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Cálculo II Cálculo II 1 Diferencial ............................................................................1 2 Integral Indefinida ..............................................................10 3 Integral Definida .................................................................38 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................70 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ..............99 6 Integração por Partes ........................................................123 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............138 8 Funções Trigonométricas Inversas ......................................151 9 Integrais por Substituição ..................................................179 10 Integração de Funções Racionais .......................................191 Sumário Capítulo 1 Diferencial Introdução Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla- ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo a sua forma atual. Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, sua definição, interpretação e aplicações. 1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM. Arno Bayer1 2 Cálculo II Acréscimos de uma função Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen- dente e y a variável dependente. Na função y = f(x), quando a variável independente sofre variações, a variável dependente também estará sujeita à comportamento semelhante. Se, por exemplo, a variável x variar de x1 para x2, isto é, um , a variável y passará de y1 para y2, sofrerá uma variação 12 yyy −=∆ ou )()( 12 xfxfy −=∆ . ∆ y y y 1 2 Y 0 ∆ y = y1 – y2 ∆ x = x1 – x2 x x x ∆ x 1 2 y = f(x ) Figura 1.1 Acréscimos de uma função. Diferencial de uma função ∆ Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) pelo acréscimo arbitrário ∆x da sua variável independente. Capítulo 1 Diferencial 3 Calculando a diferencial da função identidade y = x, te- mos: Então: Considerando a expressão e dividindo os dois membros por dx, teremos: Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx. Interpretação geométrica da diferencial Y ∆ y y2 y 1 0 dx x x1 2 A X Tan gen te dy B D C ∆ x α α y = f(x ) Figura 1.2 Interpretação Geométrica. 4 Cálculo II Mas, , então: Da interpretação geométrica e das considerações, pode- mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado da função quando a variável independente recebe um acrésci- mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y ≠ dy, mas quando x →0, dy tende a se aproximar de ∆y. O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des- prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor na medida em que dx for diminuindo. Aplicação da diferencial Exemplo: Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada- mente a raiz quadrada de 83. Podemos formar a função: y = Capítulo 1 Diferencial 5 A diferencial: dy = acréscimo aproximado Então: Considerando: Temos: Exercícios exemplos: 1) Calcular a diferencial das funções: Solução: Solução: 6 Cálculo II 2) Dada a função para e : a) Calcular o valor de ∆y. Solução: b) Calcular o valor de dy. Solução: c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo. Solução: A diferença é pequena e será sempre menor na medida em que dx for diminuindo. Capítulo 1 Diferencial 7 3) Calcular a , usando diferencial. Podemos associar a função . Solução: , acréscimo aproximado de y. e Sendo: x = 25 e , Logo: Valor real: 4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua- drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma variação maior do que 1 cm2. Temos: € l = 4 cm, dA = 1 cm2 A = € l2 8 Cálculo II 5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo para que o seu volume aumente 12%. do volume =0,12V , mas V = a3 ou 4% de a. Exercícios: 1) Calcular a diferencial das funções: 2) Dada a função para e . a) Calcular ∆y. b) Calcular dy. c) Calcular a diferença . 3) Calcular a , usando diferencial. 4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia- ção maior do que 2 cm2. Capítulo 1 Diferencial 9 5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera para que seu volume aumente 15%. ou 5% do raio Referências Bibliografias CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada. Editora Atlas. São Paulo. IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar. Editora Atlas. São Paulo. LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Editora Harbra. São Paulo. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Editora Mc Graw-Hill. São Paulo. TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e I n t e g r a l . Editorial Limusa. Leomir Joel Schweig1 Capítulo 2 Integral Indefinida Introdução Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite e na derivada de funções. A partir da derivada verificou-se como se determina a taxa de variação de uma função, o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto dado e a definição de velocidade. Essa é apenas uma das partes do Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra parte, cha- mada de Cálculo Integral, basicamente consiste no problema inverso da derivada, isto é, encontrar uma função cuja deri- vada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, veremos, no Capítulo III, como se calcula a área de uma região do plano 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. Capítulo 2 Integral Indefinida 11 xy e, em consequência, a resolução de inúmeros problemas. Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cál- culo Integral. Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integral por meio da definição da antiderivada e suas propriedades operatórias e regras para o seu cálculo. 2.1 Definição de antiderivada Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma função f(x) se F'(x) = f(x) para qualquer x pertencente ao domínio de f. Por exemplo:  A função é uma antiderivada ou primitiva da função , pois .  A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois .  A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . 12 Cálculo II  A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois .  A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an- tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos por C. Então, podemos dizer que a função representa todas as antiderivadas ou primitivas da função , pois: O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável x e é escrita por: O símbolo ∫ é o símbolo da integral. A função f(x) é o integrando da integral e dx indica que se está integrando em relação à variável x. Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela- ção à variável x da seguinte maneira: , onde C é chamada de constante de integração. Capítulo 2 Integral Indefinida 13 No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre- vemos:integrando antiderivada ou primitiva constante de integração A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Verificamos esse fato substituindo-se F'(x) no integra- do, obtendo-se: (a integração é o inverso da dife- renciação) Ainda, se , então podemos dizer que: (a diferenciação é o inverso da inte- gração) Assim, podemos obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação, fazendo a operação inversa. O Quadro 2.1 a seguir enumera várias integrais simples ao lado das fórmulas das derivadas que as originaram. 14 Cálculo II Quadro 2.1 Fórmulas de integrais e derivadas. Capítulo 2 Integral Indefinida 15 Propriedades da integral indefinida: (a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons- tante por uma função, a constante pode ser deslocada para fora da integral, multiplicando-a: (b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais: (c) A integral de uma diferença é igual à diferença das integrais: 2.2 Exemplos 1. Calcular as seguintes integrais: 16 Cálculo II (fórmula 3, com n = -1/2) (propriedades (b) e (c) e fórmula 3) Capítulo 2 Integral Indefinida 17 2. Em cada caso a seguir, encontre a função )(xf conforme as condições iniciais: a) 24)(' −= xxf , com 8)2( =f . Veja que temos a derivada da função )(xf e queremos a função. Para obter essa função, basta integrarmos a função )(' xf : Como 8)2( =f : 4 488 848 82.22.2 2 = +−= =+− =+− C C C C Logo: 422)( 2 ++−= xxxf 4 b) 26)('' 2 +−= xxxf , com 2)1(' =f e 3)0( =f . Agora, conhecemos a derivada segunda. Integrando a derivada segunda )('' xf encontramos a derivada pri- meira )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos ).(xf Em cada passo, devemos usar as condições ini- ciais dadas para calcular as constantes de integração. Então: 18 Cálculo II Como 2)1(' =f : 3 8 3 1322 223 3 1 21.21.3 3 1 23 = −+−= =++− =++− C C C C Logo: 3 823 3 )(' 2 3 ++−= xxxxf Calculando )(xf : Como 3)0( =f : c) θθ )('' senf = , com 2)(' =pif e 5)( =pif . Conhecemos a derivada segunda. Integrando a deri- vada segunda )('' xf encontramos a derivada primeira Capítulo 2 Integral Indefinida 19 )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos Em cada passo devemos usar as condições iniciais dadas para calcular as constantes de integração. Então: ∫ +−=→= cos)(' )(' Cfdsenf θθθθθ Como 2)(' =pif : 1 21 2)1( 2)( cos = =+ =+−− =+− C C C Cpi Logo: 1 cos)(' +−= θθf Calculando )( θf : ( ) 1)( 1 cos)( Csenf df ++−= +−= ∫ θθθ θθθ Como :5)( =pif pi pi pipi −= =++− =++− 5 50 5)( 1 1 1 C C Csen Logo: piθθθ −++−= 5 )( senf 20 Cálculo II 2.3 Exercícios propostos I 1. Calcule as integrais: Capítulo 2 Integral Indefinida 21 2. Em cada caso a seguir encontre a função f(x) conforme as condições iniciais: a) xxf =)('' , com 1)0(' =f e 0)0( =f . b) 12)('' 3 +−= xxxf , com 1)0(' =f e 0)0( =f . c) 12)('' 3 +−= xxxf , com 0)1(' =f e 4)1( =f . d) θθ cos)('' =f , com 1 2 ' = pif e 6 2 = pif . 3. Uma partícula começa a se mover em linha reta com ace- leração 2 2 14)( tta −= (m/s2). Sabendo que inicialmente a partícula estava em repouso e que s(0) = 20 m, determine as funções velocidade e posição. 2.4 Respostas dos exercícios propostos I 1. 22 Cálculo II 2.5 Integração por substituição ou mudança de variável O método da substituição ou mudança de variável é utilizado quando no integrando temos uma função composta gfo . Para isso, vamos examinar a regra da cadeia usada para calcular a derivada de funções compostas no ponto de vista da antide- rivação. Capítulo 2 Integral Indefinida 23 Seja, então, a função F uma antiderivada de f e que g seja uma função diferenciável. A derivada de ))(( xgF pode, pela regra da cadeia, ser expressa como e, em forma integral, pode ser escrita como sabendo que F é uma entiderivada de f , podemos escrever ainda na forma Para facilitar nossos cálculos, será útil fazer )(xgu = e es- crever ou . Assim, a última integral pode ser escrita na forma O processo de escrever a integral na forma acima com a substituição de )(xgu = e é denominado méto- do da substituição ou mudança de variável u. 24 Cálculo II 2.6 Exemplos Exemplo 1: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: Veja que escolhemos 35 += xu conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela função de x para voltarmos à variável original da in- tegral. Para verificarmos se a integral está correta, basta derivar o resultado e comparar com o integrando (que devem ser iguais): Capítulo 2 Integral Indefinida 25 Exemplo 2: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: Veja que escolhemos 17 2 −= xu conveniente para substi- tuir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du . Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela função de x para voltarmos à variável original da in- tegral. Verificando se o resultado está correto: Exemplo 3: Calcule Solução: 26 Cálculo II Substituindo na integral dada: Veja que escolhemos xu 2= conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela função de x para voltarmos à variável original da integral. Verifique você o resultado. Sugestão de roteiro para a regra da substituição Nem sempre é fácil decidir a substituição )(xgu = necessária para transformar a integral dada em uma integral mais sim- ples. Às vezes, é preciso fazer várias possibilidades diferentes até achar a substituição adequada. Às vezes, nenhuma esco- lha de u funcionará. Daí, utilizam-se outros métodos, que se- rão estudados nos capítulos posteriores. A escolha correta de u é um ato de paciência e somente com a prática se consegue ver a melhor escolha. A seguir, uma sugestão de roteiro para a regra da substituição. 1) Decida por uma substituição favorável )(xgu = , dentro de alguma composição ))(( xgf . Geralmente, escolha a função interna da função composta. 2) Calcule e isole dx, escrevendo Capítulo 2 Integral Indefinida 27 3) Substitua, no integrando, )(xg por u e dx por transformando a integral em função apenas da variável u , simplificando a variável x . 4) Calcular a integral obtida em 3, obtendo uma antideriva- da em função de u . 5) Substituir u por )(xg , pois o resultado final deve conter apenas a variável x . Exemplo 4: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: Exemplo 5: Calcule Solução: 28 Cálculo II Substituindo na integral dada: Exemplo 6: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: Exemplo 7: Calcule Solução: Capítulo 2 Integral Indefinida 29 Substituindo na integral dada: Exemplo 8: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: Exemplo 9: Calcule Solução: Substituindo na integral dada: 30 Cálculo II Exemplo 10: Calcule Solução: nesse caso, vamos usar a relação: En- tão temos: Substituindo na integral dada: Logo: Sabendo que temos: Então a integral da tangente também pode ser escrita como: Capítulo 2 Integral Indefinida 31Exemplo 11: Calcule Nesse caso, não temos uma substituição mais evidente. Mas podemos fazer: Substituindo na integral dada: 2.7 Exercícios propostos II 1. Calcule as integrais: 32 Cálculo II 2. Sabendo que 72)(´ += xxf e que f(2) = 0, calcule f(x). 3. Sabendo que xxf 62)´´( −= e que e f(0) = 1, calcule f(x). 4. A equação da velocidade de um corpo é v(t) = 5 + 9,8t, em unidades SI. Sabendo que s(0) = 10 m, determine a equação da posição s em função do tempo. 5. Sabendo que )()(´ tsentf pi= , com 2)2( =f , determine 6. No instante t = 0, um carro andando a uma velocidade de 96 pés/s começa a diminuir sua velocidade com desa- celeração constante a = -12 pés/s2. Determine a função velocidade v(t) e a distância percorrida até parar. 2.8 Respostas dos exercícios propostos II Capítulo 2 Integral Indefinida 33 2.9 Tabela – derivadas, integrais e identidades trigonométricas  Derivadas: sejam u e v funções deriváveis de x e n constante. 1. ny u= 1' 'ny nu u−⇒ = . 2. y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = + . 3. uy v = 2 ' '' u v v uy v − ⇒ = . 4. uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ . 5. uy e= ' 'uy e u⇒ = . 6. logay u= '' loga uy e u ⇒ = . 34 Cálculo II 7. lny u= 1' 'y u u ⇒ = . 8. vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = + . 9. seny u= ' ' cosy u u⇒ = . 10. cosy u= ' ' seny u u⇒ = − . 11. tgy u= 2' ' secy u u⇒ = . 12. cotgy u= 2' ' cosecy u u⇒ = − . 13. secy u= ' ' sec tgy u u u⇒ = . 14. cosecy u= ' ' cosec cotgy u u u⇒ = − . 15. seny arc u= 2 '' 1 uy u ⇒ = − . 16. cosy arc u= 2 '' 1 uy u − ⇒ = − . 17. tgy arc u= 2 '' 1 uy u ⇒ = + . 18. coty arc g u= 2 ' 1 u u − ⇒ + . 19. sec , 1y arc u u= ≥ 2 '' , 1 1 uy u u u ⇒ = > − . Capítulo 2 Integral Indefinida 35 20. cosec , 1y arc u u= ≥ 2 '' , 1 1 uy u u u − ⇒ = > − . 10. 1 sen 1 cos 2 x xpi ± = ± − .  Integrais 1. du u c= +∫ . 2. 1 , 11 n n uu du c n n + = + ≠ − +∫ . 3. lndu u c u = +∫ . 4. , 0, 1ln u u aa du c a a a = + > ≠∫ . 5. u ue du e c= +∫ . 6. sen cosu du u c= − +∫ . 7. cos senu du u c= +∫ . 8. tg ln secu du u c= +∫ . 9. cotg ln senu du u c= +∫ . 10. sec ln sec tgu du u u c= + +∫ . 11. cosec ln cosec cotgu du u u c= − +∫ . 12. sec tg secu u du u c= +∫ . 13. cosec cotg cosecu u du u c= − +∫ . 36 Cálculo II 14. 2sec tgu du u c= +∫ . 15. 2cosec cotgu du u c= − +∫ . 16. 2 2 1 tgdu uarc c u a a a = + +∫ . 17. 2 22 2 1 ln , 2 du u a c u a u a a u a − = + > − +∫ . 18. 2 2 2 2 lndu u u a c u a = + + + + ∫ . 19. 2 2 1 secdu uarc c a au u a = + − ∫ . 20. 2 2 2 2 lndu u u a c u a = + − + − ∫ . 21. 2 2 2 2 sen ,du uarc c u a aa u = + < − ∫ .  Fórmulas de Recorrências 1. 1 2sen cos 1sen sen n n nau au nau du au du an n − − − = − + ∫ ∫ . 2. 1 2sen cos 1cos cos n n nau au nau du au du an n − − − = + ∫ ∫ . Capítulo 2 Integral Indefinida 37 3. 1 2tg tg ( 1) n n ntg auau du au du a n − − = − − ∫ ∫ . 4. 1 2cotgcotg cotg ( 1) n n nauau du au du a n − − = − − − ∫ ∫ . 5. sec 2sec sec ( 1) 1 n nau tg au nau du au du a n n = + − − ∫ ∫ . 6. 2 2cosec cotg 2cosec cosec ( 1) 1 n n nau au nau du au du a n n − − − = − + − − ∫ ∫ .  Identidades Trigonométricas 1. 2 2sen cos 1x x+ = . 2. 2 21 tg secx x+ = . 3. 2 21 cotg cosecx x+ = . 4. 2 1 cos 2sen 2 xx −= . 5. 2 1 cos 2cos 2 xx += . 6. sen 2 2 sen cosx x x= . 7. ( ) ( )2 sen cos senx y x y sen x y= − + + . 8. ( ) ( )2 sen sen cos cosx y x y x y= − − + . 9. ( ) ( )2 cos cos cos cosx y x y x y= − + + . Aureo Martins1 Capítulo 3 Integral Definida ÂÂNeste capítulo, iniciaremos com um problema para chegarmos ao cálculo de áreas de figuras planas. Veremos a Soma de Riemann, a definição de Integral De- finida, a interpretação geométrica e suas propriedades. Estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. 1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Capítulo 3 Integral Definida 39 3.1 Problema Consideremos a função: 1)( 2 += xxf , contínua, cujo gráfico é dado abaixo. Como calcular a área A no intervalo de 0 a 2 entre o grá- fico e o eixo x? Figura 3.1 Área de uma região. Observe que não é fácil encontrar a área de uma região com lados curvos! O cálculo dessa área pode ser feito por aproximação da figura dada por meio de outras figuras cujas áreas são conhe- cidas até a exaustão, isto é, teremos que utilizar o conceito de 40 Cálculo II limite. Utilizaremos, nesse caso, o retângulo para facilitar os cálculos. Primeiramente, vamos construir retângulos com a base no eixo x igual à largura da faixa de domínio e dividir o intervalo [0, 2] em 2 subintervalos, usando como altura a imagem do extremo direito de cada um desses subintervalos. Poderíamos usar como altura a imagem do extremo esquerdo ou até do centro de cada um desses subintervalos, mas vamos optar por usar a imagem do extremo direito. Os subintervalos serão [0,1] e [1,2] e as alturas são os valores de 1)( 2 += xxf no extremo direito de cada um, isto é: 211)1( 2 =+=f e .512)2( 2 =+=f Figura 3.2 Decomposição da área em retângulos. Capítulo 3 Integral Definida 41 Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 7 u.a. Agora, vamos construir retângulos com a base no eixo x e dividir o intervalo [0,2] em 4 subintervalos. Figura 3.3 Decomposição em quatro retângulos. Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 5,75 u.a. Vamos construir retângulos com a base no eixo x e dividir o intervalo [0,2] em 8 subintervalos. 42 Cálculo II Figura 3.4 Decomposição em oito retângulos. Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 5,19 u.a. Podemos aproximar ainda mais, construindo retângulos com a base no eixo x e dividindo o intervalo [0,2] em 16 su- bintervalos. Capítulo 3 Integral Definida 43 Figura 3.5 Decomposição em muitos retângulos. Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 4,90 u.a. Assim, podemos observar que conforme aumentamos a quantidade de retângulos, o somatório das áreas desses retân- gulos nos levam às aproximações cada vez melhores da área A da região entre o gráfico da função e o eixo x. Logo, podemos definir que a área A como o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes, quando a base do retângulo no eixo x tender a zero: ]).(...).().([limlim 21 xxfxxfxxfRA nnnn ∇++∇+∇== ∞→∞→ 44 Cálculo II 3.2 Soma de Riemann Chamamos de Soma de Riemann o somatório ∑ = ∆= n k kk xxfS 1 * )( , onde:  n é o número de subintervalos no intervalo [ ]ba, ;  kx∆ é o tamanho de cada subintervalo e  *kx é um ponto qualquer do subintervalo. Assim, diminuindo cada vez mais o tamanho dos subinter- valos, fazendo a base tender a zero, obtemos a área A exata. Quando o limite ∑ = ∞→ ∆ n k kkn xxf 1 * )(lim existe, ele é chamado de integral definida de a até b . 3.3 Definição de integral definida Se f for uma função contínua definida por bva ≤≤ , dividi- mos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais a nabx /)( −=∆ . Seja bxxxax n == ,...,,, 210 os extre- mos desses subintervalos, vamos escolher os pontos amostrais ∗∗∗ nxxx ,...,, 21 nesses subintervalos de tal forma que ∗ kx está no k-ésimo subintervalo[ kk xx ,1− ]. Então a Integral Definida de f de a para b é: ∑∫ = ∞→ ∆= n k kn b a xxfdxxf 1 * )(lim)( Capítulo 3 Integral Definida 45 Observações: 1. Na notação  )(xf é chamado de integrando;  a e b são os limites de integração, sendo a o limite infe- rior e o b o limite superior;  dx indica a variável de integração. 2. O processo de calcular uma integral é chamado de inte- gração. 3. A integral definida é um número; portanto, não depende de x. Em vez de x, pode ser usada qualquer outra letra sem mudar o valor da integral. 4. Se 0)( ≥xf , a integral definida pode ser interpretada como a área sob a curva da função )(xfy = , acima do eixo x e no intervalo de a até b (valor positivo). Figura 3.6 Área positiva. 46 Cálculo II 5. Se 0)( ≤xf , a integral definida pode ser interpretada como a área acima da curva da função )(xfy = , abaixo do eixo x e no intervalo de a até b (valor negativo). Figura 3.7 Área negativa. 6. Se f assumir valores positivos (o gráfico da função está acima do eixo x) e assumir valores negativos (o gráfico da função está abaixo do eixo x), a integral definida dará como resultado a diferença entre a área de valor positivo (A1) menos a área de valor negativo (A2). Figura 3.8 Área positiva e negativa. Capítulo 3 Integral Definida 47 3.4 Interpretação geométrica da integral definida: Interpretamos como a área da região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo das abscissas X’X e pelas retas paralelas ao eixo das ordenadas Y’Y que passam por a e por b, desde que 0)( ≥xf para todo x do intervalo de [a;b]. 3.5 Propriedades da integral definida 48 Cálculo II 3.6 Teorema fundamental do cálculo Estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. PARTE 1: Se f for contínua em [ ]ba, , então a função g defini- da por, com bxa ≤≤ é contínua em [ ]ba, e diferenciável em ),( ba e )()(' xfxg = , ou escrevendo de outra maneira: PARTE 2: Se f for contínua em [ ]ba, , então: onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que .' fF = Essas duas partes do Teorema nos informam que a diferen- ciação e a integração são processos inversos. O que a diferen- ciação faz, a integração desfaz e vice-versa. Observe que, na aplicação desse teorema, não há neces- sidade de incluir uma constante de integração nas antideriva- das, pois ela irá sumir, pois usando o teorema teremos: Capítulo 3 Integral Definida 49 Portanto, no cálculo da integral definida, podemos omitir a constante de integração. Outra observação importante é sempre lembrar que o cálcu- lo da integral definida só é correto se a função for contínua no intervalo de integração, pois, se desconsiderarmos essas premis- sas, os resultados obtidos quase certamente não serão corretos. Para calcular a Integral Definida, usaremos as Regras de In- tegração, as propriedades e o Teorema Fundamental do Cál- culo. Agora, retornaremos ao Problema do início do capítulo. Problema Como calcular a área A no intervalo de 0 a 2 entre o gráfico da função: 1)( 2 += xxf e o eixo x? 50 Cálculo II Solução: a área pedida é calculada usando a Parte 2 do Teorema Fundamental, cujo resultado dará a área exata abai- xo do gráfico da função e acima do eixo das abscissas, no intervalo de x = 0 a x = 2, em unidades de área (u.a.): Portanto, a área A exata entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo de [0;2] é 4,67 unidades de área. 3.7 Exercícios resolvidos 1. Aplicar as propriedades das integrais definidas: a) Propriedade 1 – Achar: b) Propriedade 2 – Provar que c) Propriedade 3: Achar Capítulo 3 Integral Definida 51 2. Achar a área sob a parábola 2)( xxf = de 0 até 2 confor- me o gráfico abaixo. 52 Cálculo II 3. Achar a área sob a reta 2)( += xxf de 0 até 4 conforme o gráfico abaixo. Solução: observe que o gráfico é uma reta e, portanto, a área demarcada no gráfico é uma figura que pode ser calcu- lada sem a necessidade do uso do cálculo da integral. Usando a integral, teremos: 4. Achar a área sob a parábola 1)( 2 += xxf de -2 até 2 conforme o gráfico abaixo. Capítulo 3 Integral Definida 53 5. Achar a área do gráfico da função 3)( xxf = de -2 até 2 conforme o gráfico abaixo. 54 Cálculo II Solução: Observe que o gráfico da função de -2 a 0 está abaixo do eixo x (valor negativo) e de 0 a 2 está acima do eixo x (valor positivo). Logo, se calcularmos a integral definida da função de -2 a 2, obteremos um resultado zero, porque a área abaixo do eixo x é igual à área acima do eixo x. Portanto, para acharmos a soma da área de x = -2 a x = 2, vamos calcular da seguinte forma: 1º) Na área de x = -2 até x = 0, vamos usar a propriedade 2, que consiste em inverter os valores do intervalo de integra- ção: 2º) Calcular a área de x = 0 até x = 2: Logo, a área total será: A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 u.a. Capítulo 3 Integral Definida 55 6. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo. 7. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo. 56 Cálculo II 8. Calcular a área hachurada do gráfico. 9. Calcular a área hachurada do gráfico. Capítulo 3 Integral Definida 57 10. Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: 0,2, 22 =+−== yxyxy conforme o gráfico abaixo. 11. Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: conforme o gráfico abaixo. 58 Cálculo II 12. Resolva as seguintes integrais definidas, usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo: Capítulo 3 Integral Definida 59 60 Cálculo II 13. Calcular a integral se =)(xf x2, se x < 2 e =)(xf x – 2, se x ≥ 2. 14. Calcular a integral A função modular: 2)( −= xxf é igual a 2)( +−= xxf se 2<x e 2)( −= xxf se 2≥x , logo: 15. Calcular a integral A função modular: 33)( −= xxf é igual a 33)( +−= xxf se 1>x e 33)( −= xxf se 1≥x , logo: Capítulo 3 Integral Definida 61 3.8 Cálculo de integrais definidas por substituição 1. Substituição: Retornando para a variável x: 2. Substituição: 62 Cálculo II Retornando para a variável x: 3. Substituição: Retornando para a variável x: 4. Substituição: Retornando para a variável x: Capítulo 3 Integral Definida 63 5. Substituição: Retornando para a variável x: 6. Substituição: Retornando para a variável x: 7. Substituição: 64 Cálculo II Retornando para a variável x: 8. Substituição: Retornando para a variável x: 9. Substituição: Retornando para a variável x: 10. Capítulo 3 Integral Definida 65 Substituição: Retornando para a variável x: 3.9 Exercícios propostos 1. Usar as propriedades das Integrais Definidas. 66 Cálculo II 2. Calcular o valor das Integrais Definidas. 3. Calcular as integrais: Capítulo 3 Integral Definida 67 4. Calcular as Integrais Definidas usando a regra da substitui- ção. 5. Determinar a área da região entre a curva da função e o eixo x no intervalo dado. 68 Cálculo II Respostas: 1. a) -6. b) 38. c) 4. d) 30. e) 230. 2. a) 24 u.a. b) 8/3 u.a. c) 6 u.a. d) 1 u.a. e) π u.a. 3. a)10,75 u.a. b) 37 u.a. c) 13 u.a. d) 8/5 u.a. e) 4 u.a. 4. a) 1/8 u.a. b) 0,61 u.a. c) 0 u.a. d) 1/3 u.a. e) 1,78 u.a. 5. a) 36 u.a. b) 5,33 u.a. c) 2,25 u.a. d) π u.a. e) 0,95 u.a. Referências Referências básicas STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom- son Learning, 2006. ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. Rio de Janeiro:Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002. Capítulo 3 Integral Definida 69 Referências complementares FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau- lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007. LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 1996. MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja- neiro: LTC, 1992. SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. São Paulo: Mc SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. São Paulo: Leituras e sites recomendados THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison Wesley, 2005. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: LTC,2003. v. 1 à 3. HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli- cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1. www.impa.br www.sbem.com.br www.somatematica.com.br Janor Araujo Bastos Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida ÂÂNeste capítulo, abordaremos algumas aplicações da integral definida, tais como áreas entre curvas, vo- lumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força variável. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 71 4.1 Áreas entre curvas Nos tempos antigos, o procedimento mais utilizado pelos ma- temáticos para o cálculo de área era o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura em questão por meio de outras, cujas áreas sejam conhecidas. Hoje, conforme visto no Capítulo 3, sabemos que o valor da integral definida de uma função f é numericamente igual a área da região limitada pelo gráfico dessa função e o eixo das abscissas em um intervalo dado, se f for contínua nesse inter- valo. Considerando a Figura 4.1.1 abaixo, temos: Figura 4.1.1 72 Cálculo II Partindo dessa mesma ideia, podemos calcular a área limi- tada pelos gráficos de duas funções. Na figura abaixo, temos uma região limitada pelos gráficos das funções f(x) e g(x). Se integrarmos a função f(x) de a até b, teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo das abscissas e as retas x = a e x=b. Se integrarmos a função g(x) de a até b teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico da g(x) o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b. Se da área limitada na parte superior pelo gráfico de f(x) subtrairmos a área limitada na parte superior pelo gráfico de g(x), teremos a área sombreada que procuramos. Então: A área da região limitada pelo gráfico de f(x) será A área da região limitada pelo gráfico de g(x) será . Subtraindo A1 de A2, temos a área A, ou seja: desde que f(x) > g(x) em todo intervalo [a; b]. Usando as propriedades das integrais, podemos escrever: Obs.: Devermos subtrair a função cujo gráfico está limitan- do por cima da função cujo gráfico está limitando por baixo naquele intervalo. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 73 Figura 4.1.2 Exercícios resolvidos: 1. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 no intervalo [0; 1]. Solução: Observando a figura, vemos que, no intervalo considerado, o gráfico de f(x) = 2x+1 é a fronteira superior e gráfico de g(x) = x2 é a fronteira inferior. Então, a área será: Figura 4.1.3 74 Cálculo II 2. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções y = x e y = x2.-1. Solução: Observe que não foram fornecidos os limites de integração. Nesse caso, devemos considerar os pontos onde os dois gráfi- cos de interceptam, que são os pontos onde as funções têm o mesmo valor. Então, fazendo: x + 1 = x2-1 ou x2 – x – 2 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos x1 = -1 e x2 = 2, que são os valores de x dos pontos onde os gráficos se interceptam e que representam os limites da área procurada. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 75 Figura 4.1.4. A região está limitada por cima pela reta e por baixo pela parábola. Então a área será dada pela integral da equação da reta menos a equação da parábola. Logo: 76 Cálculo II 3. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções y = x + 1 e y = X2.-1 e pelas retas x = 0 e x = 3. Solução: Figura 4.1.5 Observando o gráfico, podemos verificar que no intervalo (0; 2) a região está limitada na parte superior pela reta e no intervalo (2; 3) pela parábola. Então devemos fazer a integra- ção em cada um dos intervalos separadamente. No intervalo (0; 2), a fronteira superior é feita pela reta, então, devemos in- tegrar a equação da reta menos a equação da parábola e, no intervalo (2; 3), onde a fronteira superior é feita pela equação da parábola, devemos integrar a equação da parábola menos a equação da reta, ou seja: Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 77 4. Achar a área de região delimitada pelas curvas . Solução: A figura mostra os gráficos e a região. Figura 4.1.6 78 Cálculo II Observe que a fronteira inferior consiste em porções de dois gráficos diferentes, por isso não podemos obter a área utilizando apenas uma integral definida. Devemos considerar uma integral das funções y = x + 6 e x 2 1- =y no intervalo (-4; 0), pois a região é limitada por essas duas retas nesse in- tervalo, e a outra integral com as funções y = x + 6 e y = x3 no intervalo (0; 2), que são as fronteiras superior e inferior da região nesse intervalo. 5. Calcule a área da região limitada pelos gráficos das fun- ções 6. . Solução: A região está ilustrada na figura abaixo. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 79 Figura 4.1.7 Como no exemplo anterior, devemos dividir o intervalo em duas partes e integrar 4xye4xy +−=+= no inter- valo (– 4; – 3) e 2xye4xy +=+= no intervalo (– 3; 0). Então temos: 80 Cálculo II Mas, se considerarmos x em função de y, teremos menos trabalho. Veja: 2yx2xy 4yx4xy4xy 22 −=⇒+= −=⇒+=⇒+= Nessas condições, a região está delimitada à direita pela reta x = y – 2 e à esquerda pela curva x = y2 – 4. Então, deve- mos realizar a integração dessas funções em relação à y. Nesse caso, fazemos apenas uma integral da fronteira di- reita menos a fronteira da esquerda. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 81 Exercícios propostos 1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e calcule sua área em cada caso abaixo. 82 Cálculo II Respostas a) .a.u 2 9 b) .a.u3 Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 83 c) d) .a.u 3 242 + 84 Cálculo II e) .a.u 2 1 f) Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 85 g) .. 3 4 au 4.2 Sólidos de revolução Se fizermos girar uma região em torno de uma reta, o resul- tado será um sólido de revolução. Por exemplo, ao girarmos um retângulo com um dos lados fixo a uma reta, teremos um cilindro circular reto; se girarmos triângulo retângulo com um dos catetos fixo em uma reta, termos um cone circular reto; se girarmos um semicírculo com extremidade do diâmetro fixo na reta, teremos uma esfera. Dizemos que a reta é o eixo de revolução e que o sólido foi gerado pela região. 86 Cálculo II (c) x y (b) x y r=f(x) (a) x y (d) x y Figura 4.2.1. Se interceptarmos um sólido de revolução com um plano perpendicular ao eixo x, obteremos uma secção transversal circular. Se o plano cortar o eixo x no ponto x = a, o raio do círculo é f(a), e sua área será [ ]2)(afpi . Se um sólido está entre x=a x=b, a área da secção trans- versal é A(x), e A(x) é uma função contínua, utilizando a soma de Rieman, podemos escrever uma definição para o volume dos sólidos de revolução: Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 87 Como nos sólidosde revolução a secção transversal será sempre um círculo, [ ]2)()( afxA pi= o volume de um sólido de revolução é dado por: No caso do cilindro, f(x) = r é uma função constante, onde f(x) é o raio do círculo, base do cilindro cuja área é 2.rpi . Então: Figura 4.2.2 Exercícios resolvidos 1. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitado pelo gráfico da função f(x) = 3 e as retas x = 1 e x = 5 em torno do eixo x. 88 Cálculo II Solução: A Figura 4.2.3 mostra a região R, e o sólido por ela gerado é um cilindro circular reto mostrado na Figura 4.2.2. Devemos integrar a função f(x) = 3 de 1 até 5. Figura 4.2.3 2. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da re- gião sob a curva xy = em torno do eixo x entre 0 e 4. Esboce a região e o sólido aproximado típico. Solução: A Figura 4.2.4 mostra a região e o sólido gerado. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 89 Figura 4.2.4 Devemos integrar a função xy = de 0 até 4. 3. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 + 2 e o eixo x entre -1 e 2, e calcule o volume do sólido 90 Cálculo II gerado pela rotação da região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico. Solução: A Figura 4.2.5 mostra a região e o sólido gerado Figura 4.2.5. 4. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 entre y = 0 e y = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce o sólido aproximado típico. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 91 Solução: A Figura 4.2.6 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.6 Como a região está girando em torno do eixo y, devemos fazer a integração em relação à y. Para que isso seja possível, a equação y = x2 deve ser escrita em função de y, ou seja: 5. Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções xy = e xy 2 1 = de y = 0 até y = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico. 92 Cálculo II Solução: A Figura 4.2.7 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.7. 6. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das funções y = 6 e y = x + 1 em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região e do sólido aproximado típico. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 93 Solução: A Figura 4.2.8 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.8 94 Cálculo II 7. Repita o exemplo 5 com a região girando em torno do eixo y. Solução: A Figura 4.2.9 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.9 Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 95 Temos xyxy 2 1 == . Como a região gira em torno do eixo y, devemos escrever yxeyx 22 == para fazer a integra- ção em relação à y. Exercícios propostos 1. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da re- gião limitada pelas curvas em torno da reta especificada. Faça um esboço da região e do sólido. g. Repita o exercício f fazendo a região girar em torno do eixo y. 96 Cálculo II Respostas Aplicações à física e à engenharia Definição: Se uma força constante F atua sobre um objeto, fazendo-o mover-se por uma distância d na direção da força, é dado por: W = F.d No caso da força F ser variável, temos: Se f(x) é uma força e se f é contínua em um intervalo [a; b], o trabalho W realizado para mover um objeto de x = a até x = b é: Pela lei de Hooke, a força f(x) necessária para distender uma x unidades além do seu comprimento natural é dada por: f(x) = kx, onde k é uma constante chamada constante da mola. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 97 Exemplos: 1. Calcular o trabalho para distender uma mola de seu com- primento normal de 20 cm até 30 cm, sabendo que, para distendê-la 5 cm, é necessária uma força de 40 N. Solução: Devemos primeiramente determinar a constante k da mola. 2. Um cabo de 10 m de comprimento e pesando 25 pende verticalmente do topo de um edifício. Uma barra de ferro de 80 kg presa na extremidade inferior do cabo. Calcular o trabalho para transportar a barra até o topo do edifício. Solução: O trabalho para transportar a barra de ferro até o topo é: WB = 80 x 10 = 800 J O trabalho para elevar o cabo: Considerando a extremidade inferior do cabo na origem do eixo y e a extremidade superior em y = 10. Consideremos dy o incremento do comprimento do cabo. Como cada metro 98 Cálculo II pesa 2,5 kg o peso do incremento é 2,5 dy. Consideremos y a distância de 0 até o ponto de incremento. Temos: Incremento da força: 2,5 dy Distância percorrida: 10 – y Incremento do trabalho: (10 – y) 2,5 dy Então: Exercícios propostos 1. Um gorila de 180 kg de peso sobe uma árvore de 5 me- tros em 10 segundos. Calcule o trabalho realizado pelo gorila para chegar ao topo da árvore. R. = 900N-m 2. Uma mola de 25 cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3,8 cm sob um peso de 35 N. Ache o traba- lho realizado para distender a mola: a) de seu comprimento para 35,5 cm R= 507 J b) de 28 cm para 33 cm R = 253,3 Ana Brunet1 Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas Introdução Neste capítulo, vamos apresentar a função logaritmo natural a partir da necessidade de uma primitiva para a função no cál- culo integral. Sua inversa será definida e, com ela, o número e. As funções hiperbólicas aparecem em muitas aplicações das ciências naturais e engenharia. Veremos que tais funções são combinações de funções exponenciais. 1 Mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA. 100 Cálculo II A função logaritmo natural No Capítulo 2, Integrais Indefinidas, vimos a operação de inte- gração como inversa da derivada. A regra de integração para funções do tipo, com r racional e diferente de – 1, foi apresen- tada como: e para r = -1, como: Em (*) é fácil ver que a derivada da função dada como a primitiva é a função integrando, o que ratifica a fórmula. Po- rém para justificar (**) precisaremos do Teorema Fundamental do Cálculo enunciado no Capítulo 3. Primeiro, vamos observar o gráfico da função 1/t na Figura 5.1 para valores positivos de t. Figura 5.1 Gráfico da função 1/t. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 101 Podemos ver que existe uma região entre o gráfico da fun- ção e o eixo das abscissas. Se considerarmos um intervalo de números positivos [a, b], então terá uma região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = a e t = b (Figura 5.2). Vimos no Capítulo 3 que a área dessa região, já que a função assume valores positivos nesse intervalo, é dada pela integral definida: Figura 5.2 Região limitada pelo gráfico de y = 1/x, y = 0, x = a e x = b. Definimos a função logaritmo natural (Notação: y = ln x) por: onde Consequências da definição. 102 Cálculo II Das propriedades da integral definida, decorre o estudo do sinal da função ln. Para x = 1, temos: Para x = c > 1, temos: Nesse caso, o valor da integral coincide com o valor da área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = 1 e t = c. Isto é, a função ln assume valores positivos para x > 1. Para x = c, com 0 < c <1, temos: Para valores de c entre zero e um, a área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = c e t = 1 é dada pelo cálcu- lo da integral definida com limite inferior igual a c e superior igual a 1, pois c < 1. Então a função ln assume valores nega- tivos no intervalo (0, 1). Vamos apresentar, de maneira intuitiva, o estudo do com- portamento da função logaritmo natural ao x tender ao infinito e ao x tender a zero pela direita. Iniciaremos com o limite no infinito. Capítulo 5 Funções Logarítmicas,Exponenciais e Hiperbólicas 103 A ideia geométrica desse limite é o cálculo da área da re- gião não limitada representada na Figura 5.3. Figura 5.3 Área sob o gráfico de y = 1/t com t >1. A Figura 5.4 nos fornece uma visualização de uma aproxi- mação por falta da integral procurada. Figura 5.4 Aproximação por falta da área abaixo do gráfico de y = 1/t com t > 1. 104 Cálculo II O que estamos fazendo aqui é parecido com a Soma de Riemann quando se toma para aumento o limite superior do subintervalo de tamanho unitário, porém o intervalo não é li- mitado superiormente. Podemos escrever, então: mas e Ou seja, estamos somando ½ infinitas vezes, o que resulta em uma soma infinita. Assim, O estudo do comportamento da função logaritmo natural ao x tender a zero pela direita pode ser realizado de forma parecida. Nesse caso, o limite resulta em menos infinito. A função 1/t é contínua para valores positivos de t, então a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo fornece: Ou seja, a derivada da função logaritmo natural é 1/x. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 105 Em geral, se temos: Assim, por exemplo, para calcularmos a derivada da fun- ção procedemos da seguinte maneira: Gráfico da função Logaritmo Natural Vimos que a derivada da função ln é 1/x. Logo, ln é cres- cente em todo seu domínio, pois 1/x é positiva nesse intervalo. Além disso, a função não apresenta pontos críticos, pois sua derivada é contínua e sempre diferente de zero em A derivada de segunda ordem é -1/x2, função que é sempre ne- gativa quando assume valores em Portanto, a função ln é côncava em todo seu domínio. Vimos, também que: Desse modo, o gráfico da função Logaritmo Natural pode ser representado como na Figura 5.5. 106 Cálculo II Figura 5.5 Gráfico da função ln. Diferenciação Logarítmica Podemos utilizar a função logaritmo e suas propriedades para calcular derivadas de funções do tipo uv, onde u e v são funções de x. Por exemplo, para calcular a derivada da função podemos proceder do seguinte modo: Derivando membro a membro, lembrando que e usando a regra da derivada do produto, vem: isto é, Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 107 logo, Como podemos escrever: Um caso particular da aplicação da diferenciação loga- rítmica é o cálculo da derivada da função exponencial y = ax, com a > 0. Para tanto, procedemos da mesma forma do exemplo anterior. Porém, nesse caso, a é uma constante real positiva. Derivando membro a membro, vem: ou seja, Como y = ax, podemos escrever: Em geral, se temos: 108 Cálculo II Então a derivada da função y = 53x+2, por exemplo, pode ser determinada pela fórmula acima: Para calcularmos a derivada da função logaritmo em uma base a qualquer, com pode- mos escrever esse logaritmo como um logaritmo natural por mudança de base. Ou seja, Daí, como a é constante, portanto ln a também, temos: isto é, em geral, Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 109 Por exemplo, a derivada da função é: A diferenciação logarítmica também pode facilitar o cálcu- lo da derivada de funções em que suas expressões envolvem quocientes, produtos e potências. Por exemplo, vamos usar di- ferenciação logarítmica para calcular a derivada da função Aplica-se a função ln em ambos os lados: Usa-se as propriedades da função ln: Como ln e = 1, vem: 110 Cálculo II Derivando membro a membro, obtemos: isto é, ou seja, Experimente encontrar a derivada da função y dada pelas regras de derivação anteriores, você perceberá que a diferen- ciação logarítmica facilita os cálculos. A função exponencial natural A função Logaritmo Natural é contínua e bijetora, então ad- mite inversa. Definimos a função Exponencial Natural como a inversa da função Logaritmo Natural. (Notação: y = exp x) Então: onde Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 111 Para determinarmos a derivada da função Exponencial Na- tural, vamos derivar membro a membro a segunda parte dessa equivalência e usar o fato de que y = exp x é uma função que depende da variável x. Daí vem: ou seja, isto é, Mas y = exp x, então: Assim, a derivada da função Exponencial Natural é ela mesma! Definimos o número e como aquele cujo logaritmo natural assume o valor 1. Ou seja, ln e = 1. Pela definição, temos: Decorre daí que exp x = ex, pois: Mas, pela propriedade dos logaritmos, é possível escrever: 112 Cálculo II Então podemos reescrever a derivada da função Exponen- cial Natural como: Em geral, se vem: Por exemplo, O gráfico da função Exponencial Natural (Figura 5.6) pode ser obtido pela reflexão em relação à reta y = x. Figura 5.6 Gráfico da função y = ex. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 113 Funções hiperbólicas Catenária é o nome que se deu à curva como as que fios sus- pensos apresentam (Figura 5.7). Por muito tempo, procurou-se uma parábola para descrever essa curva, porém a função que a descreve envolve as funções e x e e – x. Figura 5.7 Uma catenária. As funções que estudaremos agora são chamadas funções hiperbólicas. As funções e x e e – x estão envolvidas em suas leis de formação e possuem esse nome porque têm com a hipérbole a mesma relação que as funções trigonométricas possuem com o círculo, como ilustram as Figura 5.8 e 5.9. Além disso, as funções hiperbólicas se relacionam entre si de maneira semelhante às trigonométricas. Mais especificamente, são denominadas de seno hiperbólico, cosseno hiperbóli- co, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cossecante hiperbólica e definidas por: 114 Cálculo II O domínio das funções seno e cosseno hiperbólico são todos os reais, bem como o domínio das funções secante e tangente hiperbólicas, pois o cosseno hiperbólico não possui raiz real. Já as funções cossecante e cotangente hiperbólicas possuem domínio em isto é, em todos os reais menos no zero, pois a função seno hiperbólico se anula em x = 0. Uma catenária, como a representada na Figura 5.7, possui equação da forma: Figura 5.8 Ponto P sobre o círculo. Figura 5.9 – Ponto P sobre a hipérbole. Os valores reais de t que determinam P(cos t, sen t) sobre o círculo de raio unitário e centro na origem podem ser interpretados Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 115 como a medida, em radianos, do ângulo CÔP e representa o do- bro da área do setor circular da região sombreada na Figura 5.8. Já os valores reais de t que determinam P(cosh t, senh t) sobre o ramo direito da hipérbole não representa ângulo, porém nos forne- ce o dobro da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 5.9. Identidades Hiperbólicas Algumas identidades hiperbólicas são: Pelas duas últimas identidades apontadas, vemos que a função seno hiperbólico é uma função ímpar e cosseno hiper- bólico é uma função par. Essa informação é útil em muitas si- tuações, como no cálculo de integrais definidas, por exemplo. Essas identidades são de fácil verificação. Por exemplo, vamos verificar que: 116 Cálculo II Derivada de Funções Hiperbólicas Outra semelhança das funções hiperbólicas com as trigo- nométricas são as fórmulas de derivação. Observe a lista das derivadas das funções hiperbólicas: Essas regras podem ser combinadas com a Regra da Ca- deia. Por exemplo, Outro exemplo, Gráfico das Funções Hiperbólicas Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 117 Apresentaremos os gráficos das funções hiperbólicas, mas indicaremos somente a construção da função seno hipérbóli- co. Para tanto, vamos estudar o comportamento dessa função pelos recursos docálculo. Já vimos que a derivada da função seno hiperbólico é a função cosseno hiperbólico, e que a derivada da função cos- seno hiperbólico é o seno hiperbólico. Então, a derivada se- gunda da função seno hiperbólico é a própria seno hiperbóli- co. Isto é, Para x = 0, se anula e é o único valor real de x que essa expressão assume o valor zero. Portanto, é a única raiz real dessa função. Para x < 0, a função assume valores negativos e, para x > 0, assume valores positivos. Sua derivada , não se anula, portanto não existem pontos críticos e, além disso, é sempre positiva, o que indica função crescente em todo seu domínio. A derivada segunda possui uma raiz em x = 0 a qual não é ponto crítico da função, portanto é ponto de inflexão. Temos, também, negativa para x < 0 e positiva para x > 0, então a função é convexa para x < 0 e côncava para x > 0. O estudo do limite no infinito dessa função nos dá infinito negativo no menos infinito e infinito positivo no infinito. 118 Cálculo II Figura 5.10 Gráfico da função seno hiperbólico. As Figuras 5.11 e 5.12 apresentam os gráficos das funções cosseno e tangente hiperbólicas, os quais podem ser construí- dos pelos recursos do cálculo como apresentado para o seno hiperbólico, assim como os gráficos das demais funções hiper- bólicas. Nesse momento, você pode usar um recurso gráfico como uma calculadora gráfica ou software matemático para construir ou verificar sua construção. Figura 5.11 Gráfico da função cosseno hiperbólico. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 119 Figura 5.12 Gráfico da função tangente hiperbólica. Recapitulando Usamos a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para definir a função logaritmo natural como a primitiva da função. Seu domínio são os reais positivos e sua imagem os reais. Por ser uma função bijetora, a função logaritmo admite inversa que é a função exponencial natural y = ex. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem os reais positivos. Com a função logaritmo e suas propriedades, podemos deri- var funções nas quais a variável aparece na base e no expoen- te, chamada derivação logarítmica. As funções hiperbólicas são combinações das funções ex e e-x. Por sua ampla aplicação nas ciências naturais e enge- nharia, merecem atenção especial e foram apresentadas neste capítulo. 120 Cálculo II Referências Bibliográficas ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu- lo, Vol. 2, 8ª edição. Editora Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, Vol. 2, 7ª edição. Editora LTC, 2003. STEWART, James. Cálculo, Vol. 2, 6ª edição. Editora Cengage Learning, 2009. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Brooks. Atividades 1. Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada da função y dada em cada item. 2. Use as definições das funções hiperbólicas para verificar as identidades hiperbólicas apresentadas neste capítulo. 3. Encontre y’ e y’’. 122 Cálculo II 2. Use as ideias apresentadas na identidade verificada neste capítulo. 4. (0,0) 6. Calcule a derivada segunda de y1 e substitua na equação. Verifique que ao substituir y1’’ e y1 na equação, obtém uma identidade. O mesmo ocorre com y2. Leomir Joel Schweig1 Capítulo 6 Integração por Partes Introdução Quando não podemos ajeitar o integrando de uma integral para utilizar uma das fórmulas de integração vistas nos ca- pítulos anteriores, devemos buscar métodos para resolver a integral. O primeiro método de integração que vamos estudar é o método de integração por partes. Essa técnica é utilizada principalmente quando o integrando é formado pelo produto de duas funções, geralmente uma função algébrica e uma fun- ção não algébrica, como, por exemplo, 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. 124 Cálculo II 6.1 O método da integração por partes O método da integração por partes baseia-se na derivada do produto, vista no Capítulo 6 e 7 do livro de Cálculo I. Se u e v são funções de x, a regra da derivada do produto é escrita na forma: Ou simplesmente: Se u e v são contínuas, podemos integrar ambos os lados dessa equação; Reescrevendo essa integral, isolando o termo fica- mos com: Que é a fórmula utilizada na integração por partes. Veja que essa fórmula expressa uma integral (primeiro membro da equação) em função de uma outra integral (no Capítulo 6 Integração por Partes 125 segundo membro da equação). Dependendo das escolhas de u e , a integral do segundo membro pode se tornar mais fácil ou mais complicada para resolver. 6.2 Exemplos Exemplo 1: Calcular O primeiro passo é escolher u e apropriados, para que possamos ter uma integral mais simples no segundo membro da fórmula (1). Assim, vamos fazer: Logo: Aplicando na fórmula (1): , te- mos: A integral do segundo membro é bem mais simples, fican- do o resultado final: 126 Cálculo II Veja o que ocorre se escolhermos da seguinte manei- ra, isto é, fazendo: No segundo membro da igualdade, a integral é mais complicada do que a integral do primeiro membro. Nesse caso, devemos fazer novamente a integração por partes para essa integral e conforme escolhermos os novos u e para essa integral, pode-se ter uma nova integral por partes mais complicada, e assim por diante, nunca chegando ao fim. Quando vamos aplicar a fórmula (1), o primeiro passo é escolher qual o fator do integrando será . A expressão que escolhermos para deve vir acompanhada pelo diferencial . O restante do integrando será u . Calculamos, então v e . Em geral, chamamos de a parte mais complicada do integrando que pode ser logo integrada. Capítulo 6 Integração por Partes 127 O mais importante na integração por partes é decidir o produto inicial de modo que se obtenha o produto mais fácil para integrar. De modo geral:  Escolha u de modo que seja mais simples do que a própria u .  Escolha de modo que possa ser facilmente calculada. Exemplo 2: Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Exemplo 3: Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: 128 Cálculo II Exemplo 4: Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Exemplo 5: Nesse exemplo, vamos integrar por partes mais de uma vez. Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Capítulo 6 Integração por Partes 129 Exemplo 6: Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: 130 Cálculo II Podemos então reduzi-las a uma só: OBS.: Resolva essa integral novamente, mas chamando ini- cialmente xu cos= e Exemplo 7: Calcular Veja que essa é uma inte- gral definida. Primeiro vamos calcular a integral como se fosse uma integral indefinida: Fazendo: xu = , então então Substituindo na fórmula (1): temos: Capítulo 6 Integração por Partes 131 Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 8: Calcular Veja que essa tam- bém é uma integral definida. 132 Cálculo II Primeiro vamos calcular a integral como se fosse uma integral indefinida: Fazendo: xu = , então então Substituindo na fórmula (1): temos: Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 9: Calcular a área da região limitada pelo gráfico da função o eixo x, desde x = 1 até x = 2. Capítulo 6 Integração por Partes 133 A seguir o gráfico da função: A área será calculada pela integral: . Cálculo da integral indefinida: Fazendo: , então e , então . Substituindo na fórmula (1): , temos: 134 Cálculo II Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 10: A velocidadede um móvel varia em função do tempo de acordo com a função , no Sistema Interna- cional. Sabendo que sua posição inicial é a origem, determine sua posição no instante t e no instante 10 segundos. A posição é calculada pela integral da velocidade. Cha- mando de s(t) a posição em função do tempo, temos: . Logo: (que é uma integral por partes). Fazendo: tu = , então e , então . Substituindo na fórmula (1): , temos: Capítulo 6 Integração por Partes 135 Como a posição inicial é a origem, temos .0)0( =s Logo: Então a posição em função do tempo t é dada por: . A posição no instante t = 10 segundos é: 136 Cálculo II 6.3 Exercícios propostos 1. Calcule as integrais: a) f) k) b) g) l) c) h) m) d) i) n) e) j) o) 6.4 Respostas dos exercícios propostos Capítulo 6 Integração por Partes 137 Agostinho Iaqchan1 Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas1  Para a resolução das integrais de potências de Funções Trigonométricas, é necessário, na maioria das vezes, a substituição da função trigonométrica por outra variável de integração e o uso da regra da substituição para a resolução da integral. Em várias situações, para que se identifique a derivada da variável adotada, faz-se neces- sário o emprego das identidades trigonométricas. 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 139 Para as funções trigonométricas na forma é possível resolver aplican- do diretamente a regra da substituição de maneira. Por exem- plo, a função possui uma função trigonométrica na potência 3 e é resolvida utilizando a regra da substituição: 140 Cálculo II Para a função não é possível resolver a sua integral utilizando uma fórmula básica de integração ou diretamente por meio da regra da substituição como no exemplo anterior, pois não temos um disponível. Nesse caso, é necessário o uso de uma identidade trigonométrica então, utilizando alguma fórmula de integração, resolver a integral. Primeiro reescrevemos a função em um produto de fatores separando um resolvendo a integral simples de para, temos que iaqchan Nota FALTA nulldu iaqchan Nota FALTAnullpara u=cos(x), temos quenull Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 141 utilizando a regra de substituição Para função reescrevemos a função de maneira que a integral fique em um produto de fatores separando um iaqchan Nota TIRAR ESSE ESPAÇO 142 Cálculo II Calcule: OBS.: De modo geral, para Integrais de funções e, para k um número inteiro positivo ímpar, ou seja, reescreve-se as fun- ções de modo que iaqchan Nota FALTA sen^k(x) e cos^k(x)nullVER ORIGINAL Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 143 O mesmo método deve ser realizado para resolver Para o caso das integrais de funções para k um número inteiro positivo par, utiliza-se as identidades dos ângulos-metade, de modo que Para a função a integração será realizada reescre- vendo a função seno e 144 Cálculo II Calcule: Quando for o caso de Integrais de funções,  para m um número inteiro positivo par e deve- -se reescrever a função trigonométrica separando um fator e substituir os demais fatores por e então, utilizar a regra da substituição com ou  para n um número inteiro positivo ímpar e deve- -se reescrever a função trigonométrica separando um fator substituir por e utilizar a regra da substituição com Para a integração da função primeiro rees- creve-se a função secante em potências de 2 e depois utiliza- -se a identidade iaqchan Nota FALTA AS FUNÇÕES VER ORIGINAL Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 145 Para a integração da função primei- ro reescreve-se a função trigonométrica separando um fator para ser utilizado na regra da substituição, pois para com 146 Cálculo II Calcule: Quando for o caso de Integrais de funções  para m um número inteiro positivo par e de- ve-se reescrever a função trigonométrica separando um fator e substituir os demais fatores por e então, utilizar a regra da substituição com ou  para n um número inteiro positivo impar e deve-se reescrever a função trigonométrica separando um fator substituir por e utilizar a regra da substituição com Para a integração da função primeiro reescreve-se a função cossecante em potências de 2 e depois utiliza-se a identidade Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 147 Para a integração da função primei- ro reescreve-se a função trigonométrica separando um fator para ser utilizado na regra da substituição, pois para com Para os demais produtos que não atendem às condições neces- iaqchan Nota RETIRAR A PALAVRA "COM" 148 Cálculo II sárias para utilizar os métodos apresentados, deve-se reduzir o produto a uma das funções trigonométricas. Exemplificando a integração do produto te- mos: Capítulo 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas 149 iaqchan Nota A FONTE TEM TAMANHO DIFERENTE NESSE PARAGRAFO iaqchan Nota FONTE 150 Cálculo II Referências Bibliográficas GEORGE F. S. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. McGraw-Hill, São Paulo, 1987. STEWART, J. Cálculo – Volume I. Cengage Learning, São Paulo, 2011. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica – Volu- me 1. 2ª ed, São Paulo, 1986. Leomir Joel Schweig1 Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas Introdução Neste capítulo, estudaremos as funções trigonométricas inver- sas e suas derivadas e integrais. As funções trigonométricas não são bijetoras (pois não são injetoras), portanto, não pos- suem inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio de forma apropriada, então a sua inversa será uma função. 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. 152 Cálculo II 8.1 Função inversa Quando as variáveis x e y se relacionam de modo que a cada valor de x está associado um e somente um valor de y, dizemos que y é em função de x e escrevemos y = f(x). Se também ocorre que a cada valor de y está associado um e somente um valor de x, dizemos também que x é em função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f, e é representada por f-1 e escrevemos x = f-1(y). Se a função f tem inversa, dizemos que ela é inversível. Observe que a função f deve ser bijetora, isto é, deve ser sobrejetora e injetora. Revisando esses conceitos:  Dizemos que uma função é sobrejetora quando todo elemento y = f(x) for imagem de pelo menos um ele- mento x do domínio.  Dizemos que uma função é injetora quando cada ele- mento y = f(x) é imagem de um e somente um elemento x do domínio.  Dizemos que uma função é bijetora quando ela for so- brejetora e injetora ao mesmo tempo. Então, se uma função é bijetora, para cada valor de x do domínio tem um e somente um valor de y no contradomínio e Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 153 cada valor de y do contradomínio tem um e somente um valor de x no domínio. Existe uma relação um a um, chamada de biunívoca. Veja que o domínio da função f(x) será a imagem da função f-1(x) e a imagem de f(x) será o domínio de f-1(x). Dizemos que as variáveis trocam de papel: x passa a ser y e y passa a ser x. Ex.: 1) Determinar a função inversa da função .23)( += xxf Como a função é do primeiro grau, o domínio é o conjunto dos reais e a imagem também é o conjunto dos reais. Escrevemos: .23 += xy Trocamos o papel das variáveis: .23 += yx Isolamos y: . 3 2− = xy Logo, a função inversa da função 23)( += xxf é a função 3 2)(1 −=− xxf . Seu domínio é o conjunto dos reais,e a imagem também é o conjunto dos reais. Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um mesmo sistema de eixos cartesianos: 154 Cálculo II No gráfico, verificamos que as funções 23)( += xxf e 3 2)(1 −=− xxf são simétricas em relação à reta y = x. Veja também que Ex.: 2) Determinar a função inversa da função 3)( xxf = . O domínio é o conjunto dos reais, e a imagem também é o conjunto dos reais. Escrevemos: 3xy = . Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 155 Trocamos o papel das variáveis: 3yx = . Isolamos y: 3 xy = . Logo, a função inversa da função 3)( xxf = é a função 31 )( xxf =− . Seu domínio é o conjunto dos reais, e a imagem também é o conjunto dos reais. Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um mesmo sistema de eixos cartesianos: No gráfico, verificamos que as funções 3)( xxf = e 31 )( xxf =− são simétricas em relação à reta y = x. 156 Cálculo II Ex.: 3) Determinar a função inversa da função 2)( xxf = . Essa função é do segundo grau (função quadrática). O seu domínio é o conjunto dos reais e a imagem é o intervalo ) ; 0[ ∞ . Podemos ver facilmente que essa função não é bijetora, pois existem valores de y = f(x) que são imagem de mais de um valor de x do domínio (ela não é injetora). Ex.: f(-2) = 4 e f(2) = 4. A inversa dessa função existe se fizermos uma restrição no domínio. Se fizermos o subconjunto ) ; 0[ ∞ como o domínio e ) ; 0[ ∞ como contradomínio, ela possui inversa nesses intervalos. En- tão: ) ; 0[ ) ; 0[ : ∞→∞f , definida por 2)( xxf = . ) ; 0[ ) ; 0[ : 1 ∞→∞−f , definida por xxf =− )(1 (consideremos apenas a raiz positiva) Veja a representação gráfica de )(xf e de )(1 xf − , em um mesmo sistema de eixos cartesianos: Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 157 No gráfico, verificamos que as funções 2)( xxf = e xxf =− )(1 são simétricas em relação à reta y = x. 8.2 Funções trigonométricas Já estudamos as funções trigonométricas, traçando seus grá- ficos, determinando o domínio e a imagem e calculando suas derivadas e integrais. A seguir, um resumo sobre as seis fun- ções trigonométricas. 158 Cálculo II Quadro 1 funções trigonométricas, domínio e imagem Quadro 2 funções trigonométricas, suas derivadas e integrais Quadro 3 gráficos das funções trigonométricas Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 159 160 Cálculo II 8.3 Funções trigonométricas inversas Como as funções trigonométricas são periódicas, elas não são bijetoras. Em consequência, a inversa de uma função tri- gonométrica não é uma função. Restringindo o domínio das funções trigonométricas de forma apropriada, ela terá uma função inversa dentro dessa restrição. 8.3.1 A função inversa da função seno A função xsenxf )( = , com domínio nos reais não possui inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no intervalo [ ]2 ; 2 pipi− , ela possui inversa. Sua inversa é denominada função arco seno e é simbolizada por xsenarcy = . Isto é: Escrevemos: xseny = . Trocamos o papel das variáveis: ysenx = . Isolamos y: xésenocujoarcooéy = que é escrito na for- ma: xsenarcy = . Logo, a função inversa da função xsenxf )( = é a função xsenarcxf )(1 =− . xsenarcy = é o único ângulo em [ ]2 ; 2 pipi− tal que xysen = Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 161 A função inversa do seno, simbolizada por xsenarc , é definida como xsenarcy = se e somente se ysenx = para 1 1 ≤≤− x e 2 2 pipi ≤≤− y Veja a seguir o gráfico de xsenxf )( = com o domínio res- tringido e o gráfico de xsenarcy = . 8.3.2 A função inversa da função cosseno A função xxf cos)( = , com domínio nos reais não possui in- versa. Mas se restringirmos o seu domínio no intervalo [ ]pi ; 0 ela possui inversa. Sua inversa é denominada função arco cosseno e é simbolizada por xarcy cos = . Isto é: xy arccos= é o único ângulo em [ ]pi ; 0 tal que xy = cos 162 Cálculo II A função inversa do cosseno, simbolizada por xarc cos , é definida como xarcy cos = se e somente se yx cos= para 1 1 ≤≤− x e pi 0 ≤≤ y Veja a seguir o gráfico de xxf cos)( = com o domínio res- tringido e o gráfico de xarcy cos = . 8.3.3 A função inversa da função tangente A função , com domínio })2(/{ pipi nxRx +≠∈ não possui inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no interva- lo ( )2 ; 2 pipi− , ela possui inversa. Sua inversa é denominada função arco tangente e é simbolizada por . Isto é: é o único ângulo em ( )2 ; 2 pipi− tal que . Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 163 A função inversa da tangente, simbolizada por xtgarc , é definida como se e somente se para Rx∈ e 2 2 pipi ≤≤− y Veja a seguir o gráfico de com o domínio res- tringido e o gráfico de . 8.3.4 A função inversa da função cotangente A função xgxf cot)( = , com domínio }/{ pinxRx ≠∈ não possui inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no intervalo ( )pi ; 0 , ela possui inversa. Sua inversa é denominada função arco cotangente e é simbolizada por xgarcy cot= . Isto é: xgarcy cot = é o único ângulo em ( )pi ;0 tal que xyg = cot . 164 Cálculo II A função inversa da cotangente, simbolizada por xgarc cot , é definida como xgarcy cot = se e somente se ygx cot= para Rx∈ e pi 0 ≤≤ y Veja a seguir o gráfico de xgxf cot)( = com o domínio restringido e o gráfico de xgarcy cot = . 8.3.5 A função inversa da função secante A função xxf sec)( = , com domínio })2(/{ pipi nxRx +≠∈ não possui inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no intervalo [ ) ( ]pipipi ; 22 ; 0 ∪ , ela possui inversa. Sua inver- sa é denominada função arco secante e é simbolizada por xarcy sec = . Isto é: xarcy sec= é o único ângulo em [ ) ( ]pipipi ; 22 ; 0 ∪ tal que xy = sec . Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 165 A função inversa da secante, simbolizada por xarc sec , é definida como xarcy sec = se e somente se yx sec= para 1≥x e [ ) ( ]pipipi ; 22 ; 0 ∪∈y Veja a seguir o gráfico de xxf sec)( = com o domínio res- tringido e o gráfico de xarcy sec = . 8.3.6 A função inversa da função cossecante A função xxf seccos)( = , com domínio }/{ pinxRx ≠∈ não possui inversa. Mas, se restringirmos o seu domínio no inter- valo [ ) ( ]2 ; 00 ; 2 pipi ∪− , ela possui inversa. Sua inversa é denominada função arco cossecante e é simbolizada por xarcy seccos = . Isto é: 166 Cálculo II xy secarccos= é o único ângulo em [ ) ( ]2 ; 00 ; 2 pipi ∪− tal que xys = seccos A função inversa da cossecante, simbolizada por xarc seccos , é definida como xarcy seccos = se e somente se yx seccos= para 1≥x e [ ) ( ]2 ; 00 ; 2 pipi ∪−∈y Veja a seguir o gráfico de xxf seccos)( = com o domínio restringido e o gráfico de xarcy seccos = . Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 167 8.4 Derivada e integral das funções trigonométricas inversas 8.4.1 Derivada da função inversa Seja f uma função diferenciável e que admite uma fun- ção inversa 1−= fg e se 0))((' ≠xgf , então 1−= fg é diferenciável e ))((' 1)(' xgf xg = ou [ ] ( ))(' 1)( 1 '1 xff xf − − = Demonstração: Sabemos que . Derivando os dois membros da igualdades, temos: Aplicando a regra da cadeia no primeiro membro, fica: Logo: 168 Cálculo II 8.4.2 Derivada e integral das funções trigonométricas inversas 8.4.2.1 Derivada da função usenarcy = Demonstração Capítulo 8 Funções Trigonométricas Inversas 169 Se u é uma função derivável de x , obtemos, pela regra da cadeia: Da mesma maneira que obtemos essa forma, podemos obter as fórmulas gerais de derivadas das outras funções tri- gonométricas inversas.
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