gne114_notasdeaula5_20101
10 pág.

gne114_notasdeaula5_20101


DisciplinaIntrodução Aos Circuitos Elétricos28 materiais181 seguidores
Pré-visualização1 página
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace  é uma importante ferramenta de trabalho na engenharia, permitindo a 
abordagem de problemas por meio de uma nova dimensão. Esta nova dimensão é conhecida como a 
dimensão s . Resolver uma série de problemas na dimensão s fica mais interessante e fácil, além de ser 
uma nova forma de visualizar  nossos problemas.
O estudo da transformada de Laplace em um curso de engenharia normalmente se faz nos cálculos, ou 
junto a disciplinas que façam necessário sua utilização. Este é o caso de circuitos elétricos, e por isso uma 
pequena introdução a esta ferramenta é realizada neste momento. Para o devido aprofundamento, se faz 
necessário utilizar de referências mais completas como Kreyzig (1983).
Método p/ resolução de equações diferenciais nas seguintes etapas : 
1a etapa : Um prpblema \u201cdifícil \u201cé transformado numa equação \u201csimples \u201c ( equação subsidiária )
2a etapa :Resolve \u2013 se a eq. Subsidiária mediante manipulações puramente algébricas
3a etapa : A resolução da eq. Subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema
 
dado. (tabelas )
Definição
Seja f ( t ) p/ t positivo, uma função qualquer no domínio do tempo.
Daí         F ( s ) = \u222b
0
\u221e
e\u2212s .t . f \ue09e t \ue09f. dt
F (s ) é a transformada de Laplace da função f ( t )
F ( s ) = L ( f ) = \u222b
0
\u221e
e\u2212s .t . f \ue09e t \ue09f. dt
s = r + j w
Não vamos neste momento entrar a fundo nas condições e definições, e portanto aproveitaremos para 
aprender a transformada por meio de exemplos. 
Inicialmente, vamos ver como é a transformada de Laplace de algumas funções e depois partiremos para 
as aplicações.
Exemplo 1
f ( t ) = 1       qdo t > 0        F ( s ) = ?
L (f ) = L ( 1 ) = \u222b
0
\u221e
e\u2212s .t .dt  =  \u22121
S
e­s.t \u22230
\u221e
                                                                      
assim qdo s > 0 
L ( 1 ) = 
1
S
Exemplo. 2    
f ( t ) = ea.t     qdo t > 0      a = cte 
L ( ea.t ) = \u222b
0
\u221e
ea . t .e\u2212s . t .dt  
             = \u222b
0
\u221e
e\u2212\ue09e s\u2212a \ue09f. t .dt  = 
\u22121
a\u2212s
e\u2212\ue09es\u2212a \ue09f . t \u22230
\u221e
        
p/ s \u2013 a > 0
    L ( ea.t ) = 
1
a\u2212s
. ( ­e­ ( s ­ a ) . t + ( ­e \u2013 ( s \u2013 a ) . t ) )
                     = 
1
a\u2212s
 . ( ­ e­ ( s \u2013 a ) \u221e  + ( ­ e \u2013 ( s \u2013 a ) . 0 )
                     = 
1
s\u2212a
Transformada de Laplace de função com Derivada de 1a ordem 
P/      f ( t )  contínua      p/    t > = 0
e sendo  f ` ( t ), a derivada de primeira ordem de f(t),  parcialmente contínua p/  t > =  0 
L ( f `( t ) ) = s . L ( f ( t ) ) \u2013 f ( 0 )
Transformada de Laplace de Derivada de ordem n qualquer 
  P/ f ( t ) e suas derivadas contínuas em t > =  0 
L ( f ( n ) ) = Sn . L ( f ) \u2013 S n ­ 1 . f ( 0 ) \u2013 Sn ­ 2 . f\u2019( 0 ) \u2013 f ( n ­ 1 ) ( 0 )
________________________________________________________________
Exemplo     f ( t ) = t2 
P/      f (0 ) = 0          f \u2019( 0 ) = 0        e f \u201d( t ) = 2
L ( f \u201d ) = L ( 2 ) = 
2
s
Ou
L ( f \u201d ) = s2 . L ( f ) \u2013 s . f( 0 ) \u2013 f\u2019( 0 )
E como L ( t2 ) = 
2
s3
     
L ( f \u201d ) = s2 . 
2
s3
 = 
2
s
Exemplo de aplicação da Transformada de Laplace
Carga do capacitor
V = R . i + v ,   e como             i = c . 
dv
dt
V = R . C . 
dv
dt
 + v
dv
dt
\ue083
1
R .C
.v=
1
R .C
.V                          
L \ue09e
dv
dt
\ue09f\ue083L \ue09e
1
R .C
.v \ue09f=L \ue09e
1
R .C
.V \ue09f
­ v ( 0 ) + s . V ( s ) + 
1
R .C
.V \ue09e s \ue09f=
1
R .C
.V .
1
s
­ v ( 0 ) + V( s ) . ( s + 
1
R .C
) = 
v
R .C
.
1
s
V ( s ) = (
V
R .C
.
1
s
\ue083v \ue09e 0 \ue09f ) . 
R .C
R.C . S\ue0831
=\ue09e
V
R .C
.
1
s
\ue083v \ue09e0 \ue09f\ue09f.
1
s\ue083
1
R .C
)
v( 0 ) = 0
                    V ( s ) = 
V
R.C
.
1
s
.
1
s\ue083
1
R .C
Na Tabela de Transformadas:
            L­1{V(s)} = . 
1
\ue09e s\u2212a \ue09f. \ue09e s\u2212b \ue09f
=
1
a\u2212b
\ue09eeat\u2212ebt \ue09f           a ¿ b
Onde L­1 representa a transformada inversa de Laplace
R
c
v
                   
        V        ­ +
­
Neste caso,
L­1 ( V ( s ) ) = L­1 . (
V
R .C
\ue09e s\u22120 \ue09f
.
1
\ue09e s\ue083
1
R.C
\ue09f
) = 
V
R .C
1
R .C
.\ue09ee0\u2212e
\u2212
1
RC
. t
\ue09f
Para
b = ­
1
R .C
    e    a = 0
V ( t ) = V. ( 1 ­  e
\u2212
1
RC
. t )                      
Que é a mesma solução encontrada realizando a solução da equação diferencial diretamente.
Exemplo Mola
Este exemplo foi realizado no capítulo de números complexos de forma direta. Vamos ver como fazer sua 
resolução por Laplace.
m. d
2 x
dt
 + k . x = 0
L  {m . d2 xdt }  + L {k . . x }
S2. L { f }  ­ S . x ( 0 ) \u2013 x\u2019( 0 )
S2 . m . X( S )  ­ S . m . x0 + K . x ( S ) = 0
X ( S ) = 
\ue083s .m . x0
s2 .m\ue083k
 = 
s . x0
s2\ue083
k
m
Na Tabela de Transformadas :
L­1
{ ss2\ue083w2 }  = cos w.t
Assim para:    w2 = 
k
m
  
     w =  \ue08d km
L­1{V(s)} = x0 . cos \ue08d km . t 
Que foi a solução encontrada anteriormente.
Exemplo Descarga do capacitor
i = c . 
dv
dt
v + i.R = 0
dv
dt
\ue083
1
R .c
.v=0
L {dvdt } + L { vR .c } = 0
­ v ( 0 ) + s . V ( s ) + 
1
R.c
.V ( s ) = 0 
V ( s ) = 
v\ue09e 0 \ue09f
s\ue083
1
R .c
L­1  {v\ue09e s \ue09f } = v ( 0 ) .  e
\u22121
R .c
. t
L­1
{ 1s\u2212a } = ea.t
p/ v ( 0 ) = V    \u2234    v = V .  e
\u22121
R .c
. t
c            i 
R
Resolva por Laplace:
\u2113 . c.
d 2v
dt 2
 + R.c.
dv
dt
+ v = V
            
R
c
                   
        V        ­
\u2113
+
­
Exemplo Corrente de inrush  no indutor
v =  \u2113  . 
di
dt
 
V0 \u2013 Ri \u2013  \u2113 . 
di
dt
 = 0 
V0 = R  i +   \u2113  . 
di
dt
L {V 0 }=L {R . i }\ue083L {\u2113 . didt }
V 0
s
 = R . I ( s ) +  \u2113  ( s . I ( s )  ­ i0 )
V 0
s
 = I ( s )  [R\ue083s\u2113 ]  ­  \u2113  i0
I ( s ) =  [V 0s \ue083\u2113 . i0] . 1R\ue083s .\u2113= [
1
\u2113
V 0
s
\ue083
1
\u2113
\u2113 .i0] . 1R
\u2113
\ue083s
I ( s ) = 
v0
\u2113
\ue083s . i0
s \ue09e s\ue083
r
\u2113
\ue09f
Por frações parciais a equação pode ser simplificada para poder ser encontrada na Tabela de 
Transformadas de Laplace
I ( s ) = 
k 1
s\u2212p1
\ue083
k 2
s\u2212p2
Para p1 = 0, e p2 = ­ r/ \u2113
R
\uf06c
i
 
( o ) = i
0
i    V
0
     
             +
              ­
K1 = I ( x ) . x
x=0
= 
v0
\u2113
\ue083s . i0
s\ue083
r
\u2113
K1 = 
V 0
\u2113
.
\u2113
r
=
V 0
r
K2 = I ( x ) . ( x + 
r
\u2113
) = 
v0
\u2113
\ue083s . i0
s
k2=\ue09e
Vo
l
\u2212
r
l
io \ue09f\ue09e
\u2212l
r
\ue09f=
\u2212Vo
r
\ue083io
I ( s ) = 
V 0
r
s
 + 
\u2212V 0
r
\ue083i0
s\ue083
r
\u2113
Na  tabela
i(t) = L­1 [ I \ue09e s \ue09f ]=
V 0
r
\ue083\ue09e i0\u2212
V 0
r
\ue09f.e
\u2212r . t
\u2113
Consistência :
t  \ue08c\u221e\ue08c i \ue09e t \ue09f=
V 0
r
t \ue08c 0\ue08c i\ue09e t \ue09f=i0
Kreyszig E. Matemática Superior v. 1 2a.ed Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 
Rio de Janeiro 1983 320p
 x = 0 
 X = ­ 
r
l
X =­ 
r
l
	Transformada de Laplace de Derivada de ordem n qualquer