Cálculo 3 UFPE - PROVA 2A UNIDADE - 2013.1 (RESOLVIDA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2013
7 Agosto de 2013
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: Calcule
∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS, sendo S a parte de uma superf´ıcie parametrizada por (2,5 pts)
r(u, v) = u cos v~i+ u sen v~j+ v ~k, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ pi.
Resoluc¸a˜o: Uma vez que ~r(u, v) e´ uma parametrizac¸a˜o de S, temos que∫∫
S
f dS =
∫∫
Dom(~r)
f(r(u, v)) · ‖~ru × ~rv‖ dudv,
onde f(x, y, z) =
√
1 + x2 + y2. Como ~ru = cos v~i + sen v~j e ~rv = −u sen v~i +
u cos v~j+ ~k, obtemos
~ru × ~rv = sen v~i− cos v~j+ u~k,
e portanto
‖~ru × ~rv‖ =
√
(sen v)2 + (− cos v)2 + u2 =
√
1 + u2.
Da´ı,∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS =
1∫
0
pi∫
0
√
1 + (u cos v)2 + (u sen v)2 ·
√
1 + u2 dv du
= pi ·
1∫
0
(1 + u2) du.
Assim, ∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS =
4pi
3
.
2a Questa˜o: Considere o campo vetorial em R3 − {(0, 0, 0)} definido por
~F(x, y, z) =
(
x√
(x2 + y2 + z2)3
,
y√
(x2 + y2 + z2)3
,
z√
(x2 + y2 + z2)3
)
.
a) Calcule o divergente do campo ~F. (1,0 pts)
b) Calcule diretamente o fluxo de ~F atrave´s da esfera x2+ y2+ z2 = 1, em relac¸a˜o
ao campo normal que aponta para fora da esfera. (1,5 pts)
c) Explique porque na˜o e´ correto usar o Teorema da Divergeˆncia para efetuar o
ca´lculo acima. (0,5pts)
d) Calcule o fluxo de ~F atrave´s do elipsoide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36, em relac¸a˜o ao
campo normal que aponta para fora do elipsoide. (1,0 pts)
Sugesta˜o: Aplique o Teorema da Divergeˆncia a regia˜o do espac¸o limitada pelas
superf´ıcies do elipsoide e da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Resoluc¸a˜o:
a) Chamando ~F = (F1, F2, F3), temos por definic¸a˜o, div(~F ) =
∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Assim,
div(~F ) =
[
x
(x2 + y2 + z2)3/2
]
x
+
[
y
(x2 + y2 + z2)3/2
]
y
+
[
z
(x2 + y2 + z2)3/2
]
z
,
que apo´s ca´lculos chegamos a
div(~F ) =
(−2x2 + y2 + z2) + (x2 − 2y2 + z2) + (x2 + y2 − 2z2)
(x2 + y2 + z2)5/2
= 0.
b) Notando que ~n(x, y, z) = (x, y, z) e´ um campo normal unita´rio que aponta para
fora da esfera S, temos que o fluxo de ~F em S e´∫∫
S
~F · ~dS =
∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫
S
x2 + y2 + z2
(x2 + y2 + z2)3/2
dS.
Como x2 + y2 + z2 = 1 em S, segue que∫∫
S
~F · ~dS =
∫∫
S
dS = A´rea(S) = 4pi.
c) O Teorema da Divergeˆncia so´ pode ser aplicado para campos vetoriais cu-
jas func¸o˜es componentes tenham derivadas parciais cont´ınuas no dom´ınio que
conte´m a regia˜o simples delimitada pela superf´ıcie S. Pore´m, qualquer aberto
que contenha a regia˜o limitada pela esfera dada, contera´, em particular, a ori-
gem (0, 0, 0), onde o campo na˜o esta´ definido.
d) Denote por Σ o elipsoide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36, e seja E a regia˜o do espac¸o
delimitada pela esfera S e Σ. Assim, a fronteira de E e´ formada pela unia˜o S∪Σ.
Como a orientac¸a˜o positiva e´ dada pela normal unita´ria que aponta para fora de
E, temos que esta normal, por um lado, aponta para o exterior de Σ, e por outro
lado, aponta para o interior de S (veja a figura). Logo, o campo normal unita´rio
positivo de E restrito a S e´ o campo −~n. Assim, pelo Teorema de Gauss
0 =
∫∫∫
E
div(~F ) dV =
∫∫
S∪Σ
~F · ~d(∂E) =
∫∫
S
~F · ~dS +
∫∫
Σ
~F · ~dΣ.
Portanto, ∫∫
Σ
~F · ~dΣ = −
∫∫
S
~F · ~dS = −
∫∫
S
~F · (−~n) dS,
de onde conclu´ımos pelo item b que∫∫
Σ
~F · ~dΣ = 4pi.
3a Questa˜o: Seja C a curva intersecc¸a˜o do cilindro de equac¸a˜o x2 + y2 = 1 com o paraboloide
hiperbo´lico z = 2xy.
a) Parametrize C positivamente. (0,5 pts)
b) Calcule o rotacional do campo ~F(x, y, z) = (y + sen x)~i+ (z2 + cos y)~j+ x3~k. (1,0 pts)
c) Calcule
∫
C
(y + senx)dx+ (z2 + cos y)dy + x3dz. (2,0 pts)
Resoluc¸a˜o:
a) Como x e y satisfazem x2+ y2 = 1, podemos tomar a parametrizac¸a˜o x = cos t
e y = sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, e consequentemente teremos z = 2 sen t cos t. Ou
seja, uma parametrizac¸a˜o para C e´
α(t) = (cos t, sen t, sen 2t), t ∈ [0, 2pi].
b)
rot(~F ) =
 ~i ~j ~k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y + sen x z2 + cos y x3
 = 2z~i− 3x2~j− ~k
c) Pelo Teorema de Stokes∫
C
(y + sen x)dx+ (z2 + cos y)dy + x3dz =
∫
C
~F · ~dα =
∫∫
S
rot(~F ) · ~dS,
onde S e´ qualquer superf´ıcie que tem C como fronteira. Em particular podemos
tomar S como a parte do paraboloide hiperbo´lico que se encontra dentro do
cilindro. S tem parametrizac¸a˜o
~r(x, y) = (x, y, 2xy) x2 + y2 ≤ 1.
Assim, ∫∫
S
rot(~F ) · ~dS =
∫∫
Dom(~r)
rot(~F ) · (~rx × ~ry) dxdy
=
∫∫
x2+y2≤1
∣∣∣∣∣∣
2z −3x2 −1
1 0 2y
0 1 2x
∣∣∣∣∣∣ dxdy
=
∫∫
x2+y2≤1
(−8xy2 + 6x3 − 1) dxdy
Usando coordenadas polares chegamos em∫∫
S
rot(~F ) · ~dS =
2pi∫
0
1∫
0
(−8ρ3 cos θ sen2 θ + 6ρ3 cos3 θ − 1)ρ dρ dθ
=
1∫
0
ρ4
 2pi∫
0
(−8 cos θ sen2 θ + 6 cos3 θ)dθ
 dρ− 1∫
0
2pi∫
0
ρ dρ dθ
A primeira integral da´ zero e a segunda e´ a a´rea do c´ırculo de raio 1. Assim,∫
C
(y + sen x)dx+ (z2 + cos y)dy + x3dz = −pi.