apol 5 de Algebra Linear

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05/04/2016	AVA UNIVIRTUS
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05/04/2016	AVA UNIVIRTUS
APOL 5
		
	Disciplina(s):
Álgebra Linear
	Data de início:
	01/10/2015 23:35
	Prazo máximo entrega:
	- 
	Data de entrega:
	16/10/2015 04:00
Questão 1/10
Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta:
( ) T é um operador linear de R².
( ) é a matriz canônica de T.
( ) T(1,2) = (3,4).
( ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R².
		A	V F V F 
	B
V F F V
 
Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R².
Item ii) Falso: matriz canônica de T é igual a 
.
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6).
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e
Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T.

		C	F V V F 
		D	F F F V 
Questão 2/10
Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das coordenadas de w é igual a:
		A	4 

		B	5
		C	6
		D	7
Questão 3/10 Seja T o operador linear de R² tal que T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (3,4). Sendo assim, T(12,13) é igual a:
		A	(50,63)
	B
(51,64)
Como {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R², se conhece o efeito de T sobre uma base de R², portanto, pode­se
determinar seu efeito sobre qualquer vetor de R² e, em particular, sobre (12,13).
Para isso, escreve­se o vetor em questão como combinação linear dos vetores da base dada:
Do que se pode concluir que: 
Portanto, tem­se: (12,13) = 12.(1,0) + 13.(0,1) 
E em assim, calcular T(12,13) é o mesmo que calcular T(12.(1,0) + 13. (0,1)). Como T é uma combinação linear,
pode­se fazer:

		C	(52,65)
		D	(53,66)
Questão 4/10
Julgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes 
 e 
, em seguida marque a
alternativa correta:
( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = (x+4y, 2x+2y,3x).
( ) B é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y,z) = (x+y, y+2z).
( ) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R³.
( ) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R³ em R².
A
V V V V 
 
Você acertou!
Todas as afirmativas são verdadeiras.

	
	
		B
	V F V V
		C
	F V V V 
		D
	V V V F 
Questão 5/10
Sobre transformações lineares, é incorreto afirmar que:
		A	Podem ser descritas matricialmente pela equação w = A.x.
		B	T(x,y) = (2x,3y,4z) é um exemplo de transformação linear de R² em R³.
		C	Têm por núcleo o conjunto dos vetores de seu domínio que são levados no vetor nulo.
		D	T(x,y,z) = (x+y,z+2) é um exemplo de transformação linear de R³ em R².
 Estão corretas as alternativas a, b, c, sendo falsa a alternativa D por não se tratar de uma combinação linear.
Questão 6/10
Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a base de referência de C para B é igual a:
A
B
C
D
Você acertou!

Questão 7/10
Marque a alternativa que apresenta um autovetor de 
:
			A	
			B	
			C	
			D	
Questão 8/10
Dada uma matriz 
, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa correta:

( ) Quaisquer que sejam os números reais a e b, M não possui autovalores.
( ) Quaisquer que sejam os reais a e b, M é uma matriz diagonal.
( ) Definidos os escalares reais a e b, M será a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R².
		A	V V V 
	B
F V V 
 
Você acertou!
i) FALSO: os autovalores de M serão justamente os escalares a e b.
 
ii) VERDADEIRO: M é quadrada e os elementos que não ocupam a diagonal são nulos, portanto, M é uma matriz
diagonal.
iii) VERDADEIRO: M é 2x2, portanto, é a matriz canônica de um operador linear de R².

		C	F F V 
		D	V F F 
Questão 9/10
Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa correta: 
M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários. 
M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários. iii. Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores.
		A	V F F 
 
		B	F F V 
		C	V V F 
	D
F V V
i. FALSO: os autovalores de M podem não ser distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui três autovalores
iguais (de valor 2): 
 .
ii. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser reais ou imaginários, dependendo da formulação de M.
iii. VERDADEIRO: considerando­se o conjunto dos complexos, M sempre terá autovalores.

Questão 10/10
Dentre as alternativas abaixo, marque a única que apresenta uma matriz cujos autovalores são iguais a 1, 2 e 3:
		A	
		B	
	C
A matriz apresentada na alternativa c é a única que possui autovalores iguais a 1, 2, e 3.

		D
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