EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Prévia do material em texto

1 
 
 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 
Equação do 1º grau 
Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode 
ser escrita sob a forma: 
ax b 0 
 
em que a e b são números reais, com a ≠ 0. 
 
Determinar a solução de uma equação do 1º grau significa obter, por meio de propriedades ou 
processos algébricos, o valor da incógnita x que verifica a igualdade. 
Chamamos de solução de uma equação os valores numéricos que atribuídos às incógnitas da 
equação tornam a igualdade verdadeira. Assim temos que: 
 O número 2 é solução da equação 5x – 10 = 0, pois a sentença 5 . 2 – 10 = 0 é verdadeira; 
 O número 4 é solução da equação 5(z – 1) = 2z + 7, pois a sentença 5(4 – 1) = 2 . 4 + 7 é 
verdadeira. 
Qualquer equação do 1º grau admite uma solução única. O símbolo () serve para indicar que 
duas equações admitem a mesma solução e, neste caso, dizemos que essas equações são 
equivalentes. Veja alguns exemplos. 
 5x – 10 = 0  5x = 10 
 2x + 9 = y  9 = 3y 
 5(z – 1) = 2z + 7  3z – 12 = 0 
 
Resolução de equações de 1º grau 
Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiam-se nos seguintes 
princípios. 
 Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma equação, 
obtemos outra equação equivalente. 
x + 3 = 8 
x + 3 – 3 = 8 – 3 
x + 0 = 5 
x = 5 
 
 
 
2 
 
 
 Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da equação por um mesmo número, 
obtemos outra equação equivalente. 
3x = 21 
3
1 1
3 3
x. 21.
 
x . 1 = 7 . 1 
x = 7 
Problemas modelados por equações de 1º grau 
Para resolver problemas por meio de equações de 1º grau precisamos: 
 ler o enunciado com muita atenção; 
 verificar quem ou o que é a incógnita do problema, atribuindo à mesma um símbolo (x, 
por exemplo) 
 escrever a equação de acordo com os dados do problema; 
 por meio de processos algébricos resolver a equação obtida; 
 fazer a interpretação da solução no correspondente problema; 
 
Inequações de 1º grau 
Para estudarmos as inequações de 1º grau, devemos antes aprimorar nossa compreensão do 
conceito de desigualdades numéricas designado pelo símbolo (≠), cujo significado é o oposto do 
símbolo (=). Assim, sendo x e y dois números quaisquer, a sentença x ≠ y informa que o número x 
é diferente do número y. 
A relação de igualdade (=) possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
reflexiva simétrica transitiva 
a = a a = b  b = a a b
a c
b c
 
 
 
 
 
A relação de desigualdade admite a propriedade simétrica: a ≠ b  b ≠ a, mas não admite a 
propriedade reflexiva, uma vez que a ≠ a falso, nem a propriedade transitiva, pois se a ≠ b e b ≠ c, 
é bem possível que tenhamos a = c. 
 
Separamos as desigualdades em dois casos e usamos os símbolos (<) e (>) para representa-las. 
Esses novos símbolos são comumente chamados de “menor que” (<) e “maior que” (>). Eles 
designam, respectivamente, as relações estritas de ordem crescente e decrescente entre números 
reais distintos. Veja, a seguir, alguns números reais postos em ordem crescente: 
1
5 3 0 1 2 2
2
       
 
3 
 
 
Princípio da tricotomia 
Sendo x e y dois números reais quaisquer, o princípio da tricotomia nos garante que: x < y ou x = y 
ou x > y. 
As relações de ordem (<) e (>) são combinadas em uma propriedade semelhante à propriedade 
simétrica da igualdade, mas que é chamada de propriedade antissimétrica: a < b  b > a. Assim, o 
princípio da tricotomia pode ser enunciado somente com os símbolos (=) e (<) da seguinte 
maneira: x < y ou x = y ou y < x. 
Além disso, as relações de ordem (<) e (>) são transitivas, pois se a < b e b < c, então temos que 
a < c, e se a > b e b > c, temos que a > c. Mas não são reflexivas, pois tanto a < a quanto a > a são 
sentenças falsas. 
A negação dessas relações são indicadas pelos símbolos mistos (≤) e (≥) que combinam a relação 
de igualdade com uma das relações de ordem. 
 
Relação Negação 
> 
“maior que” 
≤ 
“menor ou igual que” 
< 
“menor que” 
≥ 
“maior ou igual que” 
 
Devemos nos atentar para o fato de que sendo x um número real ou racional, uma sentença como, 
por exemplo, x < 4 não significa x ≤ 3. Isso só é verdade no universo dos números inteiros e 
naturais, pois existem números racionais como 4,57 ou irracionais como a 
10
, que mesmo sendo 
menores que o número 4, são ambos maiores que 3. Então devemos saber o que representa a 
variável x em cada problema. Afinal, se x representa um número de pessoas, temos que x < 4 
significa x ≤ 3, mas se x representa o preço de um produto ou o lado de um triângulo, então x < 4 e 
x ≤ 3 possuem significados diferentes. 
 
 
Resolução de inequações de 1º grau 
Os processos algébricos utilizados para a resolução de inequações de 1º grau são os mesmos 
utilizados para a resolução de equações de 1º grau. No entanto, devemos estar atentos a uma 
questão: quando multiplicamos uma desigualdade que envolve (>) ou (<) por (1), devemos 
substituir o símbolo (>) por (<) e o símbolo (<) por (>) para manter o status de verdadeira dessa 
sentença. Sabemos que 5 > 3. Ao multiplicarmos ambos os membros dessa desigualdade por 
(1), obtemos 5 . (1) > 3 . (1), que, sem substituir o símbolo (>) por (<) ficaria, 5 > 3, que 
não é uma sentença verdadeira. Substituindo o símbolo (>) por (<), a nova desigualdade 5 < 3 é 
equivalente a primeira 5 > 3. 
 
 
 
4 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Qual é a solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20? 5(x 3) 2(x 1) 20
5x 15 2x 2 20
3x 17 20
3x 20 17
3x 3
x 1
   
   
 
 


 
2. O conjunto solução da equação 
x 2
2
x


 em R é: 
a) S = {1} 
b) S = {2} 
c) S = {2} 
d) S =  
x 2
2
x
x 2 2x
x 2x 2
x 2
x 2


 
  
  

 
3. Resolva as seguintes inequações de 1º grau. 
a) 
3x 2x
5 5
2 3
  
 3x 2x
5 5
2 3
9x 4x
10
6
5x 60
x 12
  




 
 
b) 
1 3x x 1
x 1
2 3
 
  
 
3(1 3x) 6x 2(x 1) 6
6 6
3 9x 6x 2x 2 6
3 15x 2x 8
15x 2x 8 3
17x 11 (-1)
17x 11
11
x
17
   

    
  
    
  


 
5 
 
 
4. Determine os valores de a para os quais a equação ax + 1 = 2x + 7 possui solução. 
a) a  1 
b) a  2 
c) a  3 
d) a  – 1 
e) a  – 2 
ax 2x 6
x(a 2) 6
6
x
a 2
a 2 0
a 2
 
 


 
 
5. Leia a seguinte descrição de uma sequência de cálculos sobre um número. 
 pensei em um número; 
 subtraí 4 desse número; 
 dividi o resultado por 5; 
 multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40. 
Em que número pensei? 
Seja x o número pensado. 
Subtrai 4 desse número: x – 4 
Dividi o resultado por 5: 
x 4
5

 
Multiplique o novo resultado por 8 e encontrei 40: 
x 4 x 4
8. 40 5 x 4 25 x 29
5 5
  
        
 
 
 
6. Suponha que para calcular a nota final de uma prova com 30 questões fossem contabilizados 
quatro pontos a cada questão que o aluno acertasse e, menos um ponto, a cada questão que 
o alunos errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as 
questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou? 
4x – (30 – x) = 60 
4x + x = 60 + 30 
5x = 90 
x = 18 
 
 
 
6 
 
 
Exercícios Propostos 
1. Qual é a solução da equação 
4x 1 1 2x
?
2 3
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A solução da equação 2(x + 1)= 3(2 – x) é 
um número racional: 
a) menor que 1 
b) compreendido entre 1 e 0 
c) compreendido entre 0 e 1 
d) maior que 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Resolva as seguintes inequações de 1º 
grau. 
a) 
x x
1 3
2 2
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x x 1 x
x
2 3 6

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
5 x 4x 4 x
x
6 x 2
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
4. Diminuindo-se 6 anos da idade de minha 
filha obtém-se os 
3
5
 de sua idade. Qual é a 
idade de minha filha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um aluno recebe 3 pontos por problema 
que acerta e perde 2 pontos por problema 
que erra. Fez 50 problemas e obteve 85 
pontos. Quantos problemas ele acertou? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Em uma caixa há bolas brancas e pretas em 
um total de 360. Se o número de brancas é 
o quádruplo do de pretas, qual é o número 
de bolas brancas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. José gastou tudo o que tinha no bolso em 
três lojas. Em cada uma gastou 1 (um) real 
a mais do que a metade do que tinha ao 
entrar. Quanto tinha José quando entrou 
na primeira loja? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 
5/16 c 
a)x≥4 
b) R 
c)  
15 37 288 14