ANÁLISE COMBINATÓRIA16

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Aula 06: Números binomiais e triângulo de pascal
Apresentação
Nesta aula, iremos abordar o conceito de números binomiais e sua ligação com o cálculo do número de combinações
simples. Aprenderemos a importância dos números binomiais para o estudo da Análise Combinatória e sua ligação com o
chamado Triângulo de Pascal. Uma porta será aberta para o futuro estudo das expansões binomiais. Ao �nal desta aula,
você deverá ter uma visão clara da importância dessas duas ferramentas para o nosso estudo.
Objetivos
Identi�car os números binomiais;
Identi�car o Triângulo de Pascal;
Relacionar os números binomiais com o triângulo de Pascal.
Relembrando
Fazendo a ligação com a aula anterior, você ainda lembra o conceito de Combinação Simples, não?
Caso contrário, vamos a uma rápida revisão, com a de�nição.
De�nição: Dado um conjunto qualquer com k elementos e p um número inteiro e positivo, tal que p ≤ k, denominamos
combinação simples de k elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos, composto por
elementos desse conjunto.
Esse número é expresso por:
= =Ck,p C
k
p
k!
p!(k−p)!
=Cp
k
A
p
k
p!
Relembramos, não?
No contexto da nossa aula de hoje, podemos expressar esse número da seguinte forma: 
 , para 
Número binomial
Vamos a nossa conceituação de número binomial, que está intimamente ligada ao conceito que acabamos de revisar.
Como vimos, o número de combinações de k elementos tomados p a p é indicado por C .k,p
( )p
k
Interpretamos esse número como número binomial de numerador p e denominador k ou ainda, número binomial p sobre k.
Assim, expressamos:
( ) = = =k
p
Ck,p C
k
p
k!
p!(k−p)!
{k, p}C N ,  p ≤ k
Saiba mais
Antes de prosseguir seus estudos, clique aqui e veja alguns exemplos.
Números binomiais complementares
Observando os exemplos anteriores podemos inferir o conceito de números binomiais complementares.
Conceito: Dois números que possuírem o mesmo numerador e cuja soma dos denominadores for igual a este numerador que é
comum, denominamos números binomiais complementares.
Porém, isso não é novidade para você, não?
Vimos muitos casos destes quando estudamos as combinações simples e seus casos aplicados, lembra? Vamos a alguns
exemplos para facilitar a nossa compreensão.
Exemplo
 e são números binomiais complementares;
 e são números binomiais complementares;
 e são números binomiais complementares;
 e são números binomiais complementares;
( )
5
3
( )
5
2
( )
6
1
( )
6
5
( )
9
0
( )
9
9
( )
p
p
( )
p
p-n
javascript:void(0);
 
 
 
 
 
 
Veja, também não é nenhuma novidade que os números binomiais complementares são iguais, não?
Ou seja, vale a relação = com {p,n} contidos no conjunto dos Números Naturais e com n menor ou igual a p.
Vamos a uma rápida demonstração, para que você perceba que não há mistério, nem nada de complicado:
( )
p
n
( )
p
p-n
( ) = = = ( )p
n
p1
n!(p−n)!
p!
(p−n)![p−(p−n)!]
p
p − n
Relação de Stiffel
Vamos aproveitar agora para mostrar a Relação de Stiffel, que é bastante importante para a resolução de alguns problemas:
Sendo {p,n} contido no Conjunto dos Números Naturais e n+1 ≤ 𝐩, temos que: ( ) + ( ) = ( )p
n
p
n + 1
p + 1
n + 1
( ) + ( ) = + = + =p
n
p
n + 1
p!
n!(p−n)!
p!
(n+1)!(p−n−1)!
p!
n!(p−n)!(p−n−1)!
p!
(n+1)n!(p−n−1)!
= = = =
(n+1)+(p−n)p!
n!(p−n−1)!(p−n)(n+1)
p!(n+1+p−n)
n!(p−n−1)!(p−n)(n+1)
(p+n)p!
(n+1)n!(p−n)(p−n−1)!
= = ( )(p+1)!
(n+1)!(p−n)!
p + 1
n + 1
Fácil, não? Não se assuste! Com paciência conseguirão chegar ao resultado. Basta acompanhar com calma e atenção.
Exercícios resolvidos
Então, para não perdemos o costume, vamos a alguns exercícios resolvidos para facilitar o nosso entendimento.
Vamos começar?
Exemplo 1
Qual a solução da equação ?
Solução:
Antes de veri�car a condição de existência, analisemos as duas maneiras de o número binomial existir:
1) n+3 = n+1 → ∄𝑛
2) n+3+n+1 = 10 → n=3
Agora, fazendo a veri�cação devemos recordar que, para um número binomial  existir, vale a condição de que ambos
devem pertencer ao conjunto dos números naturais e n deve ser menor ou igual p.
Quando fazemos n = 3 na equação original, temos que  . Como isso é verdadeiro, temos que o conjunto solução
do nosso problema é S={3}.
( ) = ( )
10
N + 3
10
N + 1
( )
p
n
( ) = ( )
10
6
10
4
Exemplo 2
Utilizando a Relação de Stiffel, vamos calcular:
a) b) c) 
Pense um pouco!
Solução:
a) b) c) 
( ) + ( )
7
4
7
5
( ) + ( )
10
0
10
1
( ) + ( )
9
4
9
5
( ) + ( ) = ( )
7
4
7
5
8
5
( ) + ( ) = ( )
10
0
10
1
11
1
( ) + ( ) = ( )
9
4
9
5
10
5
Exemplo 3
Resolva a equação binomial: 
Solução:
Para que ocorra a igualdade entre dois números binomiais, duas condições devem ser veri�cadas, como já vimos. A primeira
é clara: os denominadores devem ser iguais; a segunda, conforme já foi visto anteriormente, está ligada aos binomiais
complementares, que também são iguais.
Assim, para resolver a equação proposta, temos: 
a)2x-3 = x+1 → x = 4 
b)(2x-3) + (x+1) = 16 → x = 6
Desta forma, a solução do nosso exercício é { 4,6 }
( ) = ( )
16
2x − 3
16
x − 1
Atividades
1. Simpli�que a fração 
( )
12
4
( )
12
5
2. Determine os inteiros n e p, de modo que = =
( )
n
p
1
( )
n
p+1
2
( )
n
p+2
3
Blaise Pascal
Blaise Pascal (1623 - 1662) foi um matemático, �lósofo, físico e escritor francês que contribuiu para a Matemática com
trabalhos sobre variados temas, dentre eles o cálculo de probabilidades.
3 anos
Órfão de mãe aos 3 anos de idade, foi educado por seu pai, um intelectual respeitado, com alguns conceitos
pedagógicos que não eram 
convencionais a sua época. Considerava fraca e débil a saúde de seu �lho, achando que ele só devia aprender
conceitos geométricos aos 15 anos de idade.
12 anos
Aos 12 anos, sensibilizou o seu pai e recebeu em troca um exemplar da famosa obra Elementos de Euclides.
14 anos
Quando completou 14 anos, começou a frequentar reuniões cientí�cas realizadas pelo matemático Mersenne
(1588 - 1648) que também eram frequentadas por Descartes, juntamente com seu pai. Contribui
decisivamente para a criação de dois ramos importantíssimos da Matemática: Geometria Projetista e a Teoria
das Probabilidades.
Tratado sobre o Triângulo Aritmético
Pascal continuou a in�uenciar a Matemática ao longo de sua vida.
Seu Tratado sobre o Triângulo Aritmético de 1653 descreveu uma apresentação tabular conveniente para os coe�cientes
binomiais, agora chamado Triângulo de Pascal.
Observe ao lado como o  triângulo também pode ser representado.
Teoria Matemática das Probabilidades
Em 1654, requisitado por um amigo interessado em problemas de jogo, ele correspondeu-se com Fermat sobre o assunto, e
dessa união de pensamentos nasceu a Teoria Matemática das Probabilidades.
O amigo era o Chevalier de Mère, e o problema especí�co foi envolvendo dois jogadores que queriam terminar um jogo mais
cedo e, dadas as atuais circunstâncias da partida, precisavam dividir as apostas de forma justa, com base na chance que cada
um teria de ganhar o jogo a partir daquele ponto.  
Comentário
https://estacio.webaula.com.br/cursos/gon333/aula6.html
Aposta de Pascal
Depois da discussão entre os amigos, a noção de valor esperado foi introduzida. Pascal usou um argumento probabilístico,
a Aposta de Pascal para justi�car a crença em Deus e uma vida virtuosa.
O trabalho realizado por Fermat e Pascal para o cálculo de probabilidades estabeleceu os fundamentos importantes para a
formulação de Leibniz do cálculo in�nitesimal.
Depois de uma experiência religiosa, em 1654, Pascal praticamente desistiu do trabalho em Matemática.
Saiba mais
A história de Blaise Pascal é fantástica e comovente. Caso deseje pesquisar mais a fundo a vida deste grande personagem da
história da Matemática e da Física, há bons livros e sites que, ao longo de nosso curso, serão disponibilizados. Clique aqui e veja
mais sobre Blaise Pascal.
Triângulo de Pascal
Concentremosagora nossos estudos no Triângulo de Pascal.
O Triângulo de Pascal nada mais é que uma tabela de números binomiais, onde cada número está localizado na linha p
e na coluna n.
Repare, ao lado, que a montagem do famoso triângulo é bastante simples: o numerador do número binomial corresponde a
linha que ocupa, enquanto o denominador representa a sua coluna, lembrando que a primeira linha começa com numerador
e denominador iguais a zero.
( )
p
n
javascript:void(0);
Acreditamos que não tenha �cado qualquer dúvida, certo? Continuemos então com alguns exercícios resolvidos, que nos
apresentarão mais propriedades do Triângulo de Pascal.
Exercícios resolvidos - Triângulo de Pascal
Exemplo 1
Constate que, no Triângulo de Pascal, a seguinte propriedade é válida: a soma dos elementos que formam a linha p do
triângulo é 2 .
Solução:
Vejamos a �gura:
p
Exemplo 2
Constate que, no Triângulo de Pascal, vale a seguinte propriedade: a soma dos elementos da coluna n, desde o primeiro
elemento até o elemento da linha p, é igual ao elemento 
Solução:
Vejamos a �gura:
( )
p + 1
n + 1
Finalizando a aula
Então, acreditamos que tenha gostado da nossa aula de hoje. Tal conteúdo é extremamente importante para a compreensão
da nossa próxima aula: Binômio de Newton.  
Esta parte do nosso curso envolve potências do tipo (x+a) , onde x e a são números quaisquer e n pertence ao Conjunto dos
Números Naturais. Verá que a expansão dessas potências envolvem os conhecimentos aprendidos nesta aula.
Para não perdermos o nosso costume, �que com algumas questões para praticar e solidi�car os conhecimentos no raciocínio.
n
Saiba mais
Para �nalizar nossa aula clique aqui e realize os exercícios propostos.
Notas
Tratado sobre o Triângulo Aritmético
Traité du triangle arithmétique
Título modal 1
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Referências
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HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 5. Atual, s/d.
JULIANELLI, J.R.; DASSIE, B.A.; LIMA, M.L.A.; SÁ, I.P. Curso de Análise Combinatória e Probabilidade - Aprendendo com a
resolução de problemas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
MEDEIROS, Valéria Zuma. Pré-Cálculo. São Paulo: Thomson, s/d.
Próxima aula
Binômio de Newton e suas aplicações.
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