Polinômio de Lagrange, Spline Linear e Splines Cúbicas

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Universidade Federal do Maranhão - UFMA 
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Camila Ferreira dos Santos 
Mariana Andressa Luna Pinheiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Dr Kênio 
Cálculo Numérico 
Segundo Trabalho Prático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís - MA 
2016 
2 
 
 
RESUMO 
 
Neste trabalho buscou-se confirmar o fenômeno de Runge na função 𝑓(𝑥) = 
1
1 + 25 𝑥2
 mostrando 
graficamente a divergência nos extremos da aproximação por polinômio de Lagrange. Aplicou-
se o método de splines tanto linear quanto cúbica para diferentes quantidades de partições do 
intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução………………………………………………………………………………….......4 
2. Referencial Teórico……………………………………………………………………….........5 
 2.1 Polinômio de Lagrange………………………………………………………………..5 
2.2 Spline Linear………………………………………………………………………......5 
2.3 Splines Cúbicas………………………………………………………………………..5 
3. Algoritmos………………………………………………………………………………….......5 
 3.1 Algoritmo para polinômio de Langrange………………………………………...……5 
 3.2 Algoritmo para Spline Linear…………………………………………………………8 
 3.3 Algoritmo para Spline Cúbica…………………………………………………….…10 
 3.4 Função Erro………………………………………………………………………..…17 
4. Resultados e discussões…………………………………………………………………….....17 
 4.1 Para k = 5………………………………………………………………………….…18 
 4.1.1 Lagrange…………………………………………………………………...18 
 4.1.2 Spline Linear………………………………………………………….……19 
 4.1.3 Spline Cúbica………………………………………………………………20 
 4.2 Para k = 10……………………………………………………………………...……21 
 4.2.1 Lagrange…………………………………………………………..……….21 
 4.2.2 Spline Linear……………………………………………………………….22 
 4.2.3 Spline Cúbica……………………………………………………………....23 
4.3 Para k = 20…………………………………………………………………..……….24 
 4.3.1 Lagrange…………………………………………………………………...24 
 4.3.2 Spline Linear……………………………………………………….………25 
 4.3.3 Spline Cúbica………………………………………………………..……..26 
5. Conclusão……………………………………………………………………………...……...27 
6. Bibliografia…………………………………………………………………………...……....27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. Introdução 
 Ao estudar erros de interpolação por funções polinomiais, Carle D. T. Runge propôs a 
seguinte função 
𝑓(𝑥) = 
1
1 + 25 𝑥2
, 𝑥 ∈ [−1, 1] 
verificando que uma sequência de polinômios interpolantes obtida a partir de pontos de 
interpolação igualmente espaçados não converge quando 𝑥está nos extremos de seu intervalo, 
mais precisamente quando 𝑥 ∈ (−1, −0.727) ⋃(0.727, 1) 
 De fato, é possível demonstrar que 
 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
𝑚𝑎𝑥|𝑓(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑥)| = +∞ para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
Já que, supondo 𝑓 uma função contínua e 𝑛 vezes diferenciável no intervalo (𝑎, 𝑏), no qual estão 
contidos os pontos 𝑥𝑖, com 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 e seja 𝑝 o polinômio de grau 𝑛 − 1 que interpola a 
função nestes pontos, então existe 𝜁(𝑥) ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 
𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) = 
1
𝑛!
𝑓(𝑛)(𝜁) ∏(𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖 = 1
 
o comportamento irregular é proveniente do produtório, que apresenta valores flutuantes quando 
𝑥 está próximo à fronteira do intervalo (−1, 1), aumentando à medida que se amplia a 
quantidade de pontos, caso estes sejam igualmente espaçados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. Referencial Teórico 
 
2.1 Polinômio de Lagrange 
No que diz respeito à interpolação de funções com polinômios, o polinômio de Lagrange 
é amplamente empregado. Estes polinômios fazem ajuste de um conjunto tabelado de pontos da 
seguinte maneira 
𝑝(𝑥) = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖 = 1
∏
(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗 = 1 𝑗 ≠ 𝑖
 
onde 𝑦𝑖 é o valor da função em 𝑥𝑖. 
Este tipo de interpolação, que não requer nenhum cálculo preliminar para os coeficientes, 
e que pode ser implementado facilmente em programas de computador é bastante útil e eficiente. 
Entretanto, quando ocorre o fenômeno de Runge, a aproximação por este método se mostra 
precária nos extremos, sendo necessário recorrer a outras técnicas de aproximação. 
 
2.2 Spline Linear 
 
Interpolação de pontos por métodos como de Newton ou Lagrange fornecem polinômios 
com grau 𝑛 − 1 quando são fornecidos 𝑛 pontos. E aproximam bem quando 𝑛 é pequeno, e 
assim, a ordem do polinômio interpolador é baixa. No entanto, quando 𝑛 aumenta, é mais preciso 
aproximar a função por diversos polinômios de grau baixo que por um polinômio de grau alto. 
Esta é a ideia geral das funções spline, ou interpolação por partes. A função spline linear 
aproxima a função por diversas retas: a cada dois pontos tabelados há uma reta que os liga. 
Assim, para diversos pontos a aproximação é razoável. 
 
2.3 Splines Cúbicas 
 
 Seguindo o mesmo princípio da spline linear, a versão cúbica liga três pontos por uma 
função de terceiro grau. Por ser um conjunto de funções de grau mais elevado, as exigências são 
também mais rigorosas. É exigido que as derivadas de até segunda ordem sejam contínuas, para 
que formem uma curva suave. 
 Para maior simplicidade, pode-se adotar a aproximação nos pontos extremos por funções 
lineares, assim, suas segundas derivadas são nulas e o sistema a ser resolvido é de ordem 𝑛 − 2. 
Este caso é chamado spline natural. 
 
3. Algoritmos 
 
3.1 Algoritmo para o polinômio de Lagrange 
 
Inicialmente pedimos que o usuário insira o grau do polinômio a ser estudado ( nesse 
trabalho foram utilizados 5, 10 e 20) e calculamos os valores de x, x é o ponto nos intervalos 
6 
 
dados (n = m+1), os valores de alpha, alpha é a segmentção no intervalo dado na questão (m=51) 
e os valores de f(x). Em seguida com os conceitos mostrados anteriormente de Polinômio de 
Lagrange, calculamos a função polinomial e encontramos o erro máximo entre os pontos com 
relação a função dada. 
 
fprintf('Fenomeno de Runge \n') 
 
fprintf('Considere a funçao f(x) = 1/( 1 + 25x^2) e o intervalo[a,b] = [-5,5], igualmente 
espaçados.\n') 
 
k = input('Informe o grau do polinomio a ser estudado: '); 
 
n = k + 1; 
 
x = zeros(1,n); 
 
aux = 0; 
 
 % Segmentaçao dos valores de x de acordo com o grau do poliniomio informado. 
 
for i = 1:1:n 
 
x(i) = -5 + (10*aux)/k; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 
 %Avaliação dos valores da função f(x) no intervalo x. 
 
f = (1)./( 1 + 25*x.^2); 
 
 %Utilização do polinômio de Lagrange. 
 
L = zeros(n,n); % A matriz L armazena os valores da forma de Lagrange 
 
for i=1: 1: n 
 
v = 1; 
 
for j=1 :1 :n 
 
if i ~= j 
 
v = conv(v,poly(x(j)))/(x(i) - x(j)); 
 
7 
 
end 
 
end 
 
L(i,:) = v; 
 
end 
 
 %Cálculo dos coficientes do polinomio de grau (n-1) 
 
 %O vetor C é o vetor de coeficientes do polinomio de lagrange 
 
C = f*L; 
 
 %Segementação do intervalo 
 
alpha = zeros(1,51); 
 
aux = 0; 
 
for i=1:1:51 
 
alpha(i) = -5 + 0.2*aux; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 
 %Avaliação dos valores da função no intervalo alpha. 
 
q = (1)./(1 + 25*alpha.^2); 
 
 %Avaliação dos valores do polinômio no intervalo alpha. 
 
p = polyval(C,alpha); 
 
 
 
fprintf('Os valores de x utilizados na interpolação é: \n'); 
 
disp(x); 
 
fprintf('E os valores da função utilizados: \n'); 
 
disp(f); 
 
8 
 
fprintf('Os coeficientes do polinomio de Lagrange interpoladoré: \n'); 
 
disp(C); 
 
 %Chamada da funçao erro. 
 
[w,i] = funcaoerro(q,p); 
 
fprintf('O maior erro cometido é de aproximadamente: %.4f \n',w); 
 
 %Plotagem dos pontos da função, do polinômio interpolador e do ponto onde o erro é máximo. 
 
plot(alpha,q,'b:p',alpha,p,'r:p',alpha(i),p(i),'mO'); 
 
3.2 Algoritmo para a Spline Linear 
 
 Aqui, semelhante ao caso anterior calculamos inicialmente o alpha (m = 51), os pontos x 
e os valores de f(x). Em seguida utilizamos os conceitos aprendidos no tópico anterior para 
Spline Linear e encontrar os coeficientes do polinômio. 
 
% Spline Linear 
 
fprintf('Considere a funçao f(x) = 1/( 1 + 25x^2) e o intervalo[a,b] = [-5,5], igualmente 
espaçados.\n') 
 
k = input('Informe o grau do polinomio a ser estudado: '); 
 
n = k + 1; 
 
x = zeros(1,n); 
 
aux = 0; 
 
 % Segmentaçao dos valores de x de acordo com o grau do poliniomio informado. 
 
for i = 1:1:n 
 
x(i) = -5 + (10*aux)/k; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 
alpha = zeros(1,51); 
 
9 
 
aux = 0; 
 
for i=1:1:51 
 
alpha(i) = -5 + 0.2*aux; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 
 %O vetor x sao os valores do intervalo 
 
 %O vetor y sao os valores da funçao tabela 
 
 %Alpha é o valor, ou conjunto de valores, a serem interpolados 
 y = (1)./( 1 + 25*x.^2); 
 
n = length(x); 
 
L = zeros(2,n-1); %Matriz dos coeficientes das (n-1) splines 
 
for i=1:1:n-1 
 
L(1,i) = ( ( y(i+1) - y(i) ) / ( x(i+1) - x(i))); 
 
L(2,i) = ( ( y(i)*x(i+1) - y(i+1)*x(i)) / ( x(i+1) - x(i))); 
 
end 
 
 
 % Interpolação do valor a ser fornecido 
 
m = length(alpha); 
 
Beta = zeros(1,51); 
 
for i=2:1:n 
 
for j=1:1:51 
 
if ( alpha(j) >= x(i-1) ) 
 
if (alpha(j) <= x(i)) 
 
Beta(j) = L(1,i-1)*alpha(j) + L(2,i-1); 
 
10 
 
end 
 
end 
 
end 
 
end 
 
 %Avaliação dos valores da função no intervalo alpha. 
 
q = (1)./(1 + 25*alpha.^2); 
 
 %Avaliação dos valores do polinômio no intervalo alpha. 
 
fprintf('Os valores de x utilizados na interpolação é: \n'); 
 
disp(x); 
 
fprintf('E os valores da função utilizados: \n'); 
 
disp(y); 
 
fprintf('Os coeficientes do polinomio de L spline é: \n'); 
 
disp(Beta); 
 
 %Chamada da funçao erro. 
 
[w,i] = funcaoerro(q,Beta); 
 
fprintf('O maior erro cometido é de aproximadamente: %.4f \n',w); 
 
 %Plotagem dos pontos da função, do polinômio interpolador e do ponto onde o erro é máximo. 
 
plot(alpha,q,'b:p',alpha,Beta,'r:p',alpha(i),Beta(j),'mO'); 
 
3.3 Algoritmo para a Spline Cúbica 
 
Inicialmente foi obtido o alpha, o x e o f(x) semelhante aos algorítmos anteriores. Para 
resolver as matrizes da spline cúbica foi utilizado o Algorítmo de Thomas (ou Algoritmo de 
matriz tridiagonal), um método algébrico que consiste numa simplificação da Eliminação 
Gaussiana para resolução de sistemas de equações tridiagonais. Finalizando com o cálculo do 
erro e a plotagem dos pontos. 
 
% Spline cúbica 
11 
 
 
fprintf('Considere a funçao f(x) = 1/( 1 + 25x^2) e o intervalo[a,b] = [-5,5], igualmente 
espaçados.\n') 
 
k = input('Informe o grau do polinomio a ser estudado: '); 
 
n = k + 1; 
 
x = zeros(1,n); 
 
aux = 0; 
 
 % Segmentaçao dos valores de x de acordo com o grau do poliniomio informado. 
 
for i = 1:1:n 
 
x(i) = -5 + (10*aux)/k; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 
 
alpha = zeros(1,51); 
 
aux = 0; 
 
for i=1:1:51 
 
alpha(i) = -5 + 0.2*aux; 
 
aux = aux +1; 
 
end 
 y = (1)./( 1 + 25*x.^2); 
 
%function Beta = Spline_Cubica(x,y,alpha) 
 
 % Os parametros da função Spline Cúbica são: 
 
 % Vetor x e y dos valores 
 
 %Valor/ ou conjunto de valores alpha apara serem aproximados 
 
 %Beta é a matriz de valores a ser retornado 
 
12 
 
n = length(x); 
 
 %Determinação do vetor de espaçamento h 
 
h = zeros(1,n-1); 
 
for i=1:1:n-1 
 
h(i) = x(i+1)-x(i); 
 
end 
 
 %Determinação da matriz A dos coeficientes 
 
L = zeros(n-2,n-2); 
 
for i=1:1:n-2 
 
for j=1:1:n-2 
 
if ( i == j) 
 
L(i,i) = 2*( h(i) + h(i+1)); 
 
elseif ( i > j) 
 
L(i,i-1) = h(i); 
 
else 
 
L(i,i+1) = h(i+1); 
 
end 
 
end 
 
end 
 
 %Determinaçao da matriz de valores b 
 
d = zeros(n-2,1); 
 
for i=1:1:n-2 
 
phi = ( y(i+2) - y(i+1))/h(i+1); 
 
13 
 
gama = ( y(i+1) - y(i))/h(i); 
 
d(i) = 6*( phi - gama); 
 
end 
 
 %Algoritmo de matriz tridiagonal 
 
 %Separação das três diagonais principais em três vetores colunas. 
 
a = zeros(n-2,1); 
 
for i=2:1:n-2 
 
a(i) = L(i,i-1); 
 
end 
 
b = zeros(n-2,1); 
 
for i=1:1:n-2 
 
b(i) = L(i,i); 
 
end 
 
c = zeros(n-2,1); 
 
for i=1:1:n-3 
 
c(i) = L(i,i+1); 
 
end 
 
 
 
 %Eliminaçao da matriz 
 
for i=1:1:n-2 
 
if (i==1) 
 
c(i) = c(i)/b(i); 
 
d(i) = d(i)/b(i); 
 
14 
 
 
 
else 
 
zeta = b(i) - c(i-1)*a(i); 
 
c(i) = c(i)/zeta; 
 
d(i) = ( d(i) - d(i-1)*a(i))/zeta; 
 
end 
 
end 
 
 
 
 %Retro- Substituição 
 
u = zeros(n-2,1); 
 
u(n-2) = d(n-2); 
 
for i=(n-3) : -1 :1 
 
u(i) = d(i) - c(i)*u(i+1); 
 
end 
 
% Passagem dos valores da soluçao para um vetor com n colunas(ao invés de 
% n-2), pois os coeficientes dos extremos são nulos 
 
g = zeros(n,1); 
 
for i=1:1:n 
 
if i==1 
 
g(i) = 0; 
 
elseif i == n 
 
g(i) = 0; 
 
else 
 
g(i) = u(i-1); 
15 
 
 
end 
 
end 
 
 %Considerando uma funçao cúbica da forma: f(x) = (k(1))*x^3 + (k(2))*x^2 + 
%(k(3))*x + k(4) 
 
k = zeros(4,n-1); 
 
 
 
for i=1:1:n-1 
 
k(1,i) = ( g(i+1) - g(i))/(6*h(i)); 
 
k(2,i) = g(i+1)/2; 
 
 
 
phi =(y(i+1) - y(i))/h(i); 
 
gama = (h(i)*(2*g(i+1) + g(i)))/6; 
 
 
 
k(3,i) = phi + gama; 
 
k(4,i) = y(i+1); 
 
 
 
end 
 
%Aproximação dos valores pela Spline Cúbica 
 
%Aplha é o valor a ser aproximado 
 
 
 
m = length(alpha); %Uma boa ídeia :) (51) 
 
Beta = zeros(1,m); 
 
 
 
16 
 
for i=2:1:n 
 
for j=1 :1:m 
 
if alpha(j) >= x(i-1) 
 
if alpha(j) <= x(i) 
 
Beta(1,j) = k(1,i-1)*(alpha(j)-x(i)).^3 + k(2,i-1)*(alpha(j)-x(i)).^2 + k(3,i-1)*(alpha(j)-x(i)) + 
k(4,i-1); 
 
end 
 
end 
 
end 
 
end 
 
%Avaliação dos valores da função no intervalo alpha. 
 
q = (1)./(1 + 25*alpha.^2); 
 
 %Avaliação dos valores do polinômio no intervalo alpha. 
 
fprintf('Os valores de x utilizados na interpolação é: \n'); 
 
disp(x); 
 
fprintf('E os valores da função utilizados: \n'); 
 
disp(y); 
 
fprintf('Os coeficientes do polinomio de L spline é: \n'); 
 
disp(Beta); 
 
 %Chamada da funçao erro. 
 
[w,i] = funcaoerro(q,Beta); 
 
fprintf('O maior erro cometido é de aproximadamente: %.4f \n',w); 
 
 %Plotagem dos pontos da função, do polinômio interpolador e do ponto onde o erro é máximo. 
 
plot(alpha,q,'b:p',alpha,Beta,'r:p',alpha(i),Beta(j),'mO'); 
17 
 
 
3.4 Função erro 
 
 Aqui o algoritmo mostrado abaixo foi utilizado nostrês casos anteriores para encontrar o 
erro máximo entre a função polinomial e a função dada. 
 
function [delta,I] = Erro(q,p) 
 
 % O vetor q contem os valores da função. 
 
 %O vetor p contem os valores do polinômio. 
 
 %M é a quantidade de dados a serem comparados. 
 
m = length(q); 
 
delta = 0; 
 
for i=1:1:m 
 
aux = abs(q(i) - p(i)); 
 
if aux > delta 
 
delta = aux; 
 
I = i; 
 
end 
 
end 
 
 end 
 
 
4.Resultados e discursões 
 
 Considerando a função 𝑓(𝑥) =
1
1+25𝑥²
e o intervalo [a,b] = [-5,5]. O objetivo deste 
trabalho foi constatar o fenômeno de Runge e usar spline linear e spline cúbica para comparar 
com o polinômio de Lagrange. Foram considerados: 
 Pn(x): polinômio de grau k que interpola 𝑓(𝑥) em 𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 
 S1(x): spline linear interpolante em 𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 
 S3(x): spline cúbica interpolante em 𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 
18 
 
onde 𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑘 são (k+1) pontos igualmente espaçados no intervalo [-5,5]. realizou-se 3 
conjuntos de testes, fez-se k assumir os valores 5, 10 e 20, em cada teste e calculou-se: 
 
 De acordo com os resultados obtidos apartir dos algoritmos (MATLAB), foi permitido 
fazer uma análise gráfica, onde as estrelas em vermelho representa o polinômio interpolador e as 
estrelas em azul representa a função em 𝑓(𝑥). 
 
4.1 Para k = 5 
 
4.1.1 Polinômio de Lagrange 
 
 A figura abaixo representa o comand windows do MATLAB retornada pelo código em 
questão, onde é mostrado os valores de x (x = 𝑧𝑖= -5 + 0.2i) e os valores de 𝑝(𝑥) e 𝑓(𝑥), 
calculados com os valores de x obtidos. O valor máximo de erro obtido, de acordo com o 
solicitado em questão, foi de 0.9558 
 
Figura 1 Resultados obtidos pelo algoritmo para Lagrange 
Fonte: MATLAB 
 
19 
 
 
Figura 2 Gráfico de Lagrange dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
4.1.2 Spline Linear 
 
Os resultados obtidos para spline linear não foram satisfatórios visto que a diferença entre 
este erro com o erro obtido em Lagrange foi muito pequeno. 
 
 
Figura 3 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Linear 
Fonte: MATLAB 
 
 
20 
 
 
Figura 4 Gráfico de Spline Linear dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
 
4.1.3 Spline Cúbica 
 
 Ainda nesse método como no anterior não observou-se vantagem comparada a forma de 
Lagrange. Em todos os métodos houve divergência entre os pontos [-1,1] 
 
Figura 5 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Cúbica 
Fonte: MATLAB 
21 
 
 
Figura 6 Gráfico de Spline Cúbica dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
 
 
 
4.2 Para k = 10 
 
4.2.1 Polinômio de Lagrange 
 
 Para o k = 10 o erro obtido pelo código aumentou significamente para este método. 
 
Figura 7 Resultados obtidos pelo algoritmo para Lagrange 
Fonte: MATLAB 
 
 Abaixo podemos ver que a função polinômio interpoladora não se comportou próxima a 
f(x). 
 
22 
 
 
Figura 8 Gráfico de Lagrange dos valores da função 𝑓(𝑥) 
 
4.2.2 Spline Linear 
 
 Podemos observar aqui que o erro diminui bastante em relação ao anterior. 
 
Figura 9 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Linear. 
Fonte: MATLAB 
 
23 
 
 
Figura 10 Gráfico de Spline Linear dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
A plotagem dos pontos também apresenta uma aproximação visual, mostrando o porque 
do erro ter diminuido. 
 
4.2.3 Spline cúbica 
 
 O erro aqui também apresentou uma diminuição em relação ao anterior. O maior erro é 
visto entre o intervalo [-2,2]. O gráfico apresentou uma aproximação visivél. 
 
Figura 11 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Cúbica 
Fonte: MATLAB 
24 
 
 
Figura 12 Gráfico de Spline Cúbica dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
4.3 Para k = 20 
 
4.3.1 Polinômio de Lagrange 
 
 Para k igual à 20, o polinômio de Lagrange apresentou um erro super elevado em relação 
aos anteriores e o seu comportamento no gráfico não se aproximou da função, divergindo 
bastante. 
 
Figura 13 Resultados obtidos pelo algoritmo para Lagrange 
Fonte: MATLAB 
25 
 
 
Figura 14 Gráfico de Lagrange dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
4.3.2 Spline Linear 
 
 O erro cometido foi ainda menor neste caso. O intervalo onde apresentava um maior erro, 
ocorreu uma melhor aproximação, com um erro quase homogêneo perto da origem. 
 
 
Figura 15 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Linear 
Fonte: MATLAB 
 
26 
 
 
Figura 16 Gráfico de Spline Linear dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
4.3.3 Spline Cúbica 
 
 Na cúbica o erro diminiu um pouco em relação ao anterior. 
 
Figura 17 Resultados obtidos pelo algoritmo para Spline Cúbica 
Fonte: MATLAB 
27 
 
 
Figura 18 Gráfico de Spline Cúbica dos valores da função 𝑓(𝑥) 
Fonte: MATLAB 
 
5. Conclusão 
 
De acordo com o gráfico apresentado para o polinômio interpolador de Lagrange, temos 
comprovado o fenômeno de Runge, já que à medida que aumenta a quantidade de pontos num 
intervalo [a, b], aumenta o erro nos pontos extremos do intervalo e melhora a aproximação nos 
pontos centrais. Isto é justificado pela fórmula do erro, em que os pontos extremos do intervalo 
faz com que o fator (𝑥 − 𝑥0)· · ·(𝑥 − 𝑥𝑛) seja grande. Desta forma, o polinômio interpolador 
não é indicado para extrapolar valores, isto é aproximar valores que não pertencem ao intervalo 
[𝑥0, 𝑥𝑛]. Mais ainda, observa-se que o emprego da interpolação por partes se fez bastante útil 
neste caso, de ordem cúbica e especialmente linear, que apresentou uma melhor aproximação 
visível em relação a cúbica e também um menor erro. 
 
 
 
6. Bibliografia 
 
RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R., Cálculo númerico: aspectos teóricos e computacionais. 
2ª Ed. Pearson, São Paulo, 1996. 
 
GILAT, A. e SUBRAMANIAM, V. “Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas – Uma 
introdução com aplicações usando o MATLAB”, 1a Ed. , Editora Bookman, 2008.