Teoria Dos Conjuntos

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15/10/2013
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Teoria dos Conjuntos
Aplicação:
• Conectivos.
• Diagramas lógicos.
• Validade de argumentos.
1.1. Introdução
���� Relacionam ELEMENTO com CONJUNTO.
Símbolos:
• ∈∈∈∈ : “pertence”.
• ∉∉∉∉ : “não pertence”.
Exemplos:
• 2 ∈∈∈∈ { 0, 1, 2 }.
• 4 ∉∉∉∉ { 0, 1, 2 }.
1.2. Relações de pertinência 1.3. Relações de inclusão
���� Relacionam CONJUNTO com CONJUNTO.
Alguns símbolos:
• ⊂⊂⊂⊂ : “está contido”.
• ⊂⊂⊂⊂ : “não está contido”.
• ⊃⊃⊃⊃ : “contém”.
• ⊃⊃⊃⊃ : “não contém”./
/
Exemplos:
• { 2, 5 } ⊂⊂⊂⊂ { 0, 1, 2, 5 }.
• { 2, 7 } ⊂⊂⊂⊂ { 0, 1, 2, 5 }.
• { 0, 1, 2, 5 } ⊃⊃⊃⊃ { 2, 5 }.
• { 0, 1, 2, 5 } ⊃⊃⊃⊃ { 2, 7 }./
/
1.4. Subconjuntos
���� A é subconjunto de B se TODO ELEMENTO de A é
também elemento de B.
Exemplos:
• { 2 } é subconjunto de { 1, 2, 3 }.
• ( 1, 3 } é subconjunto de { 1, 3, 5 }.
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1.5. Conjunto das partes de um
conjunto
���� Conjunto cujos elementos são todos
PARTES (subconjuntos) de A.
Símbolo: P(A).
Exemplo:
• A = { 1, 2, 3 }.
���� P(A) = { { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 },
{ 1, 2, 3 }, ∅∅∅∅ }.
Observações:
• O número de partes de A é 2n, onde n é o
número de elementos de A.
• No exemplo acima, n = 3 e P(A) tem 23 = 8
elementos.
• Por exemplo, para A = { 3, 7 }, temos:
P(A) = { { 3 }, { 7 }, { 3, 7 }, ∅∅∅∅ }.
Ou seja, 22 = 4 elementos.
1.6. Operações com conjuntos
1.6.1. União (∪∪∪∪)
���� Conjunto formado pela REUNIÃO dos elementos
de A e de B.
Notação: A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }.
Exemplo:
• A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 5, 8 }.
���� A ∪ B = { 1, 2, 3, 5, 8 }.
Representação gráfica:
A B
UUUU
Representação gráfica:
A B
UUUU
1.6.2. Interseção (∩∩∩∩)
���� Conjunto formado pelos elementos que são
COMUNS aos dois conjuntos.
Notação: A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }.
Exemplo:
• A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 5, 8 }.
���� A ∩ B = { 2 }.
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Representação gráfica:
A B
UUUU
Representação gráfica:
A B
UUUU
1.6.3. Diferença (–)
���� Conjunto formado pelos elementos de A que
NÃO PERTENCEM a B.
Notação: A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B }.
Exemplo:
• A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 5, 8 }.
���� A – B = { 1, 2, 3 } – { 2, 5, 8 } = { 1, 3 }.
Representação gráfica:
A B
UUUU
Representação gráfica:
A B
UUUU
1.6.4. Complementar (Ā ou A’)
���� Conjunto formado pelos elementos do conjunto
UNIVERSO (U) que NÃO PERTENCEM a A.
Notação: Ā = { x / x ∈ U e x ∉ A }.
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Representação gráfica:
UUUU
A
Representação gráfica:
A
UUUU
1.6.5. Diferença simétrica (∆)
Notação: A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B).
Exemplo:
• A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 5, 8 }.
���� A ∆ B = { 1, 2, 3, 5, 8 } – { 2 } = { 1, 3, 5, 8 }.
Representação gráfica:
A B
UUUU
Representação gráfica:
A B
UUUU
1.6.6. Fórmula da união
���� Número de elementos.
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
• n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) –
– n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
Exemplo:
• A = { 2, 5, 6, 9, 10, 14, 18 } e B = { 1, 5, 8, 14 }.
���� A ∩ B = { 5, 14 }.
���� n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 7 + 4 – 2 = 9.
Verificando: A ∪ B = { 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 14, 18 },
ou seja, 9 elementos!