Vetores
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Vetores


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UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
 
INTRODUÇÃO DE VETORES 
Vetores: Os vetores podem ser representados geometricamente como 
segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaços bi e tridimensionais. A 
direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o 
comprimento da flecha descreve sua magnitude. A cauda da flecha é chamada de 
ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é o ponto final. Simbolicamente, denotamos 
vetores por letras minúsculas (Ex.: a, k, v, w). Quando tratarmos de vetores, 
chamamos os números de escalares. 
Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B, então escrevemos: 
v = 
 
 
 
Obs.: Vetores com o mesmo comprimento, direção e sentido, como na figura acima, são ditos 
equivalentes. 
Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o vetor 
v + w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal maneira que seu 
ponto inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor v + w é representado pela 
flechado ponto inicial de v ao ponto final de w. 
 
 
 
O vetor de comprimento zero é chamado vetor nulo ou vetor zero e denotado 
por 0. Definimos: 
 0 + v = v + 0 = v 
Se v é um vetor não-nulo qualquer, então - v, o negativo de v, é definido como 
o vetor da mesma magnitude e direção de v mas, sentido oposto. 
v + (- v) = 0 
 B 
 
 A 
 w 
 v v + w 
 
 w 
 v v + w 
 w + v v 
 
 w 
 
 v 
 - v 
 
 
 
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DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Definição: Se v é um vetor não-nulo e K é um numero real (escalar) não-nulo, 
então o produto kV é definido como o vetor de mesma direção de v cujo comprimento 
é |k| vezes o comprimento de v e cujo sentido é o mesmo de v se k > 0 e oposto ao de 
v se k < 0. Nós definimos kV = 0 se k = 0 ou seja se v = 0. 
Um vetor da kV é chamado múltiplo escalar de v. 
 
 
Vetores em sistema cartesiano: Seja v qualquer vetor no espaço 
bidimensional e suponha que v tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem 
de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas (v1, v2) do ponto final de 
v são chamadas componentes de v e escrevemos v = (v1, v2). 
 
 
 
Se vetores equivalentes v e w são colocados com seus pontos iniciais na 
origem, então é óbvio que seus pontos finais coincidem (pois os vetores têm o mesmo 
comprimento, direção e sentido); logo os vetores possuem os mesmos componentes. 
Reciprocamente, vetores com os mesmos componentes são equivalentes pois têm o 
mesmo comprimento, direção e sentido. Em resumo dois vetores 
v = (v1, v2) e w = (w1, w2) 
São equivalentes se e somente se v1 = w1 e v2 = w2. 
As operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar são facilmente 
executáveis em termos de componentes. 
v = (v1, v2) e w = (w1, w2) 
v + w = (v1 + w1, v2 + w2) 
 
 
 
v 2v 1/2v (-2)v 
 y 
 v = (v1, v2) 
 
 v 
 
 x 
 y 
 v2 (v1 + w1, v2 + w2) 
 w + v 
 w 
 w2 
 
 
 v 
 x 
 v1 w1 
 
 
 
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Se v = (v1, v2) e k é um escalar qualquer então pode ser mostrado, usando um 
argumento geométrico envolvendo triângulos semelhantes, que 
kv = (kv1, kv2) 
Assim, por exemplo, se v = (1, -2) e w = (7, 6) então 
v + w = (1, -2) + (7, 6) = (1 + 7, -2 + 6) = (8, 4) 
4v = 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4, -8) 
 
 
 
 
Como v \u2013 w = v + (-w), então v \u2013 w = (v1 \u2013 w1, v2 \u2013 w2) 
Vetores no espaço tridimensional: Assim como os vetores no plano podem 
ser descritos por pares de números reais, os vetores no espaço podem ser descritos 
por ternos de números reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para 
construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto 0, denominado a 
origem e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, 
denominadas eixos coordenados. Designe estes eixos x, y e z e selecione um sentido 
positivo para cada eixo coordenado, bem como uma unidade de comprimento para 
medir tamanhos. Cada par de eixos coordenados determina um plano chamado plono 
coordenado. Referimo-nos aos planos coordenados como os planos xy, xz, e yz. A cada 
ponto P no espaço tridimencional associamos um terno (x, y, z) de números, chamados 
de coordenadas de P, como segue: passe três planos por P paralelos aos planos 
coordenados e denote os pontos de intersecção destes planos com três eixos 
coordenados por X, Y e Z. 
 
 
 
 
As coordenadas e P são definidas pelos comprimentos orientados. 
 y 
 
 
 kv 
 
v 
 
 x 
 z 
 
y 
 x 
 z 
 
 P 
 (x, y, z) 
 y 
 
 x 
 
 
 
 
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Exemplo: Construa os pontos cujas as coordenadas são (4, 5, 6) e (-3, 2, -4). 
 
 
 
 
Obs.: Se um vetor v nos espaço tridimencional for posicionado com seu ponto 
inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, então as coordenadas 
do ponto final são chamadas os componentes de v e escrevemos v = (v1, v2, v3). 
 
 
 
 
Exemplo: Operando com os vetores usando suas componentes. Se v = (1, -3, 
2) e w = (4, 2, 1) então v + w, 2v e \u2013w é? 
 
 
 
 
Às vezes um vetor não esta posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o 
vetor tem o ponto inicial em ( e o ponto final em ( , 
então: 
 = ( 
Ou seja, os componentes do vetor são obtidos subtraindo as 
coordenadas do ponto inicial com as coordenadas do ponto final. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 Z 
 X 
 Z 
 (v1, v2, v3) 
 
 Y 
x 
 
 
 
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Exemplo: Os componentes do vetor v = com ponto inicial (2, -1, 4) e 
final (7, 5, -8) são: 
 
 
 
No espaço bidimensional o vetor com ponto inicial ( e ponto final 
 ( é 
 = ( 
Norma de um vetor: Aritmética Vetorial 
Propriedades das Operações Vetoriais: O seguinte teorema enumera as mais 
importantes propriedades de vetores no espaço bi e tridimencionais. 
Se u, v e w são vetores de um espaço bi ou tridimensional e k e l são 
escalares, então valem as seguintes relações. 
a) u + v = v + u 
b) (u + v) + w = u + (v + w) 
c) u + 0 = 0 + u = u 
d) u + (-u) = 0 
e) k(lu) = (kl)u 
f) l(u + v) = lu + lv 
g) (k + l)v = kv + lv 
h) 1u = u 
Prova da parte analítica b) (u + v) + w = u + (v + w) 
 
 
 
Prova da parte geométrica b) (u + v) + w = u + (v + w) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Norma de um vetor: O comprimento de um vetor
Sweet
Sweet fez um comentário
Alguem pode me informar se tem essa mesma apostila só que resolvida?
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