Aula01_Cap_01

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HIDRÁULICA APLICADA
Capítulo 1:
CONCEITOS BÁSICOSCONCEITOS BÁSICOS
Prof. Dr. John Kenedy de Araújo
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento laminar: quando as partículas movem-se ao
longo de trajetórias bem definidas, lâminas ou camadas,
cada uma delas preservando sua identidade no meio. É
preponderante a ação da viscosidade do fluido no sentido
de amortecer a tendência de surgimento da turbulência.
Escoamentos em baixas velocidades ou em fluidos muitoEscoamentos em baixas velocidades ou em fluidos muito
viscosos;
Escoamento turbulento: quando as partículas movem-se
em trajetórias irregulares, com movimento aleatório,
produzindo uma transferência de quantidade de
movimento entre regiões da massa líquida. É a situação
mais comum nos problemas práticos da Engenharia.
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento unidimensional: é aquele em que as suas
propriedades, como pressão, velocidade, massa
específica etc., são funções exclusivas de somente uma
coordenada espacial e do tempo, isto é, são
representadas em termos de valores médios da seção.;
Escoamento bidimensional: quando as partículas escoamEscoamento bidimensional: quando as partículas escoam
em planos paralelos segundo trajetórias idênticas, não
havendo variação do escoamento na direção normal aos
planos.
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento rotacional: as partículas do líquido, numa
certa região, possuem rotação em relação a um eixo
qualquer;
Escoamento irrotacional: quando não há movimento de
rotação.
Escoamento permanente: as propriedades e
características hidráulicas, em cada ponto do espaço, não
variam com o tempo;
Escoamento não permanente ou variável: as propriedades
e características hidráulicas, em cada ponto do espaço,
variam com o tempo.
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento uniforme: é aquele no qual o vetor
velocidade, em módulo, direção e sentido, é idêntico em
todos os pontos, em um instante qualquer, ou
0V
s
∂
=
∂
�
Em que o tempo é mantido constante e ∂∂∂∂s é um
deslocamento em qualquer direção. De forma prática, o
escoamento é considerado uniforme quando todas as
seções transversais do conduto forem iguais e a
velocidade média em todas as seções, em um
determinado instante, for a mesma. Se o vetor velocidade
variar de ponto a ponto, num instante qualquer, o
escoamento é dito não uniforme.
s∂
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento em superfície livre: é aquele em que o líquido
está sempre em contato com a atmosfera, qualquer que
seja a seção transversal. Esta é a situação do escoamento
em rios, córregos ou canais. Como características deste
tipo de escoamento, pode-se dizer que ele se dá
necessariamente pela ação da gravidade e que qualquernecessariamente pela ação da gravidade e que qualquer
perturbação em trechos localizados pode dar lugar a
modificações na seção transversal da corrente em outros
trechos.
Tipos e regimes de escoamentos
Escoamento em conduto forçado: ocorre no interior das
tubulações, ocupando integralmente sua área geométrica,
sem contato com o meio externo. A pressão exercida pelo
líquido sobre a parede da tubulação é diferente da
atmosférica e qualquer perturbação do regime, em uma
seção, poderá dar lugar a alterações de velocidade eseção, poderá dar lugar a alterações de velocidade e
pressão nos diversos pontos do escoamento, mas sem
modificações na seção transversal. Tal escoamento pode
ocorrer pela ação da gravidade ou através de
bombeamento
Escoamento fluvial: quando a velocidade média do líquido
num canal, em uma seção, é menor que um certo valor
crítico, regime torrencial, quando a velocidade média, em
uma seção, é maior que um certo valor crítico.
Volume elementar
Volume:
dm dm dρ ρ= → = ∀
Massa específica:
d dA ds dA dn∗∀ = ⋅ = ⋅
dm dm d
d
ρ ρ= → = ∀
∀
Nível de referência
Equação Fundamental da Dinâmica
F dm da= ⋅∑
�
�
somatório das forças:
s nF F F= +∑ ∑ ∑
� � �
aceleração:
Nível de referência
2
s
n
V ds V
a
s dt t
V
a
r
∂ ∂
= ⋅ +
∂ ∂
= −
aceleração:
Expansão da série de Taylor
( )
( ) ( ) ( )0 0
0 !
m
m
m
f zf z z z
m
∞
=
= −∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )220 0
0 2ou ...1! 2!
f z z z f z z zf z f z
z z
∂ − ∂ −
= + + +
∂ ∂( )1! 2!z z∂ ∂
dx
.
p
pressão na face direita: 
2D
p dxp p
x
∂
= +
∂
tensão na face de cima: 
2C
dy
y
τ
τ τ
∂
= +
∂
dy
x
y
τ
Resultante das forças na direção +s
a) Força de pressão:
1
1
2p
pdF p ds dA
s
∂ 
= − ∂ 2pdF
2
1
2p
pdF p ds dA
s
∂ 
= + ∂ 
1 2sp p p
pdF dF dF dsdA
s
∂
= − = −
∂
1p
dF
Resultante das forças na direção +s
b) Força de cisalhamento:
1
*1
2c
dF dn dA
n
τ
τ
∂ 
= + ∂ 
1c
dF
2
*1
2c
dF dn dA
n
τ
τ
∂ 
= − ∂ 
1 2
*
sc c c
dF dF dF dndA
n
τ∂
= − =
∂
2c
dF
Resultante das forças na direção +s
c) Componente do peso na direção s:
( )cos cos cossdW dW dm g gdθ θ ρ θ= − = − ⋅ = − ∀
θθθθ
αααα
∂∂∂∂s ∂∂∂∂n
∂∂∂∂z
mas:
portanto: s
zdW gd
s
ρ ∂= − ∀
∂
cos
z
s
θ ∂=
∂
sdW
dW
.
αααα∂∂∂∂z
Resultante das forças na direção +s
Portanto:
s ss p c s
F dF dF dW= + +∑
sp
pdF dsdA
s
∂
= −
∂
*
sc
dF dndA
n
τ∂
=
∂ s
zdW gd
s
ρ ∂= − ∀
∂
*p zτ ρ∂ ∂ ∂= − + − ∀∑ *s
p zF dsdA dndA gd
s n s
τ ρ∂ ∂ ∂= − + − ∀
∂ ∂ ∂∑
mas: d dA ds dA dn∗∀ = ⋅ = ⋅
então:
s
p zF g d
s n s
τ ρ∂ ∂ ∂ = − + − ∀ ∂ ∂ ∂ ∑
Resultante das forças na direção +s
Portanto:
s sF dm a= ⋅∑
( )p z V ds Vg d d
s n s s dt t
τ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   − + − ∀ = ∀ ⋅ ⋅ +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
Substituindo o somatório das forças, a massa e a aceleração :
mas:
2
2
V ds V V V
s dt t s t
 ∂ ∂ ∂ ∂
⋅ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ 
dividindo por ρρρρ :
1 1p z V ds Vg
s n s s dt t
τ
ρ ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − = ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Resultante das forças na direção +s
Portanto:
No caso particular de um líquido ideal, em que não se manifestam os
efeitos da viscosidade e cisalhamento:
21 1
2
p z V Vg
s n s s t
τ
ρ ρ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
então:
2
2
p V Vgz
s tρ
 ∂ ∂
+ + = − ∂ ∂ 
efeitos da viscosidade e cisalhamento:
21
2
p z V Vg
s s s tρ
 ∂ ∂ ∂ ∂
− − = + ∂ ∂ ∂ ∂ 
Resultante das forças na direção +s
Se o movimento for permanente, isto é:
e, portanto, a trajetória da partícula coincide com a linha de corrente, a
equação fica:
0V
t
∂
=
∂
que é a equação de Euler
a uma dimensão
equação fica:
2
0
2
dp Vgdz d
ρ
 
+ + = 
 
Resultante das forças na direção +s
A equação de Euler integrada entre dois pontos ao longo da trajetória
fica:
2 2
1 2
p Vd gz cte
ρ
 
+ + = 
 
∫
que é a equação de Bernoulli para
líquidos perfeitos e regime
permanente, na qual a carga H, por
unidade de peso do líquido, é
constante ao longo de cada trajetória
considerando o fluido como incompressível, a equação fica:
2
2
p VH z cte
gγ
= + + =
Resultante das forças na direção +n
a) Força de pressão:
3
*1
2p
pdF p dn dA
n
∂ 
= − ∂ 
4p
dF
4
*1
2p
pdF p dn dA
n
∂ 
= + ∂ 
3 4
*
np p p
pdF dF dF dndA
n
∂
= − = −
∂3pdF
.
Resultante das forças na direção +n
b) Componente do peso na direção n:
cos cosndW dWsen dW gdθ α ρ α= − = − = − ∀
θθθθ∂∂∂∂s ∂∂∂∂n
mas:
αααα
portanto: n
zdW gd
n
ρ ∂= − ∀
∂
cos
z
n
α
∂
=
∂
ndW
∂∂∂∂z
.
αααα
Resultante das forças na direção +n
Portanto:
nn p n
F dF dW= +∑
*
np
pdF dndA
s
∂
= −
∂ n
zdW gd
n
ρ ∂= − ∀
∂
*p zρ∂ ∂= −− ∀∑ *n
p zF dndA gd
s n
ρ∂ ∂= − − ∀
∂ ∂∑
mas: d dA ds dA dn∗∀ = ⋅ = ⋅
então:
n
p zF g d
n n
ρ∂ ∂ = − + ∀ ∂ ∂ ∑
Resultante das forças na direção +n
Portanto:
n nF dm a= ⋅∑
( )
2p z Vg d d
n n r
ρ ρ  ∂ ∂ − + ∀ = ∀ ⋅ −  ∂ ∂   
Substituindo o somatório das forças, a massa e a aceleração :
 
se a curvatura das linhas de corrente for desprezível:
2p z Vg
n n r
ρ ρ∂ ∂+ =
∂ ∂
esta equação permite determinar a
distribuição de pressão na direção
normal à linha de corrente, desde que se
conheça a distribuição da velocidade na
mesma
r→∞ ( ) 0p gz
n
ρ∂ + =
∂
p gz cteρ+ =