AULA 03

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AULA 03 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 18/OUTUBRO/2013 
 
Walter Aguiar Martins Júnior 
RGA: 2009-2-1-302-039 
walterjr.engenhariaeletrica@gmail.com e (65) 8149 - 8630 
 
# O PRODUTO VETORIAL 
 
�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� = |�⃗⃗� | . |�⃗⃗� | . 𝐬𝐢𝐧𝛉 . �⃗� 𝐍 
 
PROPRIEDADES: 
 
i) �⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� = −(�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� ) 
ii) �⃗⃗� ∥ �⃗⃗� ; �⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� = 𝟎 
iii) �⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� = 𝟎 
 
APLICAÇÕES: 
 
i) Encontrando um vetor normal ao 
plano formado pelo produto vetorial 
de dois vetores quaisquer 
pertencentes à este plano; 
 
a⃗ N = 
�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� 
|�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� |
 
 
ii) Definir a área formada pelo produto 
vetorial de dois vetores. 
 
|𝐒 |
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍
= |A⃗⃗ | . h = |A⃗⃗ | . |B⃗⃗ | . sin 𝜃 
 
𝑺𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐 = |�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� | 
 
EXEMPLO: 
 
Seja A⃗⃗ = 2a⃗ 𝑥 − 3a⃗ 𝑦 + a⃗ 𝑧 e B⃗⃗ = −4a⃗ 𝑥 − 2a⃗ 𝑦 +
5a⃗ 𝑧, determine: A⃗⃗ x B⃗⃗ ; a⃗ N 
 
A⃗⃗ x B⃗⃗ = |
a⃗ 𝑥 a⃗ 𝑦 a⃗ 𝑧
2 −3 1
−4 −2 5
| 
a⃗ 𝑥 a⃗ 𝑦
2 −3
−4 −2
 
 
A⃗⃗ x B⃗⃗ = (−15 a⃗ 𝑥 − 4a⃗ 𝑦 − 4a⃗ 𝑧) − (12 a⃗ 𝑧 − 2a⃗ 𝑥 − 12a⃗ 𝑦) 
 
�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� = −𝟏𝟑�⃗� 𝒙 − 𝟏𝟒�⃗� 𝒚 − 𝟏𝟔�⃗� 𝒙 
 
�⃗� 𝐍 =
�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� 
|�⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� |
= 
(−13a⃗ 𝑥 − 14a⃗ 𝑦 − 16a⃗ 𝑧)
√((−13)2 + (−14)2 + (−16)2)
 
 
a⃗ N = 
(−13a⃗ 𝑥 − 14a⃗ 𝑦 − 16a⃗ 𝑧)
√(621)
 
 
�⃗� 𝐍 = −𝟎, 𝟓𝟐𝟐�⃗� 𝒙 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟐�⃗� 𝒚 − 𝟎, 𝟔𝟒𝟐�⃗� 𝒛 
 
 
AULA 03 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 18/OUTUBRO/2013 
 
Walter Aguiar Martins Júnior 
RGA: 2009-2-1-302-039 
walterjr.engenhariaeletrica@gmail.com e (65) 8149 - 8630 
 
#SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 18/OUTUBRO/2013 
 
Walter Aguiar Martins Júnior 
RGA: 2009-2-1-302-039 
walterjr.engenhariaeletrica@gmail.com e (65) 8149 - 8630 
 
TRANSFORMAÇÕES ENTRE OS 3 SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
 CARTESIANO CILÍNDRICO ESFÉRICO 
CARTESIANO 
𝐱 = 𝐱 𝑥 = 𝜌. cos𝜙 𝑥 = 𝑟. sin 𝜃 . cos𝜙 
𝒚 = 𝒚 𝑦 = 𝜌. sin𝜙 𝑦 = 𝑟. sin 𝜃 . sin𝜙 
𝒛 = 𝒛 𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑟. cos 𝜃 
CILÍNDRICO 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 𝝆 = 𝝆 𝜌 = 𝑟. sin𝜃 
𝜙 = tan−1 (
𝑦
𝑥
) 𝝓 = 𝝓 𝜙 = 𝜙 
𝑧 = 𝑧 𝒛 = 𝒛 𝑧 = 𝑟. cos 𝜃 
ESFÉRICO 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑟 = √𝜌2 + 𝑧2 𝒓 = 𝒓 
𝜃 = tan−1
√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
 𝜃 = tan
−1 (
𝜌
𝑧
) 𝜽 = 𝜽 
𝜙 = tan−1 (
𝑦
𝑥
) 𝜙 = 𝜙 𝝓 = 𝝓