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Integração por Frações Parciais (Parte 1) – Fatores Lineares Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma função do tipo: onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos. Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais. O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais. Um polinômio em x é uma função da forma: onde os coeficientes são constantes, a0 ≠ 0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo. Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais. Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax + b e fatores de segundo grau, irredutíveis, da forma ax2 + bx + c. Uma função: onde f (x) e g (x) são polinômios, é chamada de fração racional. Se o grau de f (x) for menor que o grau de g (x), F (x) é uma fração racional própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria. Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. Assim: Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma: onde n é um inteiro positivo. Podemos ter quaro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam. Vejamos cada caso individualmente. Caso 1 – Fatores Lineares Distintos A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma fração parcial da forma: onde A é uma constante a determinar. Exemplo 1: Achar a integral: a) Primeiramente, fatoramos o denominador: Fazemos: Temos então que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/4 e A2 = –1/4. Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. c) Agora, vamos reescrever a integral como: E pelas propriedades dos logaritmos, temos: Exemplo 2: Achar a integral: a) Primeiramente, fatoramos o denominador: Fazemos: Temos então que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = –1/6 , A2 = 3/10 e A3 = –2/15. Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 2 e x = –3. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. c) Agora, vamos reescrever a integral como: E pelas propriedades dos logaritmos, temos: Caso 2 – Fatores Lineares Repetidos A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma: onde A1, A2, ..., An são constantes a determinar. Exemplo 3: Achar a integral: a) Primeiramente, fatoramos o denominador: Vejam que o fator que se repete é o (x – 1), pois (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1). Como aparece duas vezes, fazemos Temos então que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/2 , A2 = –1/2 e A3 = 4. Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: Ainda falta determinar a constante A2. Para isso, atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já determinados para A1 e A2. Vamos supor x = 0: Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. c) Agora, vamos reescrever a integral como: E pelas propriedades dos logaritmos: Exemplo 4: Achar a integral: Veja que neste caso, o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador. Fazemos a divisão: Fazemos: Temos então que: Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 1 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: c) Agora, vamos reescrever a integral como: E pelas propriedades dos logaritmos: Problemas para resolver em casa: Integração por Frações Parciais (Parte 2) – Fatores Quadráticos Irredutíveis Na primeira parte sobre Integração por Frações Parciais, vimos a técnica para integrar quando o integrante é uma fração racional e o denominador é um fator linear. Vamos ver agora como proceder se o denominador da fração racional do integrante é um fator quadrático irredutível. Caso 3 – Fatores Distintos do Segundo Grau A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 +bx + c que aparece uma vez no denominador de uma fração raciona própria, corresponde a uma fração parcial da forma: onde A e B são constantes a determinar. Exemplo 1: Achar a integral: a) Primeiramente, fatoramos o denominador: Fazemos: Temos então que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1, A2 = 0 e A3 = –1. c) Agora, vamos reescrever a integral como: Completando quadrado, para o denominador do integrando, temos que: Assim: Fazemos integração por substituição. Seja: Então: A integral: Desta forma, temos que: Caso 4 – Fatores Repetidos do Segundo Grau A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 +bx + c que aparece n vezes no denominadorde uma fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma: onde A1, A2, ..., An e B1, B2, ..., Bn são constantes a determinar. Exemplo 2: Achar a integral: a) Primeiramente, fatoramos o denominador. Vejam que o fator que se repete é o (x2 + 2x + 3). Como aparece duas vezes, fazemos: Temos então que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 0, A2 = 1, A3 = –1 e A4 = –1. c) Agora, vamos reescrever a integral como: Para a primeira integral, completamos quadrado e para resolver as duas integrais, aplicamos o método de integração por substituição, encontrando: Referências: [1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr – Coleção Schaum [2] Cálculo II – Abílio Souza Costa Neto – FTC EAD FONTE DO MATERIAL: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais- parte-1.html http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais- parte-2.html
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