Aula04_Cap_02

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HIDRÁULICA APLICADA
Capítulo 2:
ESCOAMENTO UNIFORME EM ESCOAMENTO UNIFORME EM ESCOAMENTO UNIFORME EM ESCOAMENTO UNIFORME EM 
TUBULAÇÕESTUBULAÇÕES
Prof. Dr. John Kenedy de Araújo
Camada limite numa placa plana
Camada limite numa placa plana
A espessura da camada limite, llll , é crescente ao longo da placa e é
função do Número de Reynolds:
v vRe o ox x
v
ρ
µ
= =
5
5 v 5 10valor crítico: Re 5 10
v
o cr
cr cr
o
x
x
ρ µ
µ ρ
×
= × = → =
Camada limite numa placa plana
Camada limite em condutos forçados
Re 2.300 escoamento laminar
Re 4.000 escoamento turbulento
< →
> →
Equação da Quantidade de Movimento
( )d mVdVF ma m
dt dt
= = =∑
��
��
��
Forças atuando no volume de controle
a) Força de pressão:
1
21face esquerda: 
2p
pdF p dx r
x
pi
∂ 
= − ∂ 
2
21face direita: 
2p
pdF p dx r
x
pi
∂ 
= + ∂ 
Forças atuando no volume de controle
b) Força de cisalhamento:
( )2c rxdF rdxτ pi=
Forças atuando no volume de controle
então:
( )2 2 2
2 2 rx
p dx p dxF p r p r rdx
x x
pi pi τ pi
∂ ∂   
= − − + +   ∂ ∂   ∑
1 2p p c
F dF dF dF= − +∑
Forças atuando no volume de controle
( )2 2rxpF dx r rdx
x
pi τ pi
∂
= − +
∂∑
Como é constante: 0
então: 0
V a
F
=
=∑
Tensão tangencial, ττττrx
( )2 2 0rxp dx r rdx
x
pi τ pi
∂
− + =
∂ 2rx
r p
x
τ
∂
=
∂
na parede do conduto ( ): 
2 2rx
R p R p
r R
x L
τ τ
∂ ∆
= = − = − =
∂
como 
4rx
HDp H
L
γγ τ ∆∆ = ∆ → =
Perfil de velocidade no regime laminar
v vd d
dy dr
τ µ µ= = −
v
mas: 
2 2
Hr Hr d
L L dr
γ γ
τ µ∆ ∆= → = − v
2
Hrd dr
L
γ
µ
∆
= −
Perfil de velocidade no regime laminar
( )v v ponto qualquer
condições de contorno
v 0
r r
r R
 = → =

= → =
( )0 2 2
v
v v
2 4
R
r
H Hd rdr R r
L L
γ γ
µ µ
∆ ∆
= − → = −∫ ∫
Velocidade máxima no regime laminar
v
como v , velocidade máxima: 0 0
2
Hr dd dr r
L dr
γ
µ
∆
= − = → =
2então: v
4máx
H R
L
γ
µ
∆
=
Vazão no regime laminar
( )
0
2
R
A
Q vdA v rdrpi= =∫ ∫ ( )( )2 2
0
2
4
R HQ R r rdr
L
γ
pi
µ
∆
= −∫
4 4
8 128
H HQ R D
L L
γ γ
pi pi
µ µ
∆ ∆
= =
Velocidade média no regime laminar
4
2
8
H R
LQV
A R
γ
piµ
pi
 ∆
 
 
= =
2 2
8 32
H HV R D
L L
γ γ
µ µ
∆ ∆
= =
2como v v 2
4máx máx
H R V
L
γ
µ
∆
= → =
Perda de carga no regime laminar
2
2 2
8 32
2
LV LV L VH f
R D D g
µ µ
γ γ
∆ = = = 64f
VD
µ
ρ
=
64
Re
f = Fator de atrito para escoamento laminar
Escoamento turbulento
11, 6Sub-camada limite laminar: 
u
νδ
∗
=
Escoamento turbulento - rugosidade
Escoamento turbulento hidraulicamente liso: 5u ε
ν
∗ <
Escoamento turbulento - rugosidade
Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso:
 70u ε
ν
∗ >
Escoamento turbulento - rugosidade
Escoamento turbulento hidraulicamente
misto ou de transição: 5 70u ε
ν
∗≤ ≤
Experiência de Nikuradse
Re,f f
D
ε 
=  
 
Experiência de Nikuradse
Simulações com grãos de areia
� Região I: Re < 2300
� Região II: 2300 < Re < 4000� Região II: 2300 < Re < 4000
� Região III: tubos hidraulicamente lisos
� Região IV: transição
� Região V: tubos hidraulicamente rugosos
Harpa de Nikuradse
Equação de Blasius (tubos lisos)
5
0,25
0,316
 para 3000 Re 10
Re
f = < <
( )1 2log Re 0,8 para 5uff εν∗= − <
70 para 74,1
2
log21 >+= ∗
ν
ε
ε
uD
f
Hidraulicamente 
liso
Hidraulicamente 
rugoso
Escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais
Equação de White-Colebrook
Equação de Swamee-Jain:
1 2,512log
3,71 ReDf f
ε 
= − +  
 
( )
6 210 100,25
 turbulento
Df ε
− − ≤ ≤
=  ( )2 3 8
0,9
0,25
 turbulento
5 10 Re 105,74log
3,7 Re
f
D
ε

= 
⋅ ≤ ≤   
+  
  
( )
0,125168 6
0,9
64 5,74 25009,5 ln
Re 3,7 Re Re
 laminar e turbulento
f
D
ε
−       
= + + −      
        
Gráfico de Moody
Comparação entre as equações de White-Colebrook e Swamee-Jain (εεεε = 0,15 
mm e D = 2")
Equações auxiliares
2 5
2
0,9
0,203
5,74log
3,7 Re
Q gDJ
D
ε
=
  
+  
  
1,78Q pi ε ν 
2
1,78log
2 3,7
Q
DD gDJ D gDJ
pi ε ν 
= − +  
 
0,41,250,2 0,2 0,2
2 2 3
10,66gJ gJD Q Q gJQε ν
         
= +               
Exemplo 2.5
Água flui em uma tubulação horizontal de 50 mm de
diâmetro e 100 m de comprimento, na qual a rugosidade é
igual a εεεε = 0,05 mm. Se a queda de pressão, ao longo
deste comprimento, não pode exceder a 50 kN/m2, qual a
máxima velocidade média esperada?
Bernoulli entre 1 e 2:
2 2
1 1 2 2
1 2
Bernoulli entre 1 e 2:
2 2
p V p V
z z H
g gγ γ
+ + = + + + ∆
NR
z1 z2
1 2 1 2como e z z V V= =
1 2p p pH
γ γ
− ∆∆ = =
Exemplo 2.5
NR
z1 z2
3
3
50 10
então: 5,10 
10 9,81
H m⋅∆ = =
⋅
5,10
mas 0,051
100
H mJ
mL
∆
= = =
2
Aplicando na equação 2.39 :
1,78log
2 3,7
Q
DD gDJ D gDJ
pi ε ν 
= − +  
 
6
2
0,05 1,78 10log
2 3,7 500,05 9,81 0,05 0,051 0,05 9,81 0,05 0,051
Q pi − ⋅
= − +  
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
Exemplo 2.5
NR
z1 z2
3
0,0029mQ
s
∴ =
2
4pela continuidade: Q QQ AV V
A Dpi
= → = =
2
4 0,0029 1,48
0,05
mV
spi
⋅
= =
⋅
De forma mais rápida, pela Tabela A2
Exemplo 2.6
Imagine uma tubulação de 4″″″″ de diâmetro, material aço
soldado novo, rugosidade εεεε = 0,10 mm, pela qual passa
uma vazão de 11 L/s de água. Dois pontos A e B desta
tubulação, distantes 500 m um do outro, são tais que a
cota piezométrica em B é igual à cota geométrica em A.
Determine a carga de pressão disponível no ponto A, em
mH2O. O sentido do escoamento é de A para B.mH2O. O sentido do escoamento é de A para B.
2 2
Bernoulli entre A e B:
2 2
B
A A B B
A B AB
CP
p V p V
z z H
g gγ γ
+ + = + + + ∆
�����
como e B A A BCP z V V= = AAB
pH
γ
→∆ =
Exemplo 2.6
22 2
2 2 5
Equação Universal:
1 4 8
2 2
L V L Q fLQH f f
D g D g D D gpi pi
 ∆ = = = 
 
2
50,0827
fLQH
D
∆ =
6
4 4 0,011Número de Reynolds: Re
0,1 10
VD Q
v Dvpi pi −
⋅
= = =
⋅ ⋅
60,1 10
Re 140056,35 turbulento
v Dvpi pi −⋅ ⋅
= →
2 2
0,9 0,9
0,25 0,25
5,74 0,1 5,74log log
3,7 Re 3,7 100 140056,35
0,0217
f
D
f
ε
= =
      
+ +      
⋅      
=
Exemplo 2.6
2
5
0,0217 500 0,011Então: 0,0827 10,85
0,1
H m⋅ ⋅∆ = =
2portanto: 10,85 A
p
mH O
γ
=
O valor de também pode ser determinado, rapidamente,
pela Tabela 1, com 100 mm, 0,10 mm e =1,40 /
f
A D V m sε= =