gne114_notasdeaula5_20101

Prévia do material em texto

Transformada de Laplace
A transformada de Laplace  é uma importante ferramenta de trabalho na engenharia, permitindo a 
abordagem de problemas por meio de uma nova dimensão. Esta nova dimensão é conhecida como a 
dimensão s . Resolver uma série de problemas na dimensão s fica mais interessante e fácil, além de ser 
uma nova forma de visualizar  nossos problemas.
O estudo da transformada de Laplace em um curso de engenharia normalmente se faz nos cálculos, ou 
junto a disciplinas que façam necessário sua utilização. Este é o caso de circuitos elétricos, e por isso uma 
pequena introdução a esta ferramenta é realizada neste momento. Para o devido aprofundamento, se faz 
necessário utilizar de referências mais completas como Kreyzig (1983).
Método p/ resolução de equações diferenciais nas seguintes etapas : 
1a etapa : Um prpblema “difícil “é transformado numa equação “simples “ ( equação subsidiária )
2a etapa :Resolve – se a eq. Subsidiária mediante manipulações puramente algébricas
3a etapa : A resolução da eq. Subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema
 
dado. (tabelas )
Definição
Seja f ( t ) p/ t positivo, uma função qualquer no domínio do tempo.
Daí         F ( s ) = ∫
0
∞
e−s .t . f  t . dt
F (s ) é a transformada de Laplace da função f ( t )
F ( s ) = L ( f ) = ∫
0
∞
e−s .t . f  t . dt
s = r + j w
Não vamos neste momento entrar a fundo nas condições e definições, e portanto aproveitaremos para 
aprender a transformada por meio de exemplos. 
Inicialmente, vamos ver como é a transformada de Laplace de algumas funções e depois partiremos para 
as aplicações.
Exemplo 1
f ( t ) = 1       qdo t > 0        F ( s ) = ?
L (f ) = L ( 1 ) = ∫
0
∞
e−s .t .dt  =  −1
S
e­s.t ∣0
∞
                                                                      
assim qdo s > 0 
L ( 1 ) = 
1
S
Exemplo. 2    
f ( t ) = ea.t     qdo t > 0      a = cte 
L ( ea.t ) = ∫
0
∞
ea . t .e−s . t .dt  
             = ∫
0
∞
e− s−a . t .dt  = 
−1
a−s
e−s−a  . t ∣0
∞
        
p/ s – a > 0
    L ( ea.t ) = 
1
a−s
. ( ­e­ ( s ­ a ) . t + ( ­e – ( s – a ) . t ) )
                     = 
1
a−s
 . ( ­ e­ ( s – a ) ∞  + ( ­ e – ( s – a ) . 0 )
                     = 
1
s−a
Transformada de Laplace de função com Derivada de 1a ordem 
P/      f ( t )  contínua      p/    t > = 0
e sendo  f ` ( t ), a derivada de primeira ordem de f(t),  parcialmente contínua p/  t > =  0 
L ( f `( t ) ) = s . L ( f ( t ) ) – f ( 0 )
Transformada de Laplace de Derivada de ordem n qualquer 
  P/ f ( t ) e suas derivadas contínuas em t > =  0 
L ( f ( n ) ) = Sn . L ( f ) – S n ­ 1 . f ( 0 ) – Sn ­ 2 . f’( 0 ) – f ( n ­ 1 ) ( 0 )
________________________________________________________________
Exemplo     f ( t ) = t2 
P/      f (0 ) = 0          f ’( 0 ) = 0        e f ”( t ) = 2
L ( f ” ) = L ( 2 ) = 
2
s
Ou
L ( f ” ) = s2 . L ( f ) – s . f( 0 ) – f’( 0 )
E como L ( t2 ) = 
2
s3
     
L ( f ” ) = s2 . 
2
s3
 = 
2
s
Exemplo de aplicação da Transformada de Laplace
Carga do capacitor
V = R . i + v ,   e como             i = c . 
dv
dt
V = R . C . 
dv
dt
 + v
dv
dt

1
R .C
.v=
1
R .C
.V                          
L 
dv
dt
L 
1
R .C
.v =L 
1
R .C
.V 
­ v ( 0 ) + s . V ( s ) + 
1
R .C
.V  s =
1
R .C
.V .
1
s
­ v ( 0 ) + V( s ) . ( s + 
1
R .C
) = 
v
R .C
.
1
s
V ( s ) = (
V
R .C
.
1
s
v  0  ) . 
R .C
R.C . S1
=
V
R .C
.
1
s
v 0 .
1
s
1
R .C
)
v( 0 ) = 0
                    V ( s ) = 
V
R.C
.
1
s
.
1
s
1
R .C
Na Tabela de Transformadas:
            L­1{V(s)} = . 
1
 s−a .  s−b 
=
1
a−b
eat−ebt            a ¿ b
Onde L­1 representa a transformada inversa de Laplace
R
c
v
                   
        V        ­ +
­
Neste caso,
L­1 ( V ( s ) ) = L­1 . (
V
R .C
 s−0 
.
1
 s
1
R.C

) = 
V
R .C
1
R .C
.e0−e
−
1
RC
. t

Para
b = ­
1
R .C
    e    a = 0
V ( t ) = V. ( 1 ­  e
−
1
RC
. t )                      
Que é a mesma solução encontrada realizando a solução da equação diferencial diretamente.
Exemplo Mola
Este exemplo foi realizado no capítulo de números complexos de forma direta. Vamos ver como fazer sua 
resolução por Laplace.
m. d
2 x
dt
 + k . x = 0
L  {m . d2 xdt }  + L {k . . x }
S2. L { f }  ­ S . x ( 0 ) – x’( 0 )
S2 . m . X( S )  ­ S . m . x0 + K . x ( S ) = 0
X ( S ) = 
s .m . x0
s2 .mk
 = 
s . x0
s2
k
m
Na Tabela de Transformadas :
L­1
{ ss2w2 }  = cos w.t
Assim para:    w2 = 
k
m
  
     w =   km
L­1{V(s)} = x0 . cos  km . t 
Que foi a solução encontrada anteriormente.
Exemplo Descarga do capacitor
i = c . 
dv
dt
v + i.R = 0
dv
dt

1
R .c
.v=0
L {dvdt } + L { vR .c } = 0
­ v ( 0 ) + s . V ( s ) + 
1
R.c
.V ( s ) = 0 
V ( s ) = 
v 0 
s
1
R .c
L­1  {v s  } = v ( 0 ) .  e
−1
R .c
. t
L­1
{ 1s−a } = ea.t
p/ v ( 0 ) = V    ∴    v = V .  e
−1
R .c
. t
c            i 
R
Resolva por Laplace:
ℓ . c.
d 2v
dt 2
 + R.c.
dv
dt
+ v = V
            
R
c
                   
        V        ­
ℓ
+
­
Exemplo Corrente de inrush  no indutor
v =  ℓ  . 
di
dt
 
V0 – Ri –  ℓ . 
di
dt
 = 0 
V0 = R  i +   ℓ  . 
di
dt
L {V 0 }=L {R . i }L {ℓ . didt }
V 0
s
 = R . I ( s ) +  ℓ  ( s . I ( s )  ­ i0 )
V 0
s
 = I ( s )  [Rsℓ ]  ­  ℓ  i0
I ( s ) =  [V 0s ℓ . i0] . 1Rs .ℓ= [
1
ℓ
V 0
s

1
ℓ
ℓ .i0] . 1R
ℓ
s
I ( s ) = 
v0
ℓ
s . i0
s  s
r
ℓ

Por frações parciais a equação pode ser simplificada para poder ser encontrada na Tabela de 
Transformadas de Laplace
I ( s ) = 
k 1
s−p1

k 2
s−p2
Para p1 = 0, e p2 = ­ r/ ℓ
R

i
 
( o ) = i
0
i    V
0
     
             +
              ­
K1 = I ( x ) . x
x=0
= 
v0
ℓ
s . i0
s
r
ℓ
K1 = 
V 0
ℓ
.
ℓ
r
=
V 0
r
K2 = I ( x ) . ( x + 
r
ℓ
) = 
v0
ℓ
s . i0
s
k2=
Vo
l
−
r
l
io 
−l
r
=
−Vo
r
io
I ( s ) = 
V 0
r
s
 + 
−V 0
r
i0
s
r
ℓ
Na  tabela
i(t) = L­1 [ I  s  ]=
V 0
r
 i0−
V 0
r
.e
−r . t
ℓ
Consistência :
t  ∞ i  t =
V 0
r
t  0 i t =i0
Kreyszig E. Matemática Superior v. 1 2a.ed Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 
Rio de Janeiro 1983 320p
 x = 0 
 X = ­ 
r
l
X =­ 
r
l
	Transformada de Laplace de Derivada de ordem n qualquer