
Outra de�nição do coe�ciente binomial: “Sejam O símbolo
denota o número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n
elementos” (SCHEINERMAN, 2011, p. 117).
Figura 2.1 - Isaac Newton 
Fonte: radiantskies / 123RF.
n e p n ≥ p
=  Cn,p
n!
p!(n−p)!
n p
Cn,p
p = 0 = = 1,  ∀n ∈ ℵCn,0
n!
0!(n−0)!
p = 1 = = = n,  ∀n ∈ ℵCn,1
n!
1!(n−1)!
n(n−1)!
(n−1)!
p = n = = = 1,  ∀n ∈ ℵCn,n
n!
n!(n−n)!
n!
n! 0!
(x+ y)n
n,  k ∈ ℵ.
Cn,k
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Coe�icientes Binomiais Complementares
Segundo Iezzi et al . (2005, p. 396), “dois Coe�cientes Binomiais de mesmo
numerador, e são complementares quando a soma de seus
denominadores é igual ao numerador, isto é, ”.
Propriedade:
1. Se os coe�cientes binomiais .e são complementares, isto
é,   , então eles são iguais.
2. = , sendo números
naturais, tais que .
Vamos ver dois exemplos para �car mais fácil o entendimento:
Exemplo 1. Calcule:
Solução:
Note que os pares de coe�cientes binomiais:
.  
são complementares, e, portanto, iguais.
Então, temos:
S = + + +
As três primeiras parcelas são iguais a zero, portanto:
Exemplo 2. Ao resolvermos a equação , chegamos a duas
possibilidades:
Cn,p  ,  Cn,q 
p+ q = n
Cn,p  Cn,q 
p+ q = n
Cn,p  ⇔ (p = q ou p+ q = n)Cn,q  n,  p e q 
n ≥ p e n ≥ q
S  =   +C6,0  + +C6,1  C6,2  − −C6,3  C6,4  −C6,5  C6,6 
eC6,0  C6,6          eC6,1  C6,5          e$C6,2  C6,4 
−C6,0  C6,6  −C6,1  C6,5    −C6,2  C6,4  C6,3 
S  = = = =   =   = = 20C6,3 
6!
3!(6−3)!
6!
3!3!
6⋅5⋅4⋅3!
3!3!
6⋅5⋅4
3⋅2⋅1
120
6
=C10,x C10,4
x = 4 ou x+ 4  = 10 → x = 6
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praticar
Vamos Praticar
Vamos aplicar o conceito de coe�ciente binomial complementar, isto é, dizemos
que dois coe�cientes de mesmo numerador são complementares quando a soma
de seus denominadores é igual ao numerador. Utilizando essa de�nição, resolva a
equação e assinale a alternativa correta.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
=C21,x+5 C21,−2x+17
S = {1, 4}
S = {1}
S = {4}
S = {−2}
S = {16}
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Segundo Iezzi et al . (2005, p. 397), “os coe�cientes binomiais podem ser
dispostos em linhas, formando uma tabela. Nela os coe�cientes de mesmo
numerador agrupam-se em uma mesma linha e coe�cientes de mesmo
denominador agrupam-se em uma mesma coluna”, como a seguir:
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
… 
Linha n ...
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
→ C0,0
→ C1,0C1,1
→ C2,0C2,1C2,2
→ C3,0C3,1C3,2C3,3
→ C4,0C4,1C4,2C4,3C4,4
→ Cn,0Cn,1Cn,2Cn,3Cn,4 Cn,n
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Segundo Iezzi et al . (2005, p. 398), “calculando os valores dos coe�cientes
binomiais, obtemos o que se costuma chamar de Triângulo Aritmético de
Pascal”:
1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5   10   10    5    1
1    6   15   20   15    6    1
………………………………
Blaise Pascal foi matemático, �lósofo e escritor. O triângulo foi descrito por
ele em 1653. Observando o triângulo, temos que, a partir da linha nº 3,
qualquer elemento é obtido pela soma de dois elementos da linha anterior (o
elemento imediatamente acima e o anterior a ele). Lembrando que sempre o
primeiro e o último elemento de cada linha é iguala 1.
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Figura 2.2 - Triângulo de Pascal 
Fonte: Peter Hermes Furian / 123RF.
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Propriedades do Triângulo de Pascal
A seguir, apresentamos algumas das mais importantes propriedades do
triângulo de Pascal.
1ª) Segundo Iezzi et al . (2005), toda linha começa e termina por 1.
saiba mais
Saiba mais
Uma Nota Histórica
Pascal (Blaise) (1623-1662), francês, foi
matemático, �lósofo e escritor. Reencontrou,
aos doze anos, as primeiras proposições da
geometria de Euclides; aos dezesseis anos,
escreveu um Tratado das secções cônicas ,
que assombrou Descartes; aos dezoito anos,
inventou uma máquina de calcular. Devem-
se a ele, ainda, as leis da pressão
atmosférica e do equilíbrio dos líquidos, o
triângulo aritmético, o cálculo das
probabilidades, a prensa hidráulica.
Entretanto, a mais antiga referência que se
conhece do triângulo deve-se ao chinês Yang
Hai, em livros datados de 1261 a 1275. O
livro indicado a seguir traz uma in�nidade de
fatos históricos de muitos matemáticos e,
claro, de Isaac Newton, Pascal e Leibniz, que
vimos nesta unidade. É muito importante
termos conhecimento do contexto histórico
para assim entendermos a construção de
toda a matemática que sabemos hoje.
A C ESSA R
http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf
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De fato, o 1º elemento de uma linha qualquer é , e o
último elemento dessa linha é 
2ª) Ainda de acordo com Iezzi et al . (2005), em uma mesma linha, os
coe�cientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais;
Linha 5 
1      5     10    10    5      1
Linha 6 
1      6     15    20    15    6     1
Note que os coe�cientes equidistantes dos extremos são complementares e,
portanto, iguais.
3ª) A partir da linha 3, qualquer elemento (exceto as extremidades) é igual à
soma de dois elementos da linha anterior: o elemento imediatamente acima
e o anterior a esse elemento (IEZZI et al ., 2005) (à esquerda):
1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5   10   10    5    1
Essa propriedade, utilizada na construção do triângulo, é uma expressão da
relação de Stifel:
, ou ainda
=  1,  ∀k ∈ ℵCk,0
=  1,  ∀k ∈ ℵCk,k
C5,0C5,1C5,2C5,3C5,4C5,5 
C6,0C6,1C6,2C6,3C6,4C6,5 C6,6
+  Cn,p Cn,p+1 =Cn+1,p+1
= + ,  ∀n ≥ pCn,p Cn−1,p Cn−1,p−1
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Exemplo 1.
Para calcular podemos utilizar a relação de Stifel:
= 
4ª) A soma dos elementos da linha n é :
1 = = 1
1    1   = = 2
1    2    1 = = 4
1    3    3    1 =
1    4    6    4    1 = = 16
Teorema das Linhas
Segundo Morgado (2006):
, temos:
... = . Ou seja, a soma dos
elementos da linha n vale .
Teorema das Colunas
Conforme Morgado (2006),
... = Ou
seja, a soma dos elementos de uma coluna do triângulo iniciando no
primeiro elemento da coluna é igual ao elemento que está na coluna
posterior, na linha que está abaixo dessa soma.
+ ,  C10,4 C10,5
+C10,4 C10,5 =   = = = = 462C11,5
11!
5!6!
11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6!
5!6!
11⋅10⋅9⋅8⋅7
5⋅4⋅3⋅2⋅1
55440
120
2n
20
21
22
=  823
24
∀n ∈ ℵ
+ + +Cn,0 Cn,1 Cn,2 Cn,3+Cn,4+ +Cn,n 2
n
2n
+ + +Cp,p Cp,p+1 Cp,p+2 Cp,p+3+Cp,p+4+ +Cp,p+n Cp+1,p+n+1.
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Teorema das Diagonais
Segundo Morgado (2006),
... = . Ou
seja, a soma dos elementos de uma diagonal do triângulo de Pascal é igual
ao elemento que está imediatamente abaixo da última parcela.
A notação 
Dada uma sequência , podemos escrever a soma de seus
n primeiros termos usando a notação de somatória ou notação-sigma. Essa
notação tem seu nome derivado da letra (sigma maiúscula do alfabeto
grego, que corresponde à letra S). A notação é assim usada:
O lado esquerdo da igualdade é lido: “ A soma de ”. A
letra k é chamada índice da somatória ; a ideia é substituir k na expressão d
epelos inteiros 1, 2, 3, …, n e somar as expressões que assim resultam,
obtendo, então, o lado direito da igualdade.
Exemplos:
A. .
B. = 
C. 
D. Determine o sexto termo no desenvolvimento binomial de .
Solução:
Para , a fórmula do termo geral nos dá o sexto termo do
desenvolvimento:
+ + +Cn,0 Cn+1,1 Cn+2,2 Cn+3,3+Cn+4,4+ +Cn+p,p Cn+p+1,p
Σ
, , , . . . ,a1 a2 a3 an
Σ 
=   +   +   +. . . + Σnk=1ak a1 a2 a3 an
   para k de 1 at  nak é
 ak 
=   + + + + =  Σ5k=1k
2 12 22 32 42 52 55
Σ4k=1
1
k
+ + + =11
1
2
1
3
1
4
25
12
= + + =  1 + 5 + 10 = 16Σ2k=0C5,k C5,0 C5,1 C5,2
( + )x−−√ 1x
15
k = 5
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=
=
E. Determine o coe�ciente de no desenvolvimento binomial de 
Solução:
Vamos determinar o termo do desenvolvimento .
O termo geral do desenvolvimento é dado por:
Para obter o termo em , fazemos:
Trata-se, então, do terceiro termo:
O coe�ciente de é =
t i
= ⋅ ⋅T6 C15,5 ( )
1
x
5
( )x−−√
15−5
= ⋅ ⋅T6 C15,5 (x)
−5 (x)5
⋅ 1 = = = =C15,5 C15,5
15!
5!(15−5)!
15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10!
5!10!
15⋅14⋅13⋅12⋅11
5⋅4⋅3⋅2⋅1
= 3003360360120
a8 (a+ )1
a
12
a8
= ⋅ ⋅Tp+1 C12,p ( )
1
a
p
a12−p
= ⋅Tp+1 C12,p a
12−2p
a8
12 − 2p = 8
p = 2
= ⋅T3 C12,2 a
8
a8 C12,2 = = = = 66
12!
2!(12−2)!
12⋅11⋅10!
2!10!
12⋅11
2
132
2
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praticar
Vamos Praticar
Envolvendo os coe�cientes binomiais, há uma relação que é importante na
resolução de problemas sobre tais coe�cientes: a relação de Stifel. Baseando-se
nessa relação, resolva o problema a seguir e selecione a alternativa correta.
Se um número natural é tal que
, então é:
a) Igual a 6 ou -6.
b) Um número par.
c) Um número quadrado perfeito.
d) Divisor de 15.
e) Um número maior do que 10.
Segundo Boyer (1996, p. 270), o teorema Binomial, descoberto em 1664 ou
1665, foi descrito em duas cartas de 1676 de Newton a Henry Oldenburg,
secretário da Royal Society, e publicado por Wallis (dando o crédito a
Newton) na Álgebra de Wallis de 1685.
n
+ + =C10,5 C10,6 C11,7 C12,( −2)n2 n
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Binômio de Newton é o nome dado a todo binômio da forma tal
que e é chamado ordem ou grau do binômio. Seja 
tem-se que: + + +...+
 em que 
a) Utilizando o símbolo de somatórios, pode-se escrever: 
b) Número de parcelas: o desenvolvimento de tem n+1 parcelas ou
termos.
c) Cálculo dos coe�cientes: seja n e k números naturais com , o
coe�ciente binomial é de�nido por = 
Analogamente, para o desenvolvimento de 
Teorema de NewtonTeorema de Newton
(x+ y)n
n ∈ ℵ x, y ∈ R   e n ∈ ℵ,
=  (x+ y)n Cn,0xny0 Cn,1xn−1y1 Cn,2xn−2y2
Cn,nx
0yn x e y ∈ Re n ∈ ℵ                   T1 T2 T3 Tn+1
= $$(x+ y)n ∑
k=0
n
Cn,k x
n−kyk
(x+ y)n
0 ≤ k ≤ n
Cn,k 
n!
k!(n−k)!
(x− y)n
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O termo é chamado termo geral do binômio, pois,
atribuindo valores para obtemos todos os
termos do desenvolvimento.
Observações:
1ª) Na expressão do termo geral, o expoente de é sempre dado pela
diferença entre o numerador e o denominador do coe�ciente binomial,e o
expoente de é igual ao denominador desse coe�ciente.
2ª) Na expressão do termo geral, o 1º termo do desenvolvimento é obtido
fazendo-se ; o 2º termo é obtido fazendo-se ; e assim por diante.
Assim, se quisermos determinar o p-ésimo termo, basta fazer 
Exemplo:
Se quisermos saber o termo em no desenvolvimento de ,
basta usarmos o termo geral, que é:
( = = , para 
Assim:
Assim, o termo de no desenvolvimento dado é:
= $$(x− y)n (−1)k∑
k=0
n
Cn,k x
n−kyk
⋅ ⋅Cn,k xn−k yk
k  (k = 0, 1, 2, 3, . . . ,n) ,  
x
y
k = 0 k = 1
k = p− 1.
x4 (x+ )1
x√
16
⋅ ⋅C16,k x16−k
1
x√
)k ⋅C16,k x
16−k
x
k
2
⋅C16,k x16−
3k
2 k = 0, 1, 2, . . . , 16
16 − = 4 ⇒ k = 83k2
x4
⋅ = ⋅ = 12870C16,8 x4
16!
8!8!
x4 x4
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praticar
Vamos Praticar
Muitas vezes, estamos interessados em determinar apenas um termo especí�co do
desenvolvimento do binômio de Newton, sem precisar escrever todos os termos.
Assim, se quisermos determinar o p-ésimo termo, basta tomarmos 
Para �xar esse tópico, determine qual é o termo independente de x no
desenvolvimento do binômio e selecione a alternativa correta.
a) 210.
ref l ita
Re�ita
São muitas as aplicações do binômio de Newton e triângulo
de Pascal em diversas áreas do conhecimento. Uma das mais
citadas na bibliogra�a é a aplicação na genética, no caso de
herança quantitativa, ou poligênica, isto é, quando
participam dois ou mais pares de genes. Os genes que fazem
parte da herança são chamados de poligenes. Nesse tipo de
herança poligênica, existe um padrão de distribuição que
segue o binômio de Newton 〖(p+q)〗^n. Faça uma re�exão
sobre o que você entendeu dessa aplicação e quais outras
aplicações poderiam ser elencadas.
Para re�etir, acesse o seguinte link: http://bit.ly/2U2BK46
k = p− 1.
( − )x2 1
x3
10
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf?sequence=1&isAllowed=y
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b) 10.
c) 6.
d) 4.
e) 0.
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O desenvolvimento multinomial caracteriza-se em substituir o binômio de
Newton por uma soma de k monômios quaisquer. Em resumo, queremos
calcular os coe�cientes de cada um dos monômios obtidos na expansão de
uma expressão do tipo , onde são inteiros
positivos.
Vamos ilustrar por meio de um exemplo:
Exemplo 1. Encontre o coe�ciente de no desenvolvimento de
.
= 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos maneiras de
escolher uma variável de cada fator. Portanto, antes de agruparmos os
termos repetidos, teríamos uma soma de 81 parcelas. Por outro lado, várias
parcelas são iguais. Em particular, o coe�ciente de é igual ao número
de parcelas nas quais escolhemos uma vez a variável , duas vezes a variável
Expansão Multinomial –Expansão Multinomial –
Polinômio de LeibnizPolinômio de Leibniz
( + +. . . + )x1 x2 xk
n
k e n 
x zy2
(x+ y+ z)4
(x+ y+ z)4 (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z)
= 8134
x zy2
x
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 e uma vez a variável . Isso é precisamente o número de anagramas de
e, portanto, pode ser obtido por meio da seguinte fórmula:
Logo, o coe�ciente de na expansão é igual a 12.
De forma mais geral, , todos os termos do desenvolvimento de
são da forma onde são inteiros não negativos
tais que .
De forma mais geral ainda, dados naturais , com
, temos que todos os termos do
desenvolvimento de ( são da forma 
onde e são inteiros não negativos. De fato, temos:
( ( (
Coe�icientes Multinomiais
Em analogia aos coe�cientes binomiais, dado um inteiro e inteiros
não negativos tais que ,
de�nimos o número multinomial, , como o coe�ciente de
na expansão de
Por outro lado, utilizando a notação de somatórios, obtemos a fórmula:
( = 
Vamos agora determinar como calcular o valor dos coe�cientes multinomiais
de forma direta. Note que, se �zermos , teremos = e fazendo
a aplicação do binômio de Newton, teremos que o coe�ciente de (ou
) no desenvolvimento desse binômio ( é:
y z
xyyz 
= = = 12P 1,2,14
4!
1!2!1!
24
2
x zy2 (x+ y+ z)4
∀n ∈ ℵ
(x+ y+ z)n xaybzc a,  b e c
a+ b+ c = n
n e k
k ≥ 2,  e k vari veis  ,   , . . . ,  á x1 x2 xk
+ +. . . +x1 x2 xk)
n ⋅ ⋅. . . ⋅xn11 x
n2
2 x
nk
k
+ +. . . + = nn1 n2 nk
+. . . + =x1 xk)
n +. . . + )⋅. . . ⋅x1 xk +. . . + )x1 xk
                                                  n vezes
k ≥ 2
n e  ,   , . . . ,n1 n2 nk + +. . . + = nn1 n2 nk
Cn, , ,...,n1 n2 nk
. . .  xn11 x
n2
2 x
nk
k
( + +. . . +x1 x2 xk)
n
+ +. . . +x1 x2 xk)
n   . . .  Σ + +...+ =nn1 n2 nk Cn, , ,...,n1 n2 nk  x
n1
1 x
n2
2 x
nk
k
k = 2 +n1 n2 n
xn11 x
n2
2
xn11 x
n−n1
2 +x1 x2)
n 
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= =
Para o caso geral, vale o seguinte teorema que veremos a seguir.
Teorema Multinomial
Dados inteiros não negativos tais que
, o coe�ciente de no
desenvolvimento de ( é igual a : = 
Exemplo:
Qual o coe�ciente de no desenvolvimento de (
E o coe�ciente de no mesmo desenvolvimento?
Solução:
Basta aplicar o teorema multinomial diretamente:
=
Observe que pode ser visto como 
=
praticar
Vamos Praticar
Cn, ,n1 n2 Cn,n1 =
n!
!(n− )!n1 n1
n!
! !n1 n2
,   , . . . ,n1 n2 nk
+ +. . . + = nn1 n2 nk ⋅ ⋅. . . ⋅x
n1
1 x
n2
2 x
nk
k
+ +. . . +x1 x2 xk)
n
Cn, , ,...,n1 n2 nk
n!
! !... !n1 n2 nk
wx3y4z2
x+ y+ z+ w ? )10 x6y4
C10, 3,4,2,1 =   = 12600
10!
3!4!2!1!
10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4!
3!4!2!1!
x6y4 x6y4z0w0
C10, 6,4,0,0 =   = 210
10!
6!4!0!0!
10⋅9⋅8⋅7⋅6!!
6!4!
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Se quisermos calcular os coe�cientes de cada um dos monômios obtidos na
expansão de uma expressão do tipo , onde são
inteiros positivos, faremos = . Com base nesse conceito,
calcule o coe�ciente de no desenvolvimento de ( e assinale a
alternativa correta.
a) 10.710.
b) 17.010.
c) 6.480.
d) -6.480.
e) 180.
( + +. . . + )x1 x2 xk
n
k e n 
Cn, , ,...,n1 n2 nk
n!
! !... !n1 n2 nk
x4 1 + 3x− 2x2)10
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indi cações
Material
Complementar
F I LME
O jogo da imitação
Ano: 2015
Comentário: O �lme trata de decodi�car mensagens
criptografadas. Sistemas criptográ�cos são usados em
transmissão de informação sigilosa, como acessos de
internet banking , por exemplo. O binômio de Newton é
um importante auxílio à informática, utilizando os
dados probabilísticos para a escolha de uma medida
adequada.f
TRAILER
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L I VRO
Matemática
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e
Roberto Périgo
Editora: Atual
Comentário: esse livro trata de uma grande parte do
conteúdo abordado de forma detalhada, com as
demonstrações dos principais teoremas e
propriedades e também uma in�nidade de exercícios e
exercícios resolvidos para um melhor entendimento e
aprofundamento da unidade.
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conclus ão
Conclusão
Vimos, nesta unidade, o famoso binômio de Newton, suas propriedades e
aplicações, assim como a construção do triângulode Pascal a partir dos
coe�cientes binomiais. Abordamos o conteúdo de forma a apresentarmos
exemplos, para que o aluno tivesse a oportunidade de desenvolver o
raciocínio lógico, a �m de então formalizarmos as de�nições, propriedades e
teoremas. Esse modo de abordagem do conteúdo facilita o entendimento do
aluno. A atividade no �nal de cada tópico ajudará o aluno a �xar todo o
conteúdo abordado, bem como a leitura do artigo e a análise do �lme
sugerido. O conjunto �nal desta unidade dará uma excelente base para as
próximas etapas.
re f erências
Referências
Bibliográ�cas
BOYER, C. B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
IEZZI, G. et al . Matemática : volume único. São Paulo: Atual, 2005.
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MOL, R. S. Introdução à História da Matemática . Belo Horizonte: CAED-
UFMG, 2013. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-
content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf . Acesso
em: 9 dez. 2019.
MORGADO, A. C. de O. et al . Análise combinatória e probabilidade . 9. ed.
Rio de Janeiro: IMPA, 2006.
SCHEINERMAN, E. Matemática discreta : uma introdução. São Paulo:
Cengage Learning, 2011.
SILVA, P. H. Usos do Binômio de Newton em diferentes contextos . 2016.
41 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) –
Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá,
2016. Disponível em:
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf?
sequence=1&isAllowed=y . Acesso em: 27 nov. 2019.
http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf?sequence=1&isAllowed=y