EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 6

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 6 
 
Funções Trigonométricas Inversas. 
1. A função inversa do seno 
y = sen−1 x ⟺ x = sen y e −
π
2
≤ y ≤
π
2
 
2. A função inversa do cosseno: 
y = cos−1 x ⟺ x = cos y e 0 ≤ y ≤ π 
3. A função inversa da tangente 
y = tg−1 x ⟺ x = tg y e −
π
2
< 𝑦 <
π
2
 
4. A inversa da função cotangente 
 y = cotg−1 x ⟺ x = cotg−1 y e 0 < y < 𝜋. 
5. A inversa da função secante 
 y = sec−1 x ⟺ x = sec y e {
0 ≤ y <
π
2
 se x ≥ 1 
π ≤ y <
3π
2
 se x ≤ −1
 
6. A função inversa da cossecante y = cossec−1 x ⟺
x = cossec y e {
0 < 𝑦 ≤
π
2
 se ≥ 1 
−π < 𝑦 ≤ −
π
2
 se x ≤ −1
 
IMPORTANTE 
 i) cos−1 x =
π
2
− sen−1 x 
 ii) cotg−1 x =
π
2
− tg−1 x 
iii) cossec−1 x =
π
2
− sec−1 x 
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas. 
Teorema. Se u for função diferenciável de x, então 
1. Dx(sen
−1 u) =
1
√1−u2
Dxu 2. Dx(cos
−1 u) = −
1
√1−u2
Dxu 
3. Dx(tg
−1 u) =
1
1+u2
Dxu 4. Dx(co tg
−1 u) = −
1
1+u2
Dxu 
5. Dx(sec
−1 u) =
1
u√u2 − 1
Dxu 6. Dx(cossec
−1 u) = −
1
u√u2 − 1
Dxu 
Integrais que resultam em Funções Trigonométricas Inversas. 
Teorema. 
1. ∫
du
√a2 − u2
= sen−1
u
a
+ C a > 0 
2. ∫
du
a2 + u2
=
1
a
tg−1
u
a
+ C a ≠ 0 
3. ∫
du
u√u2 − a2
=
1
a
sec−1
u
a
+ C a > 0 
EXERCÍCIOS 
01. Determinar o valor de: 
a) tg−1(−√3) b) tg−1 (
1
√3
) c) sen−1 (
1
√2
) d) sen−1 (−
√3
2
) e) cos−1 (−
1
√2
) 
f) cos−1 (
√3
2
) g) sec−1(
2
√3
) h) sec−1(−2) i) cossec−1 (−
2
√3
) j) cossec−1 2 
k) cotg−1 √3 l) cotg−1 (−
1
√3
) 
RESPOSTAS 
01. a) −
π
3
 b) 
π
6
 c) 
π
4
 d) −
π
3
 e) 
3
4
π f) 
π
6
 g) 
π
6
 h) 
2
3
π i) −
2π
3
 j) 
π
6
 k) 
π
6
 l) 
2π
3
 
 
02. Calcular
dy
dx
 
a) y = cos−1 x2 b)y = sen−1 √2x c) y = sec−1(2x + 1) d) y = cossec−1(x² + 1) 
e) y = sec−1
1
x
 f) y = cotg−1 √x g) y = ln(tg−1 x) h) y = cossec−1 ex 
RESPOSTAS 
 a) 
−2x
√1−x4
 b) 
√2
√1−2x²
 c) 
1
(2x+1)√x²+x
 d) 
−2x
(x²+1)√x4+2x²
 e) 
−|x|
x√1−x²
 f) 
−1
2√x(1+x)
 
 g) 
1
(tg−1 x)(1+x²)
 h) 
−1
√e2x−1
 
 
03. Achar 
dy
dx
 por derivação implícita. 
a) ex+y = cos−1 x b) xsen y + x³ = tg−1 y c) cotg−1
x²
3y
+ xy² = 0 
RESPOSTAS 
03. a) −1 −
1
cos−1 x√1−x²
 b) 
(1+y²)(3x²+sen y)
1−x cos y(1+y²)
 c) 
6xy−9y4−x4y²
3x²+18xy³+2x5y
 
 
04. Calcular as integrais. 
a) ∫
dx
√2 − 5x²
 b) ∫
xdx
√16 − 9x4
 c) ∫
exdx
7 + e2x
 d) ∫
dx
(1 + x)√x
 e) ∫
dx
x² − x + 2
 
f) ∫
dx
√15 + 2x − x²
 g) ∫
xdx
√3 − 2x − x²
 h) ∫
2x³dx
2x² − 4x + 3
 i) ∫
1 + x
1 + x²
dx
1
0
 
RESPOSTAS 
a) 
√5
5
sen−1
√10
2
x + C b) 
1
6
sen−1
3x²
4
+ C c) 
1
√7
tg−1
ex
√7
+ C d) 2 tg−1 √x + C 
 e) 
2
√7
tg−1
2x−1
√7
+ C f) sen−1
x−1
4
+ C g) cos−1
1+x
2
− √3 − 2x − x² 
 h) 
1
2
x² + 2x +
5
4
ln(2x² − 4x + 3) −
√2
2
tg−1 √2(x − 1) + C i) 
π
4
+
1
2
ln 2 
05. Um letreiro com 3 m de altura está colocado em uma parede, sendo que sua base está 2 m 
acima do nível dos olhos de uma mulher que tenta lê-lo. A que distância da parede ela deve ficar 
para ter a melhor visão do letreiro, isto é, para que o ângulo sob o qual ela vê o letreiro seja 
máximo? R . √10 m 
 
06. Um quadro com 40 cm de altura está colocado em uma parede, sendo que sua base está 30 
cm acima do nível dos olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma 
velocidade de 40 cm/s. Determinar com que velocidade a medida do ângulo de visão da pintura 
estará variando quando o observador estiver a 1 m da parede. R: 0,078 rad/s 
 
07. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da 
escada for puxada horizontalmente de tal forma que se afaste da parede e que seu topo 
escorregue a uma velocidade de 1 m/s, qual a velocidade com que a medida do ângulo entre a 
escada e o chão estará variando quando o pé da escada estiver a 4 m da parede? R: 
1
4
 rad/s 
 
08. Achar a área da região limitada pelos eixos coordenados, pela curva y = 
8
𝑥²+4
 e pela reta 
x = 2. R: π u.q 
09. Achar a área da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 
1
√5−4𝑥−𝑥²
 e pelas retas 
x = −
7
2
 e x = - 
1
2
. R: 
1
3
π u.q