Lista_exercicios_1

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Universidade Federal do Ceara´ (UFC)
Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI)
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
Modelos Probabil´ısticos para Engenharia - TI 048
Prof. Dr. Charles Casimiro Cavalcante
Nu´mero de cre´ditos: 8,0
Carga hora´ria total: 128 h
Per´ıodo: 2013
Lista de Exerc´ıcios No 1: Introduc¸a˜o a` Probabilidade
1. Para dois eventos A e B, num mesmo espac¸o amostral, verifique, atrave´s de um diagrama, que
e´ sempre poss´ıvel escrever o evento A como sendo (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) e que portanto, vale
P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩B).
2. Uma moeda e´ viciada de modo que a probabilidade de sair cara e´ 4 vezes maior que a de sair coroa.
Para dois lanc¸amentos independentes dessa moeda, determinar:
(a) O espac¸o amostral
(b) A probabilidade de sair somente uma cara
(c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara
(d) A probabilidade de dois resultados iguais
3. Uma turma de ca´lculo teve a seguinte distribuic¸a˜o das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do sexo
feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do sexo feminino foram aprovados. Para um
aluno sorteado ao acaso nesta classe, denote por M se o aluno for do sexo masculino e por A se o
aluno foi aprovado. Calcule:
(a) P
(
A ∪M
)
(b) P
(
A ∩M
)
(c) P (A|M)
(d) P
(
M |A
)
(e) P
(
M |A
)
4. Em um bairro existem treˆs empresas de TV a cabo e 20 mil resideˆncias. A empresa TA tem 2100
assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600, sendo que algumas resideˆncias em condomı´nios
subscrevem aos servic¸os de mais de uma empresa. Assim, temos 420 resideˆncias que sa˜o assinantes
de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que sa˜o assinantes das treˆs empresas. Se uma
resideˆncia desse bairro e´ sorteada ao acaso, qual a probabilidade de:
(a) Ser assinante somente da empresa TA?
(b) Assinar pelo menos uma delas?
(c) Na˜o ter TV a cabo?
5. Dois eventos A e B sa˜o mutuamente exclusivos. Eles podem ser independentes? Justifique.
6. Uma caixa A tem 1000 CIs dos quais 10% sa˜o defeituosos. Uma caixa B conte´m 2000 CIs dos quais
5% sa˜o defeituosos. Dois CIs sa˜o escolhidos de uma caixa selecionada ao acaso.
(a) Encontre a probabilidade de ambos os CIs serem defeituosos.
(b) Assumindo que ambos sa˜o defeituosos, encontre a probabilidade de que eles tenham vindo da
caixa A.
Lista de exerc´ıcios: Introduc¸a˜o a` Probabilidade 1
Universidade Federal do Ceara´ (UFC)
Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI)
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI)
7. Numa certa populac¸a˜o, a probabilidade de gostar de teatro e´ 1
3
, enquanto que a de gostar de cinema
e´ 1
2
. Determine a probabilidade de gostar de teatro e na˜o de cinema, nos seguintes casos:
(a) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o eventos disjuntos
(b) Gostar de teatro e gostar de cinema sa˜o eventos independentes
(c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema
(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema e´ 1
8
(e) Dentre os que na˜o gostam de cinema, a probabilidade de na˜o gostar de teatro e´ 3
4
8. Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com probabilidade
0.7. Se na˜o passar, fara´ mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentara´ em 10% a
probabilidade de passar, isto e´, no segundo exame passara´ com 0.77 de probabilidade
(a) Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame ele sera´
aprovado com certeza?
(b) Qual a probabilidade de serem necessa´rios mais de 2 exames?
9. Numa determinada cidade, estima-se que cerca de 20% dos habitantes teˆm algum tipo de alergia.
Sabe-se que 50% dos ale´rgicos praticam esporte, enquanto que esta porcentagem entre os na˜o
ale´rgicos e´ de 40%. Para um indiv´ıduo escolhido ao acaso nesta cidade, obtenha a probabilidade
de:
(a) Na˜o praticar esporte
(b) Ser ale´rgico dado que na˜o pratica esporte
10. Considere o experimento de observac¸a˜o de se treˆs canais de comunicac¸a˜o esta˜o ocupados ou na˜o.
Os resultados deste experimento sa˜o:
A1 = nenhum canal esta´ ocupado
A2 = apenas o canal 1 esta´ ocupado
A3 = apenas o canal 2 esta´ ocupado
A4 = apenas o canal 3 esta´ ocupado
A5 = canais 1 e 2 esta˜o ocupados mas o canal 3 esta´ livre
A6 = canais 1 e 3 esta˜o ocupados mas o canal 2 esta´ livre
A7 = canais 2 e 3 esta˜o ocupados mas o canal 1 esta´ livre
A8 = todos os canais esta˜o ocupados
As probabilidades dos resultados dos eventos sa˜o: P (A1) = 0.3, P (A2) = P (A3) = P (A4) = 0.1,
P (A5) = P (A6) = P (A7) = 0.02 e P (A8) = 0.34.
(a) Qual a probabilidade de que um ou mais canais estejam ocupados?
(b) Qual a probabilidade de que o canal 3 esteja ocupado?
(c) Considere o evento que o canal 3 esteja ocupado e o evento que apenas os canais 1 e 2 estejam
ocupados. Estes dois eventos sa˜o estatisticamente independentes?
11. Um me´dico desconfia que um paciente tem tumor no abdomen, pois isto ocorreu em 70% dos
casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som detectara´ com
probabilidade 0,9. Entretanto, se ele na˜o tiver o tumor, o exame pode, erroˆneamente, indicar que
tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual e´ a probabilidade do paciente
teˆ-lo de fato?
Lista de exerc´ıcios: Introduc¸a˜o a` Probabilidade 2
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12. Um sate´lite pode falhar por muitas razo˜es poss´ıveis, duas delas sa˜o falha do computador e falha de
motor. Para uma missa˜o dada, sabe-se que:
• A probabilidade da falha de motor e´ 0,008.
• A probabilidade da falha do computador e´ 0,001.
• Dada a falha de motor, a probabilidade da falha do sate´lite e´ 0,98.
• Dada a falha do computador, a probabilidade da falha do sate´lite e´ 0,45.
• Dado a falha em qualquer outro componente, a probabilidade da falha do sate´lite e´ zero.
(a) Determine a probabilidade que um sate´lite falha.
(b) Determine a probabilidade que um sate´lite falha devido a` falha de motor.
(c) Suponha que os motores em sate´lites diferentes atuam independentemente. Dado que um
sate´lite falhou em consequ¨eˆncia da falha de motor, qual e´ a probabilidade que o mesmo
acontecera´ a um outro sate´lite?
13. Um novo me´todo de detectar falhas de componentes eletroˆnicos num sistema embarcado esta´ sendo
testado. O novo me´todo de ana´lise e´ importante porque, se adotado, permite ser usado para detectar
treˆs diferentes tipos de componentes eletroˆnicos: processador, memo´ria e barramento ao inve´s de
ter de realizar treˆs testes diferentes para cada componente. Os projetistas do teste afirmam que
ele pode detectar falhas do processador com precisa˜o de 99.7%, falhas de memo´ria com precisa˜o
de 99,95% e falhas de barramento com 89.7%. Se nenhuma falha esta´ presente no sistema na˜o e´
dado nenhum alarme, caso contra´rio soa um alarme. Amostras sa˜o preparadas para a calibragem
do sistema e sabe-se que 60% dos componentes esta˜o com defeito. Uma amostra de cada um dos
componentes e´ selecionada aleatoriamente de forma independente.
(a) Qual a probabilidade de soar o alarme?
(b) Se o alarme soa, qual a probabilidade de haver erro no barramento?
14. Softwares para detecc¸a˜o de fraudes em chamadas de telefones celulares (clonagem) rastreiam o
nu´mero de areas metropolitanas de onde as chamadas se originam a cada dia. E´ sabido que
1% dos usua´rios leg´ıtimos geram chamadas de duas ou mais a´reas metropolitanas em um u´nico
dia. Entretanto, 30% dos usua´rios fraudulentos (clones) originam chamadas de duas ou mais
a´reas metropolitanas em um u´nico dia. A proporc¸a˜o de clones e´ de 0.01%. Se um usua´rio gera
chamadas de duas ou mais a´reas metropolitanas em um u´nico dia, qual a probabilidade do usua´rioser fraudulento?
Lista de exerc´ıcios: Introduc¸a˜o a` Probabilidade 3