EXERCICIOS DE CALCULO II - LISTA 4

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EXERCÍCIOS DE CALCULO II – LISTA 4 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICA NATURAL E EXPONENCIAL NATURAL 
 
Função Logarítmica Natural. 
Definição. A função logarítmica natural, indicada por ln, é a função definida por 
 ∫
 
 
 
 
 
 
Teorema. Se u for uma função diferenciável de x, com u(x) > 0, então 
 ( ) 
 
 
 
Teorema. Se u for uma função diferenciável de x, com u(x) 0, então 
 ( | |) 
 
 
 
Teorema. 
Teorema. Se a e b são números positivos quaisquer, então ( ) 
Teorema. Se a e b são números positivos quaisquer, então (
 
 
) 
Teorema.Se a e b são ambos positivos ou são ambos negativos, então 
 ( ) | | | | e 
 
 
 | | | | 
 ∫
 
 
 | | 
 ∫ {
 
 
 
 | | 
 
 
Integrais que resultam na Função Logarítmica Natural. 
 ∫ | | 
 ∫ | | 
 ∫ | | 
 ∫ | | 
 
Função Exponencial Natural. 
Definição. A função exponencial natural é a inversa da função logarítmica natural. Assim sendo, 
é definida por exp(x) = y se, e somente se, x = . 
Definição. Se a for um número positivo qualquer e x um número real qualquer, define-se 
 ( ) 
Teorema. Se a for um número positivo qualquer e x um número real qualquer, então 
 
Definição. O número e é definido pela fórmula 
e = exp(x) 
Teorema. 
Teorema. Para todo valor de x, exp(x) = . 
Agora, 
 i) 
ii) 
iii) 
Teorema. Se a e b forem números reais quaisquer, então 
i) 
 ii) 
 iii) ( ) 
Teorema. Se u for uma função diferenciável de x, então 
 ( 
 ) 
 ∫ 
EXERCÍCIOS 
01. Determinar as derivadas das funções. 
a) y = | | b) y = ( √ ) c) y = | | d) y = | | 
e) y = (
 
 
) f) y = 
 
√ 
 g) y = |
 
 
| h) y = 
RESPOSTAS 
a) 
 
 
 b) 
 
 √ ( √ )
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 ( )
 f) 
 
 
 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
 
 
02.Calcular , usando diferenciação logarítmica. 
a) y = √ ( ) b) y = √
 
 
 c) y = √ d) y = x(x+1)(x+2) 
RESPOSTAS 
a) 
 
 √ ( )
 b 
 
 √ ( ) ⁄
 c) √ ( ) (
 
 ( )
 ) 
d) 
03. Achar a equação da reta normal à curva y = que seja paralela à reta x + 2y = 1. 
R: y = -
 
 
 + 
 
 
 - 
04. Uma partícula move-se ao longo de uma reta, de acordo com a lei de movimento 
s = (t + 1)
2 ( ), onde s é a distância orientada da partícula ao ponto inicial em t segundos. 
Achar a velocidade e a aceleração da partícula quando t = 3. R: v = 4 + 16 ; a = 3 + 
05.Calcular as integrais indefinidas. 
 ) ∫
 
 
 ) ∫
 
 
 c) ∫
 
 ( )
 d) ∫
 
 
 e) ∫
 
 
 
f) ∫( ) g) ∫
 
 
 h) ∫
 
 
 i) ∫
 ( )
 
 j) ∫
 √ 
√ 
 
RESPOSTAS 
a) 
 
 
 | | + C b) 
 
 
 | | + C c) | | + C d) 
 
 
 | | + C 
e) 
 
 
 | |+ C f) 
 
 
 ( ) + C g) x² + 4 | | + C h) | | + C 
i) | ( )| + C j) 2 | √ | 
06. Calcular as integrais definidas. 
a) ∫
 
 
 
 
 
 b) ∫
 
 
 
 
 
 c) ∫
 
 
 
 
 
 d) ∫ ( ) 
 ⁄
 
 e) ∫
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
a) b) 
 
 
 
 
 
 c) 4 + d) 
 
 
 ( √ ) e) 
 
 
 
07. Achar a área da região limitada pela curva y = 
 
 
 pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta 
x = 4. R: A = 
 
 
 u.q. 
08. Achar a área da região limitada pela curva y = 
 
 
 pelo eixo x e pelas retas x = 4 e x = 5. 
 R: A = u.q. 
09. Achar o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pelo eixo x, 
pela curva y = 1 + 
 
√ 
 e pelas retas x = 1 e x = 4 gira em torno do eixo x. 
 R: V = ( ) u.c. 
10. A região, no primeiro quadrante, limitada à esquerda pela reta x = 
 
 
, superiormente pela 
curva y = 
 
√ 
 e inferiormente pela reta y = 1, gira em torno do eixo x, gerando um sólido. 
Calcular, pelo método do anel circular, o volume desse sólido. R: V = ( 
 
 
 ) u.c. 
 
11. Calcular a derivada. 
 a) y = b) y = c) y = d) y = 
 
 e) y = ( ) 
 f) f(x) = ( ) g) g(x) = h) y = 
 
RESPOSTAS 
a) 7 b) ( ) c) ( ) 
d) ( ) 
 
 e) 
 
 
 f) ( ) 
g) 3 h) ( ) 
 
12. Calcular 
 
 
, usando diferenciação logarítmica. 
a) y = ( ) b) y = ( ) c) y = ( ) d) y = √ 
RESPOSTAS 
a) 
 
 
 ( ) *
 
 
 
 
 
 ( )+ b) 
 
 
 ( ) *
 
 
 ( ) ( )+ 
c) 
 
 
 ( ) *
 
 
 ( ) ( )+ d) 
 
 
 √ ( )⁄ ( 
 
 
 ) 
13. Calcular 
 
 
 por derivação implícita. 
 a) b) y² c) 
RESPOSTAS 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 –
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
14. Calcular as integrais. 
 )∫ ( ) )∫
 √ 
√ 
 )∫ )∫
 ⁄
 
 )∫ 
 )∫
 
 
 )∫
 
 
 )∫
 
 
 )∫
 
( ) 
 ) ∫ 
 
 
 
 )∫ 
 
 
 ) ∫ ⁄ 
 
 
 )∫ 
 ( ⁄ )
 ( )⁄
 
RESPOSTAS 
a) ( ) b) √ c) d) ⁄ e) 
 
 
 
f) ( ) g) ( ) h) ( ) ) 
 
 ( )
 
j) k) 1 l) 2 m) 1 
 
15. Achar a solução da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais. 
 )
 
 
 ( ) R: y = 1 - ( ) 
 )
 
 
 R: y = 2( ) 
 ) 
 
 
 
 
 
 R: y = x + | | 
 )
 
 
 R: y = | | 
16. Determinar a área da região, no primeiro quadrante, limitada acima pela curva ⁄ , 
abaixo pela curva y = ⁄ e á direitapela reta x = R: A = 1 u.q. 
17. Determinar a área da região entre a curva e o intervalo do eixo x. 
 R: A = 
 
 
 u.q. 
18. A região limitada pelas curvas , y = 0, x = 0 e x = 1 é girada em torno do eixo x, 
gerando um sólido. Determinar o volume desse sólido. R: V = 
 
 
( 
 
 
) 
19. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação,em torno do eixo x, da região delimitada 
pela curva x = 
 
e pelas retas y = 0, x = 0 e y = 1. R: V = (e – 1) 
20. Determinar o comprimento do arco da curva 
 
 
 de x = 1 até x = 2. 
 R: L = 3 + 
 
 
 
21. Determinar o comprimento do arco da curva paramétrica: 
a) x = , y = 4 ⁄ ; para R: L = 
b) ; para . R: L = √ ( ) 
22. Determinar a área da superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y, da 
curva 
 
 
( ), para R: S = (
 
 
 ) 
23. Determinar a área da superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo x, da 
curva paramétrica x = , y = 4 ⁄ ; para . R: S = 
 
 
( ⁄ ⁄ )