ELETROMAG - CAP 3

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 15 
 
Capítulo III 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 
 
É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas. 
 
Fórmula geral: ∫
pi
=ε= R2o aR4
dQED
 (Unidade: C/m2) 
 
onde dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas. 
 
3.2 – A LEI DE GAUSS 
 
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna 
envolvida por esta superfície”. 
 
A expressão matemática é dada por: 
∫ ==Ψ
S
internatotal QSd.D (Unidade: C) 
onde, 
∫ρ=
.vol
vinterna dvQ (Nota: No SI: inttotal Q=Ψ ) 
 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 
 
Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades: 
(i) É uma superfície fechada; 
(ii) Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim, 
se 0SdDSdD =⇒⊥ • ; (Neste caso D é tangencial à gaussiana) 
se dSDSdDSd//D =⇒ • (Neste caso D é normal à gaussiana) 
(iii) Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante. 
 
Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais: 
 
a) Carga pontual Q 
 
Para uma gaussiana esférica de raio R 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
Como Sd//D e .cteD = em todos pontos da gaussiana 
D (área da esfera) = Q 
D 4piR2 = Q 
Logo: 
2R4
QD
pi
=
 
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Em forma vetorial: 
R2 aR4
QD
pi
=
 ( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância) 
 
b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com dLdQL =ρ = constante 
 
Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
D (área lateral do cilindro) = ρL L 
D 2piρL = ρL L 
 
Logo: 
piρ
ρ
=
2
D L
 
 
Em forma vetorial: 
ρ
piρ
ρ
= a
2
D L
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
c) Cabo coaxial ∞∞∞∞ com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante 
 
Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ (ver figura), 
∫ =•
gaussianaS int
QSdD 
temos as seguintes situações: 
i) Se ρ < a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula 
ii) Se ρ > b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática) 
iii) Se a < ρ < b (gaussiana tracejada) ⇒ D 2pi ρ L = +Q 
Daí obtemos: 
L2
QD
piρ
=
 
 
Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga ρS no 
condutor central, podemos re-aplicar a lei de Gauss, obtendo-se: 
D 2pi ρ L = ρS 2pi a L 
 
piρ
ρ
=
ρ
ρ
=
2
D Ls
a
 onde 
aa pi
ρ
=
pi
===ρ
2L2
Q
S
Q
dS
dQ L
s 
 
sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central. 
 
 
Em forma vetorial: 
 
ρρ
piρ
ρ
=
ρ
ρ
= a
2
aD Ls
a
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
Nota: Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima. 
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3.4 – DIVERGÊNCIA 
 
 
 
Seja A um vetor qualquer expresso por: 
zzyyxx aAaAaAA ++= 
 
aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por: 
zyxv ∆∆∆=∆ 
 
Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática A•∇ , como: 
 
v
SdA
limA S
0v ∆
=∇
•
•
∫
→∆
 (Nota: O resultado desta operação é um escalar.) 
 
onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”. 
 
Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos: 
SdASdA 
DCGHABFEBCGFADHEEFGHABCD SSSSSSS
•• ∫∫∫∫∫∫∫ +++++= 
 
Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro (fluxo de A na direção x): 
zy)x(Adzdy)x(A)a(dSa)x(ASdA xx
yy
yy
zz
zz
xABCDxx
SABCD
∆∆−≅−=−= ∫ ∫∫∫
∆+
=
∆+
=
•• 
zyx
x
A)x(Azy)xx(Adzdy)xx(ASdA Xxxx
yy
yy
zz
zzSEFGH
∆∆




 ∆
∂
∂
+≅∆∆∆+≅∆+= ∫ ∫∫
∆+
=
∆+
=
• 
 
Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como: 
zyx
x
ASdA x
SS EFGHABCD
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
 
Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como: 
zyx
y
A
SdA y
SS BCGFADHE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
zyx
z
ASdA z
SS DCGHABFE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
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Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume: 
zyx
z
A
y
A
x
ASdA zyx
S
∆∆∆






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≅•∫ 
 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos: 
z
A
y
A
x
AA zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ •
 
 
Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência: 
 v
0v
S
0v dv
dQ
v
Qlim
v
SdD
limD ρ==
∆
∆
=
∆
=∇
→∆→∆
•
•
∫
 
 
Assim obtemos uma importante equação da eletrostática: 
vD ρ=∇ • (1a equação de Maxwell da eletrostática) 
 
onde ρv representa a fonte de fluxo (divergência) de D . 
 
Notas: 
0D >∇ • ⇒ A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva. 
0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa. 
0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula. 
 
 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
Da lei de Gauss, temos que: intS QSdD =•∫ 
Mas, sabemos que: dvQ v
vol
int ρρρρ∫= 
E também: Dv •∇=ρ 
 
Logo, juntando todas as expressões, obtemos: 
 
∫ ∫∇= ••
S vol
dv DSdD
 (Teorema da divergência de Gauss) 
 
sendo S a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área S. 
 
Notas: 
1. O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial. 
2. O operador vetorial ∇ é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão: 
zyx a
z
a
y
a
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
Logo, não existe uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em esféricas. 
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3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o 
espaço. 
 
Resposta: r5
r2
aD α= [C/m2] para 0 < r < R e r2
2
r5
RR 2
aD α= [C/m2] para Rr ≥ . 
 
3.2) Uma carga com densidade linear uniforme ρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi-eixo 
positivo de z. No plano z = 0, uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2piρ) 
[ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a [m], 
cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a > 0). 
 
Resposta: ak2T =Ψ [ηC ]. 
 
3.3) O plano z=0 contém uma distribuiçãosuperficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2]. 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A 
(0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2). 
 
Resposta: 20=Ψ [ηC ]. 
 
3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por: 
 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ z ≤ 3, devido as seguintes condições: 
a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
carga dada por ρv = 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro. 
b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
origem. 
 
Respostas: a) 72 [C]; b) 9 [C]. 
 
3.5) Seja 2v x6=ρ [µC/m3] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e ρv = 0 fora desta região. Determinar: 
a) A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m]; 
b) A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m]; 
c) A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m]; 
d) A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m]. 
 
Respostas: a) x3x2 aD = [µC/m2]; b) x 2 aD = [µC/m2]; c) x3x2 aD = [µC/m2]; 
d) x 2 aD −= [µC/m2]. 
 
3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
a) Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem; 
b) Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x. 
Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações. 
Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 20T =Ψ [ηC ] e a) 3
10
T =Ψ [ηC ]; b) 5T =Ψ [ηC ]. 
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3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para – 1 < z < 0 e 
0v =ρ para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss. 
Respostas: 0=D para z ≤ –1, ( ) z23 1z3z234 aD −+⋅= [C/m3] para –1 < z < 0, 
 ( ) z23 1z3z234 aD −+−⋅= [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D para z ≥ 1. 
 
3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
através das superfícies esféricas definidas por: 
a) raio = r, estendendo de θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o; 
b) raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o. 
 
Respostas: a) ( )[ ] Q183,0Q4/13 =−=ψ ; b) ψ = Q/8 
 
3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e ρV = 0 para 
r > 2R, sendo K uma constante positiva. 
a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R; 
b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R. 
 
Respostas: a) 2
.int KR2Q pi= ; b) ra2
KD = 
 
3.10) Uma carga pontual Q =24pi µC está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ 
µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade 
242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m. 
Determinar D em todas as regiões. 
 
Resposta: r2 ar
6D = µC/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m; 
r2 ar
24D = µC/m2 para r ≥ 1 m 
 
3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está 
colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
superfícies: 
(a) a porção do plano z = 1 m, limitada por –1 < x < 1 m e –1 < y < 1 m; 
(b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem. 
 
Respostas: a) ψ = 0,5 C; b) ψ = 2 C. 
 
3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
coordenadas esféricas como 233v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante. 
b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante, 
ρv = 8 , que contém a mesma carga total do item anterior. 
 
Respostas: a) 
3T 3
4Q
a
pi
= ; b) 
a2
1
r = .