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ELETROMAG - CAP 4

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 21 
 
Capítulo IV 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se: ( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L −=−=−=−== 
 
Substituindo EQFE = , chega-se a: 
LdEQdW .−= 
 
Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto 
B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por: 
 
LdEQW .
)A(Final
)B(Início
∫−= 
 
onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático 
depende apenas das posições inicial e final da trajetória. 
 
Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 
 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 
 
A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. 
 
Q
WVAB = ⇒ ∫−=
A
BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL) 
 
Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 
pontos A, B e C: 
VAB = VAC – VBC 
 
Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma 
referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB 
 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 
 
Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: 
A
B
A r
AB r r2B r
0
QV E dL a dr a
4 r
. .= − = −
piε
∫ ∫ 
 
AB A B
0 A B
Q 1 1V V V
4 r r
 
= − = − 
piε  
 
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Nota
RESULTADO POSITIVO (PERDE ENERGIA)nullB<AnullnullRESULTADO NEGATIVO (GANHA ENERGIA)nullB>A
WALTER JR
Nota
(+) B<A (POTENCIAL EM B MENOR QUE A)nullnull(-) B>A (POTENCIAL EM B MAIOR QUE A)
WALTER JR
Nota
Accepted definida por WALTER JR
WALTER JR
Nota
Completed definida por WALTER JR
WALTER JR
Nota
Completed definida por WALTER JR
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Realce
WALTER JR
Nota
VA > VBnull(PRESSUPOSTO)nullnullSE DER POSITIVO = PRESSUPOSTO CORRETO
WALTER JR
Nota
Completed definida por WALTER JR
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Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A
0 A
QV
4 r
=
piε
 (potencial absoluto) 
 
Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga 
pontual Q fora da origem é: 
 
0
QV
4 R
=
piε
 
 
sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 
 
 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito: 
 
0
dQ
4 RV piε= ∫ 
 
onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração 
de cargas, 
rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto 
fixo P onde se quer obter V 
 
 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
L
AB
0
V a d a
2
.
ρ
ρ ρρ
ρ
= − ρ
piε ρ∫
 
 
L B
AB
0 A
V ln
2
ρ ρ
=
piε ρ
 
 
 
 
4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
z s
AB z zz 0
V a dz a
2
.
ρ
= −
ε∫
 
 
( )sAB B A
0
V z z
2
ρ
= −
ε
 
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4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 
 
O gradiente de uma função escalar (ex. V) é 
definido matematicamente por: 
 
 NadN
dVV =∇
 (resultado = vetor) 
 
onde dV, dN e Na
�
 são mostrados na figura. 
GaGa
cosdL
dV
a
dN
dVV NNN
�
==
θ
==∇ 
 
Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =•
��
 
onde: 
Nzzyyxx aGaGaGaGG =++=
���
�
 
Lzyx adLadzadyadxLd =++= 
dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
sendo: 
Ld
�
 = vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, 
dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. 
 
Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
VVG ���
��
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
 
 
Propriedades do gradiente de uma função escalar V: 
 
a) V∇ é normal a V 
b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V 
 
Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do 
vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). 
 
Se V = função potencial elétrico, então: 
 
VE ∇−=
 ( E está apontado no sentido decrescente de V). 
 
 
Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem. 
 
Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: 
0
Q
4 r
=
piε
V 
 Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r): 
e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2
0
V Q 1E a a
r 4 r
∂ − 
= − = −  ∂ piε  
�
� �
 ⇒ r2
0
QE a
4 r
=
piε
�
�
 
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4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 
 
É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r, 
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
desejado. 
 
 
Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: 
 
P
0 1 0 2
Q QV
4 r 4 r
+ −
= +
piε piε
 
P
0 1 2
Q 1 1V
4 r r
 
= − 
piε  
 
2 1
P
0 1 2
r rQV
4 r r
 
−
=  
piε  
 
 
Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 221 rrr ≅ . Daí, 
p 2
0
Qd cosV 
4 r
θ
=
piε
 
 
Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: 
 
( )r3
0
QdE 2cos a sen a
4 r θ
= θ + θ
piε
 (obtido de VE ∇−= ) 
 
Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a 
distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: 
 
r
p 2
0
p a
V
4 r
.
=
piε
 
 
Notas: 
a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico 
caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga 
pontual. 
b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por: 
R
p 2
0
p a
V
4 R
.
=
piε
 
 
onde: 
Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; 
R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. 
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4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 
 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 
 
 
 
WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem: 
 
WE =W1 + W2 + W3 
WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i) 
 
Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21) 
 
Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando