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Walter Aguiar Martins Júnior
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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 21 Capítulo IV ENERGIA E POTENCIAL 4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se: ( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L −=−=−=−== Substituindo EQFE = , chega-se a: LdEQdW .−= Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por: LdEQW . )A(Final )B(Início ∫−= onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático depende apenas das posições inicial e final da trajetória. Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. Q WVAB = ⇒ ∫−= A BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL) Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 pontos A, B e C: VAB = VAC – VBC Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB 4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: A B A r AB r r2B r 0 QV E dL a dr a 4 r . .= − = − piε ∫ ∫ AB A B 0 A B Q 1 1V V V 4 r r = − = − piε WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Nota RESULTADO POSITIVO (PERDE ENERGIA)nullB<AnullnullRESULTADO NEGATIVO (GANHA ENERGIA)nullB>A WALTER JR Nota (+) B<A (POTENCIAL EM B MENOR QUE A)nullnull(-) B>A (POTENCIAL EM B MAIOR QUE A) WALTER JR Nota Accepted definida por WALTER JR WALTER JR Nota Completed definida por WALTER JR WALTER JR Nota Completed definida por WALTER JR WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Realce WALTER JR Nota VA > VBnull(PRESSUPOSTO)nullnullSE DER POSITIVO = PRESSUPOSTO CORRETO WALTER JR Nota Completed definida por WALTER JR CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 22 Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A 0 A QV 4 r = piε (potencial absoluto) Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga pontual Q fora da origem é: 0 QV 4 R = piε sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito: 0 dQ 4 RV piε= ∫ onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas, rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto fixo P onde se quer obter V 4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: A B L AB 0 V a d a 2 . ρ ρ ρρ ρ = − ρ piε ρ∫ L B AB 0 A V ln 2 ρ ρ = piε ρ 4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: A B z s AB z zz 0 V a dz a 2 . ρ = − ε∫ ( )sAB B A 0 V z z 2 ρ = − ε CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 23 4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) O gradiente de uma função escalar (ex. V) é definido matematicamente por: NadN dVV =∇ (resultado = vetor) onde dV, dN e Na � são mostrados na figura. GaGa cosdL dV a dN dVV NNN � == θ ==∇ Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =• �� onde: Nzzyyxx aGaGaGaGG =++= ��� � Lzyx adLadzadyadxLd =++= dz z Vdy y Vdx x VdV ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = sendo: Ld � = vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: zyx a z V a y V a x VVG ��� �� ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= Propriedades do gradiente de uma função escalar V: a) V∇ é normal a V b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). Se V = função potencial elétrico, então: VE ∇−= ( E está apontado no sentido decrescente de V). Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem. Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: 0 Q 4 r = piε V Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r): e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2 0 V Q 1E a a r 4 r ∂ − = − = − ∂ piε � � � ⇒ r2 0 QE a 4 r = piε � � CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 24 4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r, sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P desejado. Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: P 0 1 0 2 Q QV 4 r 4 r + − = + piε piε P 0 1 2 Q 1 1V 4 r r = − piε 2 1 P 0 1 2 r rQV 4 r r − = piε Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 221 rrr ≅ . Daí, p 2 0 Qd cosV 4 r θ = piε Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: ( )r3 0 QdE 2cos a sen a 4 r θ = θ + θ piε (obtido de VE ∇−= ) Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: r p 2 0 p a V 4 r . = piε Notas: a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga pontual. b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por: R p 2 0 p a V 4 R . = piε onde: Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 25 4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem: WE =W1 + W2 + W3 WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i) Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21) Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando
