Lista de exercícios

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Medianeira 
 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – TURMA C21 
LISTA DE EXERCÍCIOS ESTUDO DA RETA E DO PLANO 
 
Exercício 1. São dados os pontos A = (3, 6, -7), B = (-5, 2, 3) e C = (4, -6, -7). Escreva equações vetorial e 
paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simétrica ( se existir). O ponto 
D = (3, 1, 4) pertence a essa reta? 
 
Exercício 2. Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados. 
 
Exercício 3. Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0, -3) e: 
a) é paralela à reta 
 
6
3
4
3
5
1
:


 zyx
s
 
b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3) 
c) é paralela à reta 












1
4
21
'
z
y
x
s
 (
)
 
 
Exercício 4. Verifique se r = s nos casos: 
a) 











1
22
1
:
z
y
x
r
 (
)
 













2
1
1
2
2
1
1
:
z
y
x
s
 
)( 
 
b) 
)1,0,2()
2
1
,1,0(:
)
2
1
,0,1()0,1,1(:




Xs
Xr
 (
)
 ; 
)( 
 
Exercício 5. Dados A = (0, 2, 1), 
)2,1,1()2,2,0(:  Xr , ache os pontos que distam 3 de A. Em 
seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual a 
3
, e por quê. 
 
Exercício 6. Sejam P = (4, 1, -1) e 
).2,1,1()1,4,2(:  Xr
 Mostre que 
.rP
 
Exercício 7. Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo: 
a) 

passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, -1,-1) e é paralelo ao vetor 
).0,1,2(

v
 
b) 

passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, -1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). 
Exercício 8. Verifique ( e explique por que) se 
21  
 nos seguintes casos: 
a) 
)6,4,3()2,1,1()1,2,1(:
)1,
3
2
,
2
1
()2,1,1()1,2,1(:
2
1




X
X 
b) 
)1,3,2()1,1,1()2,6,1(:
)1,1,1()1,3,2()1,1,1(:
2
1




X
X 
c) 
,0123:1  zyx
 
01462:2  zyx
 
d) 
,012
2
:1  z
y
x
 
0242:2  zyx
 
Exercício 9. Obtenha equações paramétricas do plano 

 que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao 
plano 
)0,1,2()1,2,1()0,0,1(:1  X 
Exercício 10. Obtenha equações gerais para os planos π descritos abaixo: 
a) π passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, -1, -1), e é paralelo ao vetor 
).0,1,2(

v
 
b) π passa por A = ( 1, 0, 1) e B = (0, 1, -1) e é paralelo ao segmento CD, onde C= (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). 
 
Exercício 11. Dadas as retas 
z
yx
r 

22
1
:
 e 
zyxs 1:
 
Obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. 
 
Exercício 12. Obtenha uma equação geral do plano 












3
2
1
:
z
y
x
 
Exercício 13. Verifique se a reta r está contida no plano π nos seguintes casos: 
a) 
),0,1,2()0,0,1(:  Xr
 
132:  zyx
. 
b) 
zyxr  421:
 e 
0122:  zyx