Calculo integral II
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Calculo integral II


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Cálculo II
Cálculo II
 1 Diferencial ............................................................................1
 2 Integral Indefinida ..............................................................10
 3 Integral Definida .................................................................38
 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................70
 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ..............99
 6 Integração por Partes ........................................................123
 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............138
 8 Funções Trigonométricas Inversas ......................................151
 9 Integrais por Substituição ..................................................179
 10 Integração de Funções Racionais .......................................191
Sumário
Capítulo 1
Diferencial
Introdução
Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas 
e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm 
Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla-
ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo 
a sua forma atual.
Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, 
sua definição, interpretação e aplicações.
1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM.
Arno Bayer1
2 Cálculo II
Acréscimos de uma função
Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen-
dente e y a variável dependente. Na função y = f(x), quando a 
variável independente sofre variações, a variável dependente 
também estará sujeita à comportamento semelhante.
Se, por exemplo, a variável x variar de x1 para x2, isto é, 
um 
 
, a variável y passará de y1 para y2, sofrerá uma 
variação 12 yyy \u2212=\u2206 ou )()( 12 xfxfy \u2212=\u2206 .
\u2206 y
y
y 1
2
Y
0
\u2206 y = y1 \u2013 y2
\u2206 x = x1 \u2013 x2
x x x
\u2206 x
1 2
y =
 f(x
)
Figura 1.1 Acréscimos de uma função.
Diferencial de uma função \u2206
Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da 
função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) 
pelo acréscimo arbitrário \u2206x da sua variável independente.
Capítulo 1 Diferencial 3
Calculando a diferencial da função identidade y = x, te-
mos:
Então:
Considerando a expressão e dividindo os dois 
membros por dx, teremos:
Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser 
também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx.
Interpretação geométrica da diferencial
Y
\u2206 y
y2
y 1
0
dx
x x1 2
A
X
Tan
gen
te
dy
B
D
C
\u2206 x
\u3b1
\u3b1
y =
 f(x
)
Figura 1.2 Interpretação Geométrica.
4 Cálculo II
Mas, , então:
Da interpretação geométrica e das considerações, pode-
mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado 
da função quando a variável independente recebe um acrésci-
mo. No gráfico, fica claro que, enquanto \u2206x = dx, \u2206y \u2260 dy, mas 
quando x \u21920, dy tende a se aproximar de \u2206y.
O erro cometido na substituição de \u2206y por dy pode ser des-
prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor 
na medida em que dx for diminuindo.
Aplicação da diferencial
Exemplo:
Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada-
mente a raiz quadrada de 83.
Podemos formar a função: y = 
Capítulo 1 Diferencial 5
A diferencial:
 dy = acréscimo aproximado
Então:
 Considerando:
Temos: 
Exercícios exemplos:
 1) Calcular a diferencial das funções:
Solução:
Solução:
6 Cálculo II
 2) Dada a função para e :
a) Calcular o valor de \u2206y.
 Solução:
b) Calcular o valor de dy.
 Solução:
c) Calcular a diferença entre dy e \u2206y em módulo.
 Solução:
A diferença é pequena e será sempre menor na medida em 
que dx for diminuindo.
Capítulo 1 Diferencial 7
 3) Calcular a , usando diferencial.
Podemos associar a função .
Solução:
, acréscimo aproximado de y.
 e
Sendo: x = 25 e , 
Logo: 
Valor real: 
 4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua-
drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma 
variação maior do que 1 cm2.
Temos: 
\u20ac 
l = 4 cm, dA = 1 cm2
A = 
\u20ac 
l2
8 Cálculo II
 5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo 
para que o seu volume aumente 12%.
 do volume =0,12V
, mas V = a3
 ou 4% de a.
Exercícios:
 1) Calcular a diferencial das funções:
 
 
 2) Dada a função para e .
a) Calcular \u2206y. 
b) Calcular dy. 
c) Calcular a diferença . 
 3) Calcular a , usando diferencial. 
 4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, 
que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia-
ção maior do que 2 cm2.
Capítulo 1 Diferencial 9
 5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera 
para que seu volume aumente 15%.
ou 5% do raio
Referências Bibliografias
CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada.
Editora Atlas. São Paulo.
IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar.
Editora Atlas. São Paulo.
LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica.
Editora Harbra. São Paulo.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica.
Editora Mc Graw-Hill. São Paulo.
TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e I n t e g r a l . 
Editorial Limusa.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 2
Integral Indefinida
Introdução
Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite e 
na derivada de funções. A partir da derivada verificou-se como 
se determina a taxa de variação de uma função, o coeficiente 
angular da reta tangente a uma curva em um ponto dado e 
a definição de velocidade. Essa é apenas uma das partes do 
Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra parte, cha-
mada de Cálculo Integral, basicamente consiste no problema 
inverso da derivada, isto é, encontrar uma função cuja deri-
vada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, veremos, no 
Capítulo III, como se calcula a área de uma região do plano 
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
Capítulo 2 Integral Indefinida 11
xy e, em consequência, a resolução de inúmeros problemas. 
Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos 
qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cál-
culo Integral.
Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integral 
por meio da definição da antiderivada e suas propriedades 
operatórias e regras para o seu cálculo.
2.1 Definição de antiderivada
Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma 
função f(x) se
F'(x) = f(x)
para qualquer x pertencente ao domínio de f.
Por exemplo:
 Â A função é uma antiderivada ou primitiva 
da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
12 Cálculo II
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an-
tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada 
uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos 
por C. Então, podemos dizer que a função 
representa todas as antiderivadas ou primitivas da função 
, pois:
O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é 
chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável 
x e é escrita por:
O símbolo \u222b é o símbolo da integral. A função f(x) é o 
integrando da integral e dx indica que se está integrando em 
relação à variável x.
Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela-
ção à variável x da seguinte maneira:
, onde C é chamada de constante de 
integração.
Capítulo 2 Integral Indefinida 13
No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre-
vemos: