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APOSTILA 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 
 
- UTFPR - 
 
 
 
 
 
 
 
Professores: Lauro César Galvão 
Luiz Fernando Nunes 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) ii
Índice 
1 Integrais Impróprias ............................................................................ 1-1 
1.1 Limites infinitos de integração ............................................................ 1-3 
1.1.1 Testes de Comparação .......................................................................... 1-6 
1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas ......................................... 1-8 
1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias ..................................... 1-14 
1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência ................................. 1-14 
1.3.2 Aplicações em estatística .................................................................... 1-15 
1.3.3 Aplicações em transformadas integrais ............................................... 1-15 
1.3.4 Função Gama e Função Fatorial ......................................................... 1-16 
1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia ..................................... 1-16 
1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE ...... 1-17 
1.5 Exercícios Propostos ......................................................................... 1-17 
2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-1 
2.1 Como as abelhas se comunicam? ......................................................... 2-1 
2.2 Coordenadas Polares ........................................................................... 2-3 
2.2.1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares ............................... 2-4 
2.2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes................................................... 2-5 
2.2.3 Constante ............................................................................................. 2-5 
2.2.4 Caso Geral da Cardióide ....................................................................... 2-6 
2.2.5 Caso Geral do Caracol .......................................................................... 2-6 
2.2.6 Caso Geral da Rosácea ......................................................................... 2-7 
2.3 Gráficos diversos em coordenadas polares ........................................... 2-9 
2.3.1 Equação do pólo (origem) .................................................................... 2-9 
2.3.2 Equação que passa pela origem ............................................................ 2-9 
2.3.3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar .................................. 2-10 
2.3.4 Algumas circunferências .................................................................... 2-10 
2.3.5 Limaçons ........................................................................................... 2-11 
2.3.6 Cardióides .......................................................................................... 2-12 
2.3.7 Lemniscata de Bernoulli ..................................................................... 2-12 
2.3.8 Espiral de Arquimedes ....................................................................... 2-12 
2.3.9 Rosáceas ............................................................................................ 2-13 
2.4 Áreas em Coordenadas Polares .......................................................... 2-14 
2.4.1 Área de um Setor Circular .................................................................. 2-14 
2.4.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) .......................................... 2-14 
2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto ................... 2-20 
2.5.1 Volume em Coordenadas Polares ....................................................... 2-20 
2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada ....................................................... 2-22 
2.6 Diferencial do Comprimento de Arco ................................................ 2-22 
2.6.1 Comprimento de Arco ........................................................................ 2-23 
2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução ...................................... 2-24 
2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana ......................................................... 2-24 
2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar .............. 2-26 
2.8 Exercícios ......................................................................................... 2-28 
3 Integrais Eulerianas ............................................................................. 3-1 
3.1 Leonhard Euler.................................................................................... 3-1 
3.2 Função Gama (\uf047) ................................................................................ 3-2 
3.2.1 Fórmula de Recorrência ....................................................................... 3-2 
3.2.2 Função Gama para 10 \uf03c\uf03c n ............................................................... 3-3 
3.2.3 Função Gama para 0\uf03cn ..................................................................... 3-3 
3.2.4 Gráfico da Função Gama ...................................................................... 3-4 
 Cálculo II \u2013 (Lauro / Nunes) iii
3.3 Função Beta (\uf062)................................................................................... 3-5 
3.3.1 Definições Decorrentes ........................................................................ 3-6 
3.4 Exercícios ........................................................................................... 3-7 
4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais ................... 4-1 
4.1 O Espaço Vetorial \uf0c2 n ......................................................................... 4-1 
4.2 Produto Interno em \uf0c2 n ........................................................................ 4-2 
4.3 Norma de x \uf0ce\uf0c2 n ou Comprimento do Vetor x \uf0ce\uf0c2 n ........................... 4-2 
4.3.1 Propriedades da Norma Euclideana \uf028 \uf029xxx ,|| \uf03d ........................... 4-2 
4.4 Distância em \uf0c2 n ................................................................................. 4-3 
4.4.1 Propriedades das Distâncias em \uf0c2 n ...................................................... 4-3 
4.5 Bolas e Conjuntos Limitados ............................................................... 4-4 
4.5.1 Definição: Segmento de Reta ............................................................... 4-5 
4.5.2 Definição: Conjunto Convexo .............................................................. 4-5 
4.5.3 Definição: Ponto de Acumulação ......................................................... 4-5 
4.5.4 Definição: Conjunto Limitado .............................................................. 4-5 
4.5.5 Definição: Ponto Interior ...................................................................... 4-5 
4.5.6 Definição: Ponto Exterior ..................................................................... 4-5 
4.5.7 Definição: Ponto Fronteira ................................................................... 4-5 
4.5.8 Definição: Conjunto Aberto ................................................................. 4-6 
4.5.9 Definição: Conjunto Fechado ............................................................... 4-6 
4.5.10 Definição: Conjunto Conexo ................................................................ 4-6 
4.5.11 Definição: Região Aberta ..................................................................... 4-7 
4.5.12 Definição: Região Fechada ................................................................... 4-7 
4.6 Exercícios ........................................................................................... 4-8 
5 Funções em Espaços n-Dimensionais .................................................. 5-1 
5.1 Introdução ...........................................................................................