A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
18 pág.
Resumo III Unidade

Pré-visualização | Página 3 de 5

Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
9 
 
 
Como , temos que é um operador ortogonal. 
XI. Projeção ortogonal: 
 A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um 
subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de 
um em outro). 
 Para ter uma noção geométrica, imagine o 
 
 e um subespaço dele, um plano que passa 
pela origem . 
 Na figura a seguir um vetor 
 
 (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul) 
sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais 
sentido tentar uma visualização geométrica. 
 
 A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo: 
 Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor 
associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um 
autovetor associado ao autovalor 1”). 
 A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de 
um vetor de em ) é o vetor nulo: 
 Seja 
 , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao 
autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor 
associado ao autovalor 0”); 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor em um 
subespaço : 
a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ; 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
10 
 
b) Calcula a projeção pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 , onde: 
 Projeção do vetor sobre o subespaço ; 
 Base ortogonal (ou ortonormal) de . 
Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais 
geral no lugar de . 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
Aplicando o passo-a-passo: 
a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas): 
i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ; 
ii) “Separando por letras”: (já está separado); 
iii) Colocando em evidência: 
Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é 
único é ortogonal); 
iv) Normalizando: 
 
 
; 
v) 
 
 
 é base ortonormal de . 
b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso, 
 e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada, 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
c) Substituindo por : 
 
 
 
 
 
 
 
Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido 
(repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor . 
XII. Reflexão: 
Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço 
funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo. 
A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em 
 
 (de 
vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta. 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
11 
 
A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. . 
Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor . A 
reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto. 
 . Então os vetores de 
 são autovetores associados ao autovalor . 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço : 
a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço; 
b) Aplicar a “fórmula”: ; 
A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado 
 
 para dar a ideia 
geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço). 
 
Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal 
(verde  projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por 
soma vetorial: 
 
Além de: 
 
Substituindo a primeira igualdade na segunda: 
 
 
IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der 
preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a 
reflexão de um subespaço em um subespaço : 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ; 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ; 
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas; 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral); 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear; 
Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar 
no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral. 
Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
12 
 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO: 
Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o vetor específico (4,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO: 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço : 
 
Como a condição já está dada, os vetores de são da forma , então 
 é base ortogonal de . 
 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço : 
 
 é base ortogonal de (VERIFIQUE). 
 
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas: 
 
 é base ortogonal de 
 
. 
 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral): 
 
O vetor que queremos é o mais geral de 
 
, : 
 
Daí tiramos o sistema: 
 
 
 
 
Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor 
( ), portanto eles devem ser isolados.Isolando e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
13 
 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear: 
 
 
Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide 
resumo da 2ª unidade): 
 
 
Substituindo os valores de e : 
 
 
 
 
 
 
 
Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao 
seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ), 
portanto: 
 
Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um 
subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor 
 ), portanto: 
 
Então temos no fim que: