Solução Particular da Equação Completa

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1 
UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Curso: Engenharias 
Professora: Ilka R. Freire 
 
Texto 05 : Solução Particular da Equação Linear de 2a Ordem Completa 
 
Vimos que a solução geral da equação y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x) é dada por y = yh + yp, sendo yh a 
solução geral da homogênea associada (y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = 0 ) e yp uma solução particular da equação 
completa y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x). 
No caso da equação homogênea a coeficientes constantes, ou conhecendo-se uma solução, já sabemos 
como encontrar yh. 
Veremos agora dois métodos para encontrar uma solução particular yp de y´´ + a1(x) y´+ a2(x) y = f(x) 
 
1o Método: Método da Variação dos Parâmetros (Lagrange) 
 
 O método da Variação dos Parâmetros , para a determinação de uma solução particular de uma 
equação linear completa, é geral e pode ser aplicado para equações lineares com coeficientes variáveis. 
 Vamos analisar o caso de uma equação de 2
a
 ordem. 
 Consideremos a equação 
f(x) =y a + y' a + ''y 21
 ( I ). 
 Suponhamos que 
2211h y C + y C = y
 é a solução geral da equação homogênea associada. Vamos 
procurar yp fazendo a hipótese que toda solução particular deve estar relacionada com a expressão de yh. 
Procuramos então "alterar" yh de tal modo que ela se torne solução de ( I ). 
Isto pode ser conseguido deixando que os parâmetros C1 e C2 "variem" para encontrarmos uma solução 
da forma 
(x)y (x)C + (x)y x)(C = y 2211p
 ( II ) que escreveremos simplesmente 
2211p y C + y C = y
, para 
facilitar a notação. Vamos, portanto, substituir ( I I ) em ( I ) para ver o que acontece. Temos que: 
''y C+ 'y 'C + 'y 'C + y ''C + ''y C + 'y 'C + 'y 'C + y ''C = '' y
'y C + y 'C + 'y C + y 'C = 'y
y C + y C =y
2222222211111111p
22221111p
2211 p 
Substituindo yp , yp ' e yp '' em ( I ): 
f(x) = )y C + y C ( a + ) 'y C + y 'C + 'y C + y 'C ( a +
 + ''y C+ 'y 'C + 'y 'C + y ''C + ''y C + 'y 'C + 'y 'C + y ''C
22112222211111
2222222211111111
 
e rearrumando a expressão obtemos: 
 2 
f(x) = ) 'y 'C + y ''C + 'y 'C + y ''(C + )'y 'C + 'y 'C (
+ ) y 'C + y 'C ( a + ) y a + 'y a ''y ( C + ) y a + 'y a ''y ( C
222211112211
22111222122121111 
 
Observemos que os dois primeiros parênteses são nulos, uma vez que y
1
 e y
2
 são soluções de 
y' ' + a y' + a y = 01 2
. Além disto, o último parêntese pode ser escrito como 
 )' y 'C + y 'C ( 2211
. Ficamos assim, com a seguinte expressão: 
f(x) = ' )y 'C + y 'C ( + )'y 'C + 'y 'C ( + ) y 'C + y 'C ( a 2211221122111
 
A identidade acima estará satisfeita se impusermos as seguintes condições: 



f(x) = 'y 'C + 'y 'C 
0 = y 'C + y 'C 
2211
2211
 
Podemos interpretar as duas equações acima como um sistema nas incógnitas C
1
'(x) e C
2
'(x). 
Uma vez que o determinante dos coeficientes é 
0 
'y'y
yy
 = )y ,(yW 
21
21
21 
, pois as soluções y
1
 e y
2
 são 
L.I., podemos concluir que o sistema tem solução única C
1
'(x) e C
2
'(x). Obtemos, então, C
1
(x) e C
2
(x) 
por integração. 
 
Exemplo: Dê a solução geral das seguintes equações 
 
1) y'' + y = secx 
Solução: 
Primeiro temos que encontrar a solução geral yh da equação y'' + y = 0 
A equação característica é k
2
 + 1 = 0, cujas raízes são  i. Logo, a solução geral da homogênea associada 
é yh = C1cosx + C2senx 
Uma solução particular da equação completa é da forma yp = C1(x)cosx + C2(x) senx 
Para encontrarmos C1(x) e C2(x) vamos resolver o sistema 








secx=cosx 'C +senx 'C 
0 =senx 'C +cosx 'C 
f(x)= 'y 'C + 'y 'C 
0 = y 'C + y 'C 
21
21
2211
2211
 
 
Podemos resolver o sistema acima multiplicando a 1
a
 equação por senx e a segunda por cosx e somando 
as equações resultantes: 






1xcosxsecxcosCxcosxsenC
0xsenCxcosxsenC
2
21
2
21
 
 
 3 
Somando as duas equações obtemos C2´ ( sen
2
x + cos
2
x) = 1, logo, C2´= 1. Substituindo C2´em uma das 
equações , por exemplo, a 1
a
, obtemos 
C1´cosx = senx  
xcos
xsen
C1


. Integrando C1´e C2´ obtemos C1(x) e C2(x): 
 





C)xln(cosdx
xcos
senx
)x(C
xcos
senx
C 11
 
C2´= 1  
  Cxdx)x(C2
 
Uma vez que queremos uma solução particular podemos igualar as constantes de integração anteriores a 
0. 
Assim, a solução particular yp = C1(x)cosx + C2(x) senx = cosx ln(cosx) + x senx 
A solução geral da equação completa y'' + y = secx é portanto 
y = yh + yp = C1cosx + C2senx + cosx ln(cosx) + x senx 
 
Observação: 
Uma outra maneira de resolver o sistema 



 secx=cosx 'C +senx 'C 
0 =senx 'C +cosx 'C 
21
21
 é usar que 
W
C
C 11


 e 
W
C
C 22



 , sendo W o Wronskiano, 
1xsenxcos
xcosxsen
xsenxcos
W 22 


 
e C1´ e C2´ os determinantes que se obtêm substituindo-se as colunas correspondentes a C1´ C2´ 
respectivamente, pela coluna dos termos independente 
Assim, C1´ = 
xcos
xsen
xsecxsen
xcosxsec
xsen0

 e C2´ = 
1xsecxcos
xsecxsen
0xcos


 
Logo, 
W
C
C 11



 = 
xcos
xsen
 e 
W
C
C 22



 = 1, como já tínhamos encontrado. 
 
2) 
x
e
yy2y
x

 
Solução: 
Primeiro temos que encontrar a solução geral yh da equação 
0yy2y 
. A equação característica é 
k
2
 – 2k + 1 = 0, que tem uma raiz dupla k1 = k2 = 1. Logo, a solução geral da homogênea associada é 
x
2
x
1h xeCeCy 
. Uma solução particular da equação completa é da forma 
x
2
x
1p xe)x(Ce)x(Cy 
 
Para encontrarmos C1(x) e C2(x) vamos resolver o sistema 
 4 










x
e
=)xe(e 'C + e 'C 
0 = xe'C + e 'C 
f(x)= 'y 'C + 'y 'C 
0 = y 'C + y 'C 
x
xx
2
x
1
x
2
x
1
2211
2211 
O sistema acima pode ser resolvido por vários métodos. Podemos, por exemplo, dividir inicialmente as 
duas equações por e
x
 e depois subtrair uma da outra: 
 





x
1
=x)(1 'C + 'C 
0 = x 'C + 'C 
21
21  
x
1
C
x
1
)xx1(C 22 



. Substituindo o valor de 
2C
 na 1ª equação 
obtemos 
1C1 
 . Integrando: 
Cxdx)x(C1  
 e 
Cxln
x
dx
)x(C2  
 
Como no exemplo 1) fazemos as constantes de integração iguais a zero. 
Assim, a solução particular 
x
2
x
1p xe)x(Ce)x(Cy 
= 
xlnxexe xx 
e a solução geral da equação 
completa é y = yh + yp = C1e
x
+ C2xe
x – 
xlnxexe xx 
. Podemos associar os termos em xe
x
 e apresentar a 
solução geral na forma y = C1e
x
+ C2xe
x 
+ 
xlnxe x
. 
 
3) 
xeyy 
 
Solução: 
A equação característica da homogênea associada é k
2
 – 1 = 0, que tem raízes k1 = –1 e k2 = 1. Logo, 
a solução geral da homogênea associada é 
x
2
x
1h eCeCy 

. Uma solução particular da equação 
completa é da forma 
x
2
x
1p e)x(Ce)x(Cy 

 
Para encontrarmos C1(x) e C2(x) vamos resolver o sistema 








xx
2
x-
1
x
2
-x
1
2211
2211
e=e 'C + e 'C- 
0 = e 'C + e 'C 
f(x)= 'y 'C + 'y 'C 
0 = y 'C + y 'C 
Somando as duas equações obtemos: 
 
2
1
CeeC2 2
xx
2 



. Substituindo o valor de 
2C
 na 1ª equação obtemos 
2
e
C
2
e
eC
x2
1
x
x
1 

 
. Integrando: 
C
4
e
2
dxe
)x(C
x2x2
1  
 e 
C
2
x
2
dx
)x(C2  
 
Fazemos as constantes de integração iguais a zero. 
 5 
Assim, a solução particular 
x
2
x
1p e)x(Ce)x(Cy 

= 
2
xe
4
e
e
2
x
e
4
e xxxx
x2
 
 e a solução geral 
da equação completa fica y = yh + yp = 
2
xe
4
e
eCeC
xx
x
2
x
1 

. Podemos associar os termos em e
x
 e 
apresentar a solução geral na forma y = 
2
xe
eCeC
x
x
2
x
1 

 
 
 
O Método da Variação dos Parâmetros para equações de 1ª ordem 
 
O método da Variação dos Parâmetros pode ser aplicado para equações de 1ª ordem. 
Consideremos a equação linear de 1ª ordem y´+ a1(x)y = f(x) e seja yh = C1y1(x) a solução da equação 
homogênea associada y´+ a1(x)y = 0. ( Verifique que  dx)x(1a11 eCy ). 
Pelo método, vamos supor a solução particular yp da forma yp = C1(x)y1(x). Derivando obtemos 
yp´ = C1´(x)y1(x) + C1(x)y1´(x) que escreveremos simplesmente yp´ = C1´y1 + C1y1´. Substituindo na 
equação obtemos: 
C1´y1 + C1y1´+ a1(x) C1y1 = f(x) que é equivalente a C1´y1 + C1(y1´+ a1(x)y1 ) = f(x). Umas vez que y1 é 
solução da equação homogênea associada, a expressão entre parêntese é zero o que nos dá 
C1´y1 = f(x) 
Integramos C1´ para encontrar a solução yp. A solução da equação é y = yh + yp. 
 
Exemplo: Resolver, usando o método da variação dos parâmetros, a equação 
x
4
y
x
1
y


 
 
Solução: A equação homogênea associada é 
0y
x
1
y 
, cuja solução é 
x
1
Cy 1h 
. A solução 
partircular é do tipo 
x
1
)x(Cy 1p 
. Derivando: 
211p x
1
)x(C
x
1
)x(Cy 


. Substituindo na equação 
obtemos: 
x4)x(C4)x(C
x
4
x
1
)x(C
x
4
x
1
)x(C
x
1
x
1
)x(C
x
1
)x(Cy 1111211p 






 
Assim, 
x
1
)x(Cy 1p 
= 4 e a solução geral y = yh + yp = 
4
x
C1 
 
 6 
 
2o Método : Método dos Coeficientes a Determinar ( Descartes) 
 
Este método só se aplica a equações com coeficientes constantes e quando f(x) tem a forma 
 xsen e Q(x) +x cos e P(x) =yaya y xx21 

 ( I ), sendo P(x) e Q(x) polinômios na variável x 
 
Exemplos de funções f(x) para as quais o Método dos Coeficientes a Determinar se aplica: 
 
1) 












2
1
1x)x(Q
x)x(P
x2sene)1x(x2cosxe)x(f
2
x2x
 
2) 











 
1
1
x)x(Q
1)x(P
senxxexcose)x(f xx 
 
3) 












1
0
1)x(Q
1)x(P
senxxcos)x(f 
 
4) 












3
2
0)x(Q
1x)x(P
x3cose)1x()x(f x2 
 
5) 











0
1
)adominerdetin( )x(Q
x)x(P
xe)x(f x 
 
 7 
Observação: Quando na f(x) não aparece a exponencial  = 0 e quando não aparece nem seno nem 
cosseno,  = 0. 
 
Exemplos de funções f(x) para as quais o Método não se aplica: 
1) 
xsec)x(f 
 
2) 
x
e
)x(f
x

 
3) 
tgx)x(f 
 
 
Consideremos a equação y´´ + a1 y´+ a2y = f(x). A solução geral da homogênea associada 
y´´ + a1 y´+ a2 y = 0 é combinação de funções dos tipos e
ax
, xe
ax
, senbx, cosbx. 
 
Observemos também que tais funções têm derivadas que se repetem: 
x bsen b = bx)' (cos
xbcos b = x)'senb(
ae = )'(e xa xa

 
 
Para que yp seja uma solução da equação devemos ter uma identidade quando substituirmos yp na 
equação. Assim, se na equação completa, a função f(x) se apresenta como uma combinação de funções 
dos tipos que são soluções da homogênea, temos um método para obter a solução particular. 
 
Como motivação, vejamos o caso de uma equação de 2
a
 ordem com f(x) = Pn(x) e
x
 , ou seja, na 
expressão geral ( I ),  = 0. 
(x)P onde ,e )x(P =y a + y' a + 'y' n
 x
n21

 é um polinômio de grau n. 
 
Para obtermos uma identidade devemos ter uma solução que seja do mesmo "tipo" que f(x) , ou seja, 
x 
mp e (x)R = y

 ( Rm é um polinômio de grau m ) 
 
Temos que: 
 
 e R + e 'R + e 'R + e ''R = ''y
 e R + e 'R = 'y
 x2
m
 x
m
 x
m
 x
mp
 x
m
 x
mp



 
 8 
 
Substituindo na equação 
x
n21 e )x(P =y a + y' a + 'y'

 obtemos: 
 
nm21
2
m1m
x
n
x
m2
x
m
x
m1
x
m
2 x
m
xx
m
P = R )a + a + ( + 'R )a + (2 + ''R 
e (x) P = e R a + )e R + e 'R (a + e R + e 'R 2 + e ''R

  
Por comparação dos coeficientes obtemos o polinômio Rm. 
 
Observemos que: 
 
1. Se 2 + a
1
  + a
2
  0, isto é,  não é raiz da equação característica, temos que os polinômios Rm e Pn 
têm o mesmo grau, ou seja, m = n. Logo, 
 x
np e R = y

 
 
2. Se 2 + a
1
  + a
2
 = 0, isto é,  é raiz da equação característica, e 2 + a
1
  0, ou seja,  é raiz 
simples, então o grau de Pn é o mesmo de Rm ' que é m  1. Assim, n = m  1, ou seja, m = n + 1. Isto 
corresponde a que o grau do polinômio Rm deve ter uma unidade a mais que o grau de Pn. Isto pode ser 
obtido multplicando-se um polinômio de grau n por x. Temos, neste caso, que 
 x
np e x.R= y

 
 
3. Se 2 + a
1
  + a
2
 = 0 e 2 + a
1
 = 0, isto é ,  é raiz de multiplicidade 2 da equação característica, 
então, o grau de Pn é o mesmo de Rm´´, que é m  2. Assim, n = m  2, ou seja, 
m = n + 2. Logo, o grau do polinômio Rm deve ter duas unidades a mais que o grau do polinômio Pn para 
compensar. Multiplicamos, portanto, um polinômio de grau n, Rn, por x
2
. A solução particular tem a 
forma 
 x
n
2
p e R x= y

 
 
 
Exemplo: Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais: 
 
1) y''  5y' + 6y = ex 
 9 
Solução: 
A equação homogênea asociada é y''  5y' + 6y = 0 cuja equação característica k2 –5k + 6 = 0 tem raízes 
reais e distintas k1 = 2 e k2 = 3. A solução da homogênea yh = C1e
2x
 + C2e
3x
. 
A função f(x) = e
x
 é da forma 
 x
n e )x(P f(x)

, sendo Pn(x) = 1 ( constante, logo um polinômio de grau 
zero) e  = 1 (que não é raiz da equação característica). 
Assim, a solução particular tem a forma 
 x
np e (x)R = y

 = A e
x
. 
Para obter a solução precisamos encontrar o valor de A. Isto pode ser obtido derivando-se a solução 
yp = A e
x
 e substituindo-se na equação completa. 
yp = A e
x 
  yp´= yp´´ = A e
x
. Substituindo-se na equação y''  5y' + 6y = ex obtemos 
A e
x
  5 A ex + 6 A ex = ex  2Aex = ex  A = 
2
1
 e, portanto, 
2
e
y
x
p 
 
Logo, a solução geral da equação é y = 
2
e
eCeC
x
x3
2
x2
1 
 
 
2) y''  4y' + 4 y = 
2xe 1)+(x
 
Solução: 
A equação homogênea asociada é y''  4y' + 4y = 0 cuja equação característica k2 – 4k + 4 = 0 tem raízes 
reais e iguais k1 = 2 A solução da homogênea é yh = C1e
2x
 + C2xe
2x
. 
A função f(x) = 
2xe 1)+(x
 é da forma 
 x
n e )x(P f(x)

, sendo Pn(x) = x + 1 ( um polinômio de grau 
um) e  = 2 (que é raiz dupla da equação característica). 
Assim, a solução particular tem a forma 
x22 x
n
2
p e)BAx(xe (x)Rx= y 

. 
Para obter a solução precisamos encontrar os valores de A e B. Isto pode ser obtido derivando-se a 
soluçãoyp = x
2
(Ax + B) e
2x 
 = ( Ax
3
 + Bx
2
 ) e
2x
 e substituindo-se na equação completa. 
yp = ( Ax
3
 + Bx
2
 ) e
2x
 
 
  yp´= (3Ax
2
 + 2Bx) e
2x
 + ( 2Ax
3
 + 2Bx
2
 ) e
2x
 
 
 e 
yp´´ = (6Ax+ 2B) e
2x
 + (6Ax
2
 + 4Bx) e
2x
 + ( 6Ax
2
 + 4Bx ) e
2x
 + ( 4Ax
3
 + 4Bx
2
 ) e
2x
 
 
 
Substituindo-se na equação y''  4y' + 4y = 
2xe 1)+(x
, por comparação dos coeficientes obtêm-se os 
valores das constantes A e B. 
(6Ax+ 2B) e
2x
 + (6Ax
2
 + 4Bx) e
2x
 + ( 6Ax
2
 + 4Bx ) e
2x
 + ( 6Ax
2
 + 4Bx ) e
2x
 + ( 4Ax
3
 + 4Bx
2
 ) e
2x
 
 
 
– 4((3Ax2 + 2Bx) e2x + ( 2Ax3 + 2Bx2 ) e2x) + 4( Ax3 + Bx2 ) e2x = 
2xe 1)+(x
 
 (6Ax+ 2B) + (6Ax2 + 4Bx) + ( 6Ax2 + 4Bx ) + ( 4Ax3 + 4Bx2 ) 
 10 
– 4((3Ax2 + 2Bx) + ( 2Ax3 + 2Bx2 ) ) + 4( Ax3 + Bx2 ) = 
 1)+(x
 
 6Ax+ 2B + 6Ax2 + 4Bx + 6Ax2 + 4Bx + 4Ax3 + 4Bx2 – 12Ax2 – 8Bx –8Ax3 –8 Bx2 + 4Ax3 + 4Bx2 
= 
 1)+(x
 
 6Ax + 2B = 
 1)+(x
 
6
1
A 
 e 
2
1
B 
 
Logo, a solução geral da equação y = C1e
2x
 + C2xe
2x
 + 
x2
23
e)
2
x
6
x
( 
 
 
Observação: Poderíamos também, no lugar de multiplicar o polinômio por x
2
, ter escrito diretamente 
R(x) como um polinômio de grau 3, ou seja, 
DCxBxAx)x(R 23 
. Teríamos mais duas constantes 
para determinar que seriam “englobadas” em C1 e C2. Logo, a maneira mais “econômica” de encontrar a 
solução particular, neste caso, é multiplicar um polinômio de grau um por x
2
. 
 
 
Vamos analisar agora o caso mais geral em que a equação é da forma 
 
 xsen e Q(x) + x cos e P(x) =yaya y x x21 

 
 
Do que foi observado para o caso de uma equação de 2
a
 ordem, podemos obter a seguinte generalização: 
 
Consideremos o complexo  +  i . Temos os seguintes casos a considerar: 
 
1.  +  i não é raiz da equação característica 
 
 xsene S(x) + x cose R(x) = y x xp 

 
 
com gr(R(x)) = gr(S(x)) = max gr(P,Q) ( grau de R = grau de S = maior dos grau de P e Q ) 
 
2.  +  i é raiz da equação característica 
 
 x)sene S(x) + x cose (R(x) x = y x xp 

 
 11 
 
com gr(R(x)) = gr(S(x)) = max gr(P,Q) ( grau de R = grau de S = maior dos grau de P e Q ) 
 
Observação: Neste caso não ocorre raiz dupla, ou seja,  + i não pode ser raíz dupla da equação 
característica 
 
Exemplos: 
1) Dê uma forma para uma solução particular das seguintes equações 
A) y'' + y'  2y = 8ex sen2x 
Solução: A equação característica da homogênea associada é k
2
 + k  2 = 0 cujas raízes são reais e 
distintas k1 = 2 e k2 = 1. A solução da homogênea é yh = C1e 
2x
 + C2e
x
. 
A função f(x) = 8sen2x é da forma 
 xsen e Q(x) + x cos e P(x) =sen2x 8 f(x) x x  
 
sendo P(x) = 0; Q(x) = 8;  = 1 e  = 2 . Temos que  + i =1+ 2i não é raiz da equação característica. 
A solução particular tem a forma 
 xsene S(x) + x cose R(x) = y x xp 

 , sendo R e S polinômios de grau 0. 
Assim, yp = A e
x
cos2x + B e
x
sen2x e as constantes A e B podem ser obtidas derivando-se yp, 
substituindo-se na equação e comparando-se os coeficientes. 
 
B) 
senx)1x(xcosxyy 2 
 
Solução: A equação característica da homogênea associada k
2
 + 1 = 0, cujas raízes complexas são i 
A solução da homogênea é yh = C1cosx + C2cosx. 
A função 
senx)1x(xcosx)x(f 2 
 
 xsen e Q(x) + x cos e P(x) = x x  
 
sendo P(x) = x
2
; Q(x) = x +1;  = 0 e  = 1 . Temos que  + i = i é raiz da equação característica. 
A solução particular tem a forma 
 x)sene S(x) + x cose x(R(x)= y x xp 

=
sen x) S(x) + x cos R(x) x(= yp
 , sendo R e S polinômios de 
grau 2. 
Logo, 
)senx)FExDx(xcos)CBxAx((xy 22p 
 
 
 
 
 12 
C) y''  5y' + 6y = x e2x + cosx 
Solução: A equação homogênea asociada é y''  5y' + 6y = 0 cuja equação característica k2 –5k + 6 = 0 
tem raízes reais e distintas k1 = 2 e k2 = 3. A solução yh = C1e
2x
 + C2e
3x
. 
Para encontrarmos a solução yp devemos separar a função f(x) em duas e aplicar o princípio da 
superposição 
 A função f(x) = x e
2x
 + cosx = 
)x(f)x(f 21 
 
Consideremos as soluções separadamente 
i) y''  5y' + 6y = x e2x . Neste caso, 
 x
n1 e )x(P (x)f

, sendo Pn(x) = x ( um polinômio de grau um) e  
= 2 (que é raiz simples da equação característica). 
Assim, a solução particular tem a forma 
 x
np e (x)R x = y 1

 = x(Ax + B) e
2x
. 
ii) y''  5y' + 6y = cosx. Neste caso, 
 xsen e Q(x) + x cos e P(x) =(x)f x x2 

, sendo P(x) = 1 
Q(x) = 0;  = 0;  = 1 e  + i = i não é raiz da equação característica. 
A solução particular tem a forma 
 xsene S(x) + x cose R(x) = y x x
2p
 
=
sen x) S(x) + x cos R(x) (
 , sendo R e S polinômios constantes 
Assim, 
DsenxxcosCy
2p

 
A solução particular é a soma 

21 ppp
yyy DsenxxcosCe)BAx(x
x2 
 
 
2) Dê a solução geral da equação 
senx2xcosyy 
 
Solução: 
A equação característica da homogênea associada é k
2
 + k = 0 ,cujas raízes são k1 = 0 e k2 = –1. Logo, 
x
21h eCCy

 
A soluçãoparticular tem a forma 
BsenxxcosAyp 
. Derivando: 
xcosBAsenxyp 

 e 
BsenxxcosAyp 

. Substituindo-se na equação obtém-se: 
BsenxxcosA  xcosBAsenx
= cosx + 2senx  (–A+B)cosx + (–B–A)senx = cosx + 2 senx 
 





2BA
1BA cuja solução é 
2
1
B e 
2
3
A 
. 
Logo, 
senx
2
1
xcos
2
3
yp 
 e a solução geral fica 
x
21 eCCy

senx
2
1
xcos
2
3

 
 13 
O Método dos Coeficientes a Determinar para equações de 1ª ordem 
 
O método dos Coeficientes a Determinar também pode ser aplicado para equações de 1ª ordem com 
coeficientes constantes da forma 
 xsen e Q(x) +x cos e P(x) =yay xx1 

 
A equação característica da homogênea associada, neste caso, é de 1º grau k + a1 = 0 cuja solução é 
k = –a1 . Logo, xa
1h
1eCy

 
A montagem da solução particular segue os mesmos critérios do caso de 2ª ordem, sendo que neste caso 
a equação característica tem apenas uma raiz real e portanto só existe uma situação em que temos que 
“corrigir” o grau do polinômio Pn(x), que é quando a equação é da forma 
 e (x)P =yay xn1

 e  = –a1 
 
Exemplos: 
1) 
xcosyy 
 
Solução: A equação característica é k + 1 = 0 e portanto 
x
1h eCy

 
A função 
xcossenxe)x(Qxcose)x(P)x(f xx  
. Logo, P(x) =1; Q(x) = 0;  = 0;  = 1 
Logo, 
BsenxxcosAyp 
. Derivando 
xcosBAsenxyp 

 e substituindo na equação: 
xcosBAsenx
+ Acosx + Bsenx = cosx  





0BA
1BA cuja solução é 
2
1
B e 
2
1
A 
. 
Logo, a solução geral da equação fica 
2
senx
2
xcos
Cey x  
 
 
2) 
x2xey2y 
 
Solução: A equação característica é k – 2 = 0 e portanto 
x2
h Cey 
 
A função 
x2x xee)x(P)x(f  
. Logo, P(x) = x e  = 2 que é raíz da equação característica 
Assim, 
x22x2
p e)BxAx(e)BAx(xy 
 . Derivando: 
x22x2
p e)BxAx(2e)BAx2(y 

 e 
substituindo na equação: 
x2x22x22x2 xee)BxAx(2e)BxAx(2e)BAx2( 
 
0B e 
2
1
AxBAx2 
 
Logo, a solução geral fica 
2
ex
Cey
x22
x2 
 
 14 
 
Observações sobre os dois métodos: 
 
1) Como já salientamos o método da Variação dos Parâmetros é mais geral. Pode ser aplicado para 
equaçõesa coeficientes variáveis e para qualquer função f(x). O que pode dificultar esse método é 
o cálculo das integrais para se obter as funções C1(x) e C2(x). 
2) O método dos coeficientes a determinar tem a vantagem de não se fazer integração mas só se 
aplica a equações com coeficientes constantes e quando a função do 2
o
 membro é da forma 
 xsen e Q(x) + x cos e P(x) = f(x) x x  
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce / DiPrima 
2. Equações Diferenciais vol 1 – Zill / Cullen 
3. Matemática Superior – Erwing Kreyszig