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ENG01156 – MECÂNICA – ÁREA 1 
AULA 2 – VETORES DE FORÇA 
1. DEFINIÇÕES 
Escalar: quantidade física definida apenas por sua intensidade (módulo), podendo ser 
positiva ou negativa. Ex: massa, temperatura. 
Vetor: quantidade física definida por uma intensidade (módulo) e uma direção. 
Graficamente, um vetor é representado por uma seta indicando sua direção e sentido, cujo 
comprimento representa sua intensidade (módulo). A linha que contém o vetor força é 
conhecida como linha de ação da força. Ex: força, momento, vetor posição. 
2. OPERAÇÕES COM VETORES 
Adição de vetores: 
Lei do paralelogramo: R A +B
 
 
 
Obs: quando mais de duas forças são somadas, a regra do paralelogramo é aplicada de 
forma sucessiva. 
 
Regra do triângulo 
 
 
Subtração de vetores: 
Lei do paralelogramo: ( )   R A B = A + B
   
 
 
Multiplicação e divisão por escalar: 
Um vetor multiplicado por um escalar tem sua intensidade (comprimento) aumentada na 
proporção indicada pelo escalar. Se o escalar for negativo, ele também inverte o sentido do 
vetor. Não há alteração na direção do vetor neste caso. 
Produto escalar entre dois vetores: 
Pode ser usado para calcular o ângulo entre dois vetores ou obter a projeção de um vetor 
em uma direção especificada. 
. .cos (0º 180º )A B     A B
 
 
( ) ( )
. ( ) . ( ) . ( )
. ( ) . ( ) . ( )
. ( ) . ( ) . ( )
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A A A B B B
 A B A B A B
 A B A B A B
 A B A B A B
  
      
     
    
A B i + j + k i + j + k
i i i j i k
j i j j j k
k i k j k k
      
     
     
    
 
Logo: 
. . .x x y y z zA B A B A B   A B
 
 
 
Propriedades: 
Propriedade comutativa:   A B B A
  
 
Propriedade distributiva: ( ) ( ) ( )     A B D A B A D
     
 
Multiplicação por escalar: ( ) ( ) ( )      A B A B A B
    
 
Produto vetorial entre dois vetores: 
Pode ser usado para a obtenção de um vetor com direção normal ao plano formado pelos 
dois vetores envolvidos na operação de produto vetorial. O seu módulo fornece a área 
formada entre estes dois vetores. 
 C A B
  
 
x y z
x y z
A A A
B B B
 
i j k
C A B =
  
  
 
Logo: 
( . . ) ( . . ) ( . . )y z z y x z z x x y y xA B A B A B A B A B A B      C A B = i j k
    
 
Intensidade (módulo): 
. .sen (0º 180º )C A B     
Direção e sentido de C

: regra da mão direita. 
 
Propriedades: 
Propriedade comutativa: não é válida    A B B A
  
 
 Na verdade:   A B = B A
  
 
Propriedade distributiva: ( ) ( ) ( )     A B D A B A D
     
 
Multiplicação por escalar: ( ) ( ) ( ) ( )         A B A B A B A B
      
 
3. VETORES DE FORÇA 
3.1 Notação vetorial cartesiana de uma força no plano 
A primeira tarefa para a descrição vetorial de uma força no plano consiste em estabelecer 
um sistema de coordenadas de referência cartesiano Oxy em função de vetores unitários de 
direção: 
 Vetores unitários de direção dos eixos do sistema de referência: i

 e j

 
(1;0)
(0;1)



i =
j =

 
 
Uma vez definidos os vetores unitários 
problema serão descritos de acordo com a orientação estabelecida por estes vetores 
unitários. 
Um vetor força F

 pode ser descrito vetorialmente da seguinte forma:
x yF = F F
  
 
onde xF

 e yF

 são as suas componentes vetoriais. Estas componentes são representadas 
como: 
x xFF i

 
y yFF j

 
sendo Fx e Fy as suas componentes escalares
.cosx xF F  
.cosy y x yF F F F F  
onde F é a intensidade (módulo) da força. Os ângulos 
diretores do vetor força F

importante destacar que estes ângulos são sempre medidos a partir do eixo correspondente 
(x ou y) até a direção do vetor, sendo positivos quando medidos no sentido anti
Uma forma alternativa de representar um vetor de força no plano é através do u
vetor unitário, que fornece as noções de direção e sentido do vetor no espaço:
FF

 
sendo 

 o vetor unitário da força, definido da seguinte maneira:
cos cosx y i j
  
  
O vetor unitário 

 também pode ser calculado a partir de um vetor posição relativa entre 
dois pontos pertencentes à linha de ação da força:
ij
r
r

  
onde ijr

 é o vetor posição relativa entre os pontos 
apontando de i para j, sendo 
distância entre i e j). O vetor posição 
( ) ( )ij j i j ix x y y   r i j
 
 
e seu módulo é dado por: 
2 2( ) ( )j i j ir x x y y    
Comparando as duas definições de 
Uma vez definidos os vetores unitários i

 e j

 dos eixos de referência, todos os vetores do 
problema serão descritos de acordo com a orientação estabelecida por estes vetores 
pode ser descrito vetorialmente da seguinte forma: 
componentes vetoriais. Estas componentes são representadas 
componentes escalares, as quais podem ser expressas como
y y x yF F F F F   
é a intensidade (módulo) da força. Os ângulos x e y são os chamados 
F

 e seus cossenos são chamados de coss
importante destacar que estes ângulos são sempre medidos a partir do eixo correspondente 
) até a direção do vetor, sendo positivos quando medidos no sentido anti
representar um vetor de força no plano é através do u
, que fornece as noções de direção e sentido do vetor no espaço:
o vetor unitário da força, definido da seguinte maneira: 
também pode ser calculado a partir de um vetor posição relativa entre 
dois pontos pertencentes à linha de ação da força: 
é o vetor posição relativa entre os pontos i e j, 
, sendo r o seu módulo (ou a 
). O vetor posição ijr

 é dado por: 
Comparando as duas definições de 

 , pode-se concluir que: 
dos eixos de referência, todos os vetores do 
problema serão descritos de acordo com a orientação estabelecida por estes vetores 
componentes vetoriais. Estas componentes são representadas 
ser expressas como: 
são os chamados ângulos 
senos diretores. É 
importante destacar que estes ângulos são sempre medidos a partir do eixo correspondente 
) até a direção do vetor, sendo positivos quando medidos no sentido anti-horário. 
representar um vetor de força no plano é através do uso de um 
, que fornece as noções de direção e sentido do vetor no espaço: 
também pode ser calculado a partir de um vetor posição relativa entre 
cos j ix
x x
r


 cos j iy
y y
r


 
2 21 cos cos 1x y     
Exemplo: 
1. Um homem puxa uma corda fixada no ponto A da edificação com uma força de 300 N. 
Descreva vetorialmente esta força e obtenha os seus ângulos diretores. 
 
Sendo: 
x y x yF F  F F + F i j
   
 
Onde: 
.cosx xF F  .cosy yF F  300F N 
Da figura, observa-se que  arctg 6 8 36,87º   . Logo: 323,13º 36,87x    e 
233,13º 126,87ºy    . 
Portanto: 
 300.cos 323,13º 240xF N   300.cos 233,13º 180yF N   
Assim: 
240 180 [ ] N F i j
 
 
3.2 Notação vetorial cartesiana de uma força no espaço 
Para uma força no espaço, valem os mesmo procedimentos usados no caso plano, apenas 
sendo adaptados ao caso tridimensional. Portanto, o sistema de coordenadas de referência 
é primeiramente arbitrado de acordo com os vetores unitários dos eixos de um sistema de 
referência cartesiano Oxyz: 
 Vetores unitários de direção dos eixos do sistema de referência: i

, j

 e k

 
(1;0;0)
(0;1;0)
(0;0;1)





i =
j =
k =



 
O vetor força F

 passa a ser 
descrito vetorialmente como: 
x y z F = F F F
   
 
onde as componentes vetoriais são 
representadas por: 
x xFF i

 
y yFF j

 
z zFF k
 
 
e as componentes escalares são 
dadas por: 
.cosx xF F  
.cosy yF F  
.cosz z x y zF F F F F F    
onde F é a intensidade (módulo) da força. Os ângulos diretores do vetor força F

 são agora 
representados por x, y e z. No espaço, os ângulos diretores devem sempre ser medidos no 
plano quecontém a linha de ação da força e o eixo de referência correspondente, medidos a 
partir do eixo até a direção do vetor, sendo positivos quando medidos no sentido anti-
horário. 
Usando a forma alternativa de representar um vetor de força através de um vetor unitário, 
tem-se que: 
FF

 
sendo 

 definido da seguinte maneira: 
cos cos cosx y z  i j + k
   
  
Calculando o vetor unitário 

 a partir de um vetor posição relativa entre dois pontos 
pertencentes à linha de ação da força, tem-se: 
ij
r
r

  
onde ijr

 é agora dado por: 
( ) ( ) ( )ij j i j i j ix x y y z z    r i j + k
  
 
e seu módulo é dado por: 
2 2 2( ) ( ) ( )j i j i j ir x x y y z z      
Comparando as duas definições de 

 , pode-se concluir que: 
cos j ix
x x
r


 cos j iy
y y
r


 cos j iz
z z
r


 
2 2 21 cos cos cos 1x y z       
Na medida em que a obtenção de todos os ângulos diretores é geralmente difícil em 
problemas tridimensionais, uma descrição vetorial alternativa pode ser utilizada, como 
descrito abaixo. 
Conhecendo, por exemplo, o ângulo diretor y, pode-se obter a componente vetorial 
y yFF j

, ou seja: 
.cosy yF F j

 
Na sequência, obtém-se a projeção do vetor F

 sobre o plano xz, definindo o vetor de 
projeção hF

, isto é: 
h h hFF

 
sendo h

 o vetor unitário de direção de hF

 e Fh dado por: 
.senh yF F  
Assim, as demais componentes vetoriais de F

 podem ser obtidas a partir do ângulo , 
formado entre F

 e o eixo x: 
.cos .sen .cosx h yF F  F i = i
 
 
.sen .sen .senz h yF F  F k = k
  
 
Exemplo: 
1. O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso fixo no 
ponto A, conforme ilustrado na figura abaixo. Sabendo que a força no cabo é de 2500 N, 
determine as componentes da força que atua sobre o parafuso, bem como os ângulos 
diretores da força. 
 
   
     
 
2 2 2
0;80;0 40;0; 30 40;80;30
94,340 40 80 0 0 30
AB B A
AB
AB AB
P P
r d
  
   
    
r

 
0, 424 0,848 0,318AB    i j k
   
 
Logo: 
 2500. 0, 424
2500.0,848
2500.0,318
x
y
z
 


F i
F j
F k


 
 
1060 2120 795    F i j k
  
 
Ângulos diretores: 
 
 
 
arccos 0, 424 115,09º
arccos 0,848 32,01º
arccos 0,318 71, 46º
x
y
z



  
 
  