revisão de matrizes

Prévia do material em texto

DMA – IMECC – UNICAMP
MATRIZES 1o Sem / 2009
Prof. ROBERTO ANDREANI Sala 110
REVISA˜O
1 Matrizes
1.1 Definic¸a˜o
• Uma matriz real com m linhas e n colunas, A ∈ IRm×n e´ definida por
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 .
1.2 Operac¸o˜es com Matrizes
Seja α ∈ IR, A ∈ IRm×n e B ∈ IRp×q.
• Soma e Subtrac¸a˜o: C = A±B
Se m = p e n = q enta˜o cij = aij ± bij e C ∈ IRm×n.
• Multiplicac¸a˜o por Escalar: C = α ·A
Se m = p e n = q enta˜o cij = α · aij e C ∈ IRm×n.
• Multiplicac¸a˜o: C = A ·B
Se n = p enta˜o cij =
n∑
k=1
aik · bkj e C ∈ IRm×q.
• Matriz Transposta: C = AT
cij = aji e C ∈ IRn×m.
• Matriz Inversa: C = A−1
Se m = n enta˜o C ·A = A · C = I (Identidade) e C ∈ IRn×n.
1
1.3 Operac¸o˜es por Blocos
• Seja A ∈ IRm×n decomposta por blocos da seguinte forma: A =

A11 · · · A1q
...
. . .
...
Ap1 · · · Apq
 ,
onde Aij ∈ IRni×nj para i = 1, . . . , p, e j = 1, . . . , q com
p∑
i=1
mi = m e
q∑
j=1
mj = n.
• Todas as operac¸o˜es realizadas na sec¸a˜o anterior podem ser efetuadas por blocos,
desde que as dimenso˜es dos blocos sejam compat´ıveis com a operac¸a˜o escolhida.
1.4 Matrizes Especiais
• Linha: m = 1.
• Coluna: n = 1.
• Nula: aij = 0.
• Quadrada: m = n.
• Diagonal: aij = 0 para i 6= j.
• Identidade: m = n e aij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j (aij = δij).
• Triangular Inferior: aij = 0 se i < j.
• Triangular Superior: aij = 0 se i > j.
• Sime´trica: m = n e aij = aji.
• Anti-Sime´trica: m = n e aij = −aji.
• Idempotente: m = n e A2 = A.
• Nilpotente: m = n e Ak = 0 para algum inteiro positivo k.
• Auto-Reflexiva: m = n e A2 = I.
• Ortogonal: m = n e A−1 = AT .
• Normal: m = n e ATA = AAT .
2
1.5 Posto
• O posto linha (coluna) de uma matriz A ∈ IRm×n e´ o nu´mero de linhas (colunas)
linearmente independentes.
• Pode-se mostrar que o posto linha e´ igual ao posto coluna. Denotamos enta˜o o posto
da matriz A por posto(A).
• Uma matriz tem posto completo se posto(A) = mı´nimo{m,n}, isto e´, se o posto e´ o
maior valor poss´ıvel.
• Uma matriz quadrada e´ singular se o seu posto na˜o e´ completo.
1.6 Subespac¸os Associados
Seja A ∈ IRm×n. Definimos,
• Nu´cleo de A: N (A) = {x ∈ IRn | Ax = 0}.
• Imagem de A: I(A) = {y ∈ IRm | y = Ax para algum x ∈ IRn}.
2 Determinantes
2.1 Definic¸a˜o
• Definimos o determinante de A ∈ Rn×n por
det(A) =
∑
{i1,i2,...,in}∈σ
(−1)o(i1i2···in) · a1i1a2i2 · · · anin ,
onde σ e´ o conjunto das permutac¸o˜es de {1, 2, . . . , n} e o(i1i2 · · · in) e´ a ordem da
permutac¸a˜o, isto e´, o nu´mero de pares (ip, iq) tais que p < q e ip > iq.
2.2 Propriedades
• det(AT ) = det(A).
• det(A ·B) = det(A) · det(B).
3
2.3 Regra de Laplace
• Para quaisquer 1 ≤ k, ` ≤ n temos que
det(A) =
n∑
j=1
(−1)k+j · akj · det(Akj) =
n∑
i=1
(−1)i+` · ai` · det(Ai`) ,
onde Apq e´ a matriz que se obte´m ao retirarmos a linha p e a coluna q da matriz A.
3 Autovalores e autovetores
• Definic¸a˜o Dada a Matriz A ∈ IRn×n dizemos que λ e um autovalor associado com
o autovetor x 6= 0 se se cumpre que
Ax = λx
• Resultado Dada a Matriz A ∈ IRn×n dizemos que λ e um autovalor se cumpre que
λ e´ um zero do seguinte polinomio, chamado de polinomio caracteristico:
P (λ) = Det(A− λI)
4 Resoluc¸a˜o de um sistema Geral
• Teorema de Rouche´ e Frobenius Dada uma matriz A ∈ IRm×n e´ o sistema Ax = b o
sistema tem soluc¸a˜o se e somente se Posto(A) = Posto(A, b) onde (A, b) ∈ IRm×n+1
e chamada dee matriz ampliada.
• Soluc¸a˜o geral de um sistema Ax = b
5 Exerc´ıcios
1. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz
sime´trica com uma matriz anti-sime´trica.
2. Sob que condic¸o˜es (A+B)(A−B) = A2 −B2?
4
3. Seja P =
 1 1
0 1
 . Calcule P 2 e P 3. Qual a expressa˜o geral para Pn?
4. Seja a ∈ IRm×n, m ≤ n e posto(A) = m. Mostre que AAT e´ na˜o singular.
5. Sejam A e B matrizes para as quais o produto de A por B esteja definido. A
primeira linha de AB e´ uma combinac¸a˜o linear de todas as linhas de B. Quais sa˜o
os coeficientes desta combinac¸a˜o linear e qual e´ a primeira linha de AB?
6. Invente um sistema linear com 6 equac¸o˜es e 4 varia´veis em cada um dos seguintes
casos: sem soluc¸a˜o, com soluc¸a˜o u´nica, com infinitas soluc¸o˜es. Justifique.
7. Seja Ax = 0 um sistema homogeˆneo de equac¸o˜es lineares, com 2 equac¸o˜es e 3
inco´gnitas. Mostre que o conjunto soluc¸a˜o desse sistema e´ um subespac¸o vetorial de
IR3.
8. Mostre que a unia˜o de dois subespac¸os de um mesmo espac¸o vetorial e´ tambe´m um
subespac¸o vetorial se, e somente se, um dos espac¸os esta´ contido no outro.
9. Se V e W sa˜o subespac¸os vetoriais de IR3 tais que dim(V ) = 1, dim(W ) = 2 e V
na˜o esta´ contido em W , mostre que IR3 = V ⊕W .
10. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e B = {u1, u2, . . . , un} uma base orde-
nada de V . Demonstre que cada w ∈ V pode ser escrito de forma u´nica como
combinac¸a˜o linear dos vetores de B.
11. Seja {e1, e2, . . . , en} a base canoˆnica de IRn e seja f : IRn → IRn o operador linear
dado por f(e1) = e2, f(e2) = e3, . . . , f(en) = e1.
a) Determine f(x), x ∈ IRn e verifique se f e´ um automorfismo.
b) Se for, encontre o automorfismo inverso.
12. Mostre que os operadores F , G eH ∈ L(IR2), definidos por F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) =
(y, x+ y), H(x, y) = (0, x) formam um conjunto LI em L(IR2).
13. Mostre que o operador F ∈ L(V ) e´ idempotente se, e somente se, I − F e´ idempo-
tente.
5
14. Sendo A e B matrizes invers´ıveis, calcule a matriz X tal que:
(a) AX = B (b) AXB = I (c) ABX = BT (d) ABA−1X = AT .
15. Seja A ∈ IRn×n, definida por aij = Ci−1j−1 para i ≥ j e aij = 0 para i < j. Mostre
que existe B = A−1 com bij = (−1)(i+j)aij .
16. Mostre que o posto linha e´ igual ao posto coluna.
17. Seja A ∈ IRm×n. Mostre que:
(a) Se B ∈ IRn×p, enta˜o posto(AB) ≤ mı´nimo{posto(A),postoB}.
(b) Se B ∈ IRm×n enta˜o posto(A+B) ≤posto(A)+posto(B).
18. Seja A ∈ IRm×n. Mostre que:
(a) N(A) e Im(AT ) sa˜o subespac¸os vetoriais de IRn e sa˜o ortogonais.
(b) N(A)⊕ Im(AT ) = IRn.
(c) Dim(Im(A)) = Dim(Im(AT )) = n− Dim(N(A)) = posto(A).
19. Sejam A e B matrizes na˜o singulares. Mostre que:
(a) (AT )−1 = (A−1)T ≡ A−T .
(b) (AB)−1 = B−1A−1.
(c) B−1 = A−1 −B−1(B −A)A−1.
20. Encontre fo´rmulas expl´ıcitas para os determinantes das matrizes de ordens 1, 2 e 3.
21. Seja α ∈ IR e A ∈ IRn×n. Mostre que:
(a) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o det(A−1) = det(A)−1.
(b) det(αA) = αn. det(A).
(c) A e´ singular se, e somente se, det(A) = 0.
(d) A e´ na˜o singular se, e somente se, N(A) = {0}.
22. Seja fn(x) o determinante da matriz quadrada de ordem n, definida por
aij =

x, | i− j | = 0
1, | i− j | = 1 .
0, | i− j | > 1
6
E´ fa´cil ver que f1(x) = x. Tomando f0(x) = 1, mostre que para todo n ≥ 1:
(a) fn+1(x) = x.fn(x)− fn−1(x);
(b) f2n−1(0) = f3n−1(1) = 0;
(c) f2n(0) = f3n(1) = (−1)n.
23. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n. Sabendo que Q3 + 2Q2 = 0, calcule o
valor de detQ.
24. Mostre que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) e´ o pro-
duto dos elementos de sua diagonal principal.
25. Para que valores de a a matriz

3 1 0
1 |a| −3
−2 0 −3
 e´ na˜o singular?
26. Seja A uma matriz idempotente. Mostre que det(I +A) 6= 0.
27. Seja A uma matriz anti-sime´trica. Mostre que I + A e´ na˜o singular e que, se A for
de ordem ı´mpar, enta˜o A e´ singular.
28. Seja A uma matriz auto-reflexiva de ordem n. Mostre que det(I ± A) = 0 ou 2n e
|det(A)| = 1.
29. Seja A ∈ IRn×n tal que xTAx ≤ 0 para todo x ∈ IRn. Mostre que (I − A) e´ na˜o
singular.
30. Sob que condic¸a˜o a matriz quadrada de ordem n + 1, A =
 B u
vT a onde B ∈
IRn×n e´ na˜o singular, u, v ∈ IRn e a ∈ IR, e´ na˜o singular? Assumindo a condic¸a˜o an-
terior, compute A−1.
31. Se u, ev ∈ IRn×1 ≡ IR sa˜o vetores na˜o nulos e A = uvT , mostre que:
(a) a matriz A tem posto(A) = 1;
(b) para todo α ∈ IR, det(I + αA) = 1 + αuT v.
7
32. Seja A ∈ IRm×n com posto(A) = k, A = [a1 a2 . . . an] (por colunas) e sejam
a1, a2, . . . , ak as colunas Linearmente Independetes de A. Como tem que ser o
vetor b para que o sistema Ax = b tenha soluc¸a˜o? Escreva a soluc¸a˜o geral do
sistema Ax = b.
33. Seja A ∈ IRn×n. Mostre que:
(a) tr(A) =
n∑
i=1
λi, onde os λi sa˜o os auto-valores de A;
(b) det(A) =
n∏
i=1
λi.
34. Mostre que se A = AH , enta˜o
(a) todos seus auto-valores sa˜o reais;
(b) se dois auto-valores sa˜o distintos, enta˜o seus correspondentes auto-vetores sa˜o
ortogonais.
35. Seja A ∈ IRn×n. Mostre que, se A e´ definida positiva (semi-definida positiva), seus
auto-valores sa˜o positivos (na˜o negativos).
8
DMA – IMECC – UNICAMP
MATRIZES 1o Sem / 2009
Prof Roberto Andreani DMA – Sala 110
• Terc¸as, das 8:00hs as 10:00 hs, Sala 151– IMECC.
• Quintas, das 8:00hs as 10:00 hs, Sala 151– IMECC.
Ementa:
• Norma de vetores e matrizes.
• Ana´lise de Sistemas Lineares. Descompocic¸a˜o de Cholesky, Fatorac¸a˜o LU, Elim-
inac¸a˜o Gaussiana.
• Projec¸a˜o - Ortogonalidade - Descomposic¸a˜o QR- Quadrados Mı´nimos Lineares.
• Decomposic¸a˜o em Valores Singulares.
• Autovalores e Autovetores.
• Me´todos Iterativos.
• Me´todos de Gradientes Conjugados
Bibliografia:
• J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
• G.H. Golub e C.F. Van Loan, Matrix Computations, 3ed., John Hopkins,
2001.
• E.L. Lima, A´lgebra Lineal, terceira edic¸a˜o Colec¸a˜o matematica universitaria,
IMPA, 1998.
• Carl D. Mayer, Matrix analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
• L.N. Trefethen e D. Bau, Numerical Linear Algebra ,SIAM, 1997.
• D.W. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons,
2nd edition 2002.
• David S. Watkins , The Matrix Eigenvalues Problems, SIAM, 2008.
Avaliac¸a˜o:
Prova Um 23.04 Prova Dois 25.06 Sub I- II 02.07 Oral 07.07
O Aluno aprovara a disciplina se seu conceito nas provas 1 e prova 2 for maior que 5.
O Aluno podera subtituir com exame escrito somente de uma das duas provas (Isto significa
que se o aluno reprova as duas provas esta reprovado na disciplina).
O conceito sera´ a media aritmetica das provas 1 e prova 2 (considerando a prova substi-
tutiva).
O conceito mı´nimo para aprovac¸a˜o e´ C.
A prova oral e´ opcional para os alunos que tenham aprovado as duas provas e sua media
esteja 0,50 do prox´ımo conceito: o conceito aumenta um n´ıvel ou se mante´m.
A 8,50 - 10,00 B 7,00 - 8,49 C 5,00 - 6,99 D 0,00- 4,99
10