Lista 2 Resolução- calculo I

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Resolução Lista 2 - Cálculo I 
 
Exercício 2 - página 35: Sabendo que ℎ��� = ����	 encontre os valores de ℎ��
� , 
ℎ�0� e ℎ�� − 1�. 
Para solucionar este exercício, basta substituir os valores de s que foram pedidos no 
enunciado na função ℎ���: 
Para ℎ��
� temos: 
ℎ ��
� =
�	����	�	 ï ℎ �
�
� = 	
�	���� ï ℎ �
�
� = 	
�	��
 ï ℎ ��
� = 	 �� 
 
ℎ �12� = 	23 
 
Para ℎ�0� temos: 
ℎ�0� = ����	 ï ℎ�0� = 	 �� ï 
 
Para ℎ�� − 1� temos: 
ℎ�� − 1� = 	 ����������	 ï ℎ�� − 1� = 	 �������	�
���� 
 
 
 
 
 
Exercício 3 – página 35: Dada a função ���� = 	 √� + 1	, � ≥ 1		2									, � < 1 &, encontre os valores 
de ��0�,	��3�,	��1�,	��−2,1�,	��'( − 1�. Neste último caso, encontre o domínio da 
função. 
Para resolver este exercício, devemos analisar em qual das situações os valores de x se 
encaixam, ou seja, se � ≥ 1 ou se � < 1, para determinar o valor da função. 
Para ��0� temos: 
ℎ�0� = 0 
ℎ�� − 1� = � − 1�
 − 	2� 
 0 < 1, logo 
 
Para ��3� temos: 
 
 3 ≥ 1, logo ��3� = √3 + 1 
 
Para ��1�	temos: 
 
 1 ≥ 1, logo ��1� = 	√1 + 1 
 
Para ��−2,1� temos: 
 
 −2,1 < 1, logo 
 
Para ��'( − 1� temos: 
 
Neste caso, como desconhecemos o valor da variável independente, não sabemos se 
'( − 1 < 1 ou se	'( − 1 ≥ 1, logo analisaremos os dois casos, porém antes, 
resolvendo as desigualdades: 
'( − 1 < 1 ï '( < 2 ï ' < √2� 
'( − 1 ≥ 1 ï '( ≥ 2 ï '	 ≥ √2� 
 
Resolvendo as desigualdades, percebemos que a função ��'( − 1� está definida para 
dois intervalos, um deles quando os valores de ' < √2� e o outro quando os valores de 
são '	 ≥ √2� . 
 
Para ' < √2� temos que a função ��'( − 1� vale: 
 
��'( − 1� = 2 
 
 
��0� = 	2 
��3� = 2 
��1� = 	√2 
��−2,1� = 2 
Para '	 ≥ √2� temos que a função ��'( − 1� vale: 
��'( − 1� = 	√'( − 1 + 1 ï ��'( − 1� = 	√'( 
 
Agora analisando o domínio da função ��'( − 1�: 
Para valores de ' tais que ' < √2� não há restrição alguma, portanto todos os valores 
' < √2� fazem parte do domínio da função ��'( − 1�. 
Para valores de ' tais que '	 ≥ √2� também não existem restrições, pois a única 
restrição que a raiz quadrada impõe sobre os valores que ' pode assumir, raiz 
quadrada com radicando negativo, não estão presentes no intervalo '	 ≥ √2� . 
A partir disto, podemos concluir que o domínio ) da função ��'( − 1� é: 
) = ℝ 
 
 
Exercício 5 página 35: Simplifique a expressão 
+�,�-��	+�,�
- (ℎ ≠ 0) considerando cada 
uma das funções dadas. 
a) ���� = 2 
A função ���� = 2 nos diz que para qualquer valor da variável independente, a função 
valerá 2. Com esta idéia em mente, sabemos que os valores de ��� + ℎ�	e de ����são 
iguais a 2. Simplificando a expressão temos: 
��� + ℎ� = 2 e ���� = 2 
 
2 − 2ℎ = 0ℎ = 0 
 
Portanto a expressão simplificada é igual a 0 para ���� = 2. 
 
b)	���� = 3� 
 
A função ���� = 3� nos diz que para qualquer valor da variável independente, 
devemos multiplicar esse valor por 3. Tendo essa idéia em mente, sabemos que: 
 
��� + ℎ� = 3�� + ℎ� e ���� = 3� 
Simplificando a expressão temos: 
3�� + ℎ� − 	3�ℎ = 3� − 3� + 3ℎℎ = 3ℎℎ = 3 
Portanto a expressão simplificada é igual a 3 para ���� = 3�. 
 
c)	���� = � − �
 
A função ���� = � − �
 nos diz que para qualquer valor da variável independente, 
devemos subtrair desse valor o seu quadrado. Com essa idéia em mente, sabemos 
que: 
��� + ℎ� = �� + ℎ� − �� + ℎ�
 e ���� = � − �
 
Simplificando a expressão temos: 
� + ℎ − �� + ℎ�
 − �� − �
�ℎ = � + ℎ − ��
 + 2�ℎ + ℎ
� − � + �
ℎ 
ℎ − �
 − 2�ℎ − ℎ
 + �
ℎ = ℎ − 2�ℎ − ℎ
ℎ = 1 − 2� − ℎ 
Portanto a expressão simplificada é igual a 1 − 2� − ℎ para ���� = � − �
. 
 
d) ���� = 	 
, 
A função ���� = 
, nos diz que para qualquer valor da variável independente, devemos 
seguir a regra 2� �/�01á/23	145262452472�. Com esta idéia em mente, sabemos que: 
��� + ℎ� = 
,�- e ���� = 
, 
Simplificando a expressão temos: 
2� + ℎ − 2�ℎ =
2� − 2�� + ℎ���� + ℎ�ℎ =
2� − 2� − 2ℎ��� + ℎ�ℎ =
−2ℎ��� + ℎ�ℎ = −2ℎ�ℎ�� + ℎ� = −2��� + ℎ� 
 
 
Exercício 3 – página 49: Determine uma fórmula matemática para a função f cujo 
gráfico está descrito ao lado. 
 
Observando o gráfico, conseguimos visualizar que a função tem 3 regiões em que o 
comportamento da função é diferente. As regiões são: 
0 ≤ � ≤ 1; 	1 ≤ � ≤ 2; 2 ≤ � ≤ 5 
 
Para a região 0 ≤ � ≤ 1 a função assume os valores: 
���� = �, pois neste intervalo, a função se comporta como uma reta que passa pela 
origem e pelo ponto (1,1). 
 
Para a região 	1 ≤ � ≤ 2 a função assume os valores: 
���� = 2 − �, pois neste intervalo, se comporta como uma reta que passa pelos 
pontos (1,1) e (2,0). 
 
Para a região 2 ≤ � ≤ 5 a função assume os valores: 
���� = 0, pois neste intervalo, se comporta como a reta y = 0. 
 
Juntando todas essas informações, obtemos a função ����: 
 
���� = :�, �;	0 ≤ � ≤ 12 − �, �;	1 ≤ � ≤ 20, �;	2 ≤ � ≤ 5& 
 
 
Exercício 4 – página 49: Dado o gráfico da função � ao lado: 
 
a) Determine o valor de ��−1�; 
Observando o gráfico, vemos que quando � = −1, ��−1� = −2. 
 
b) Faça uma estimativa do valor de ��2�; 
Observando o gráfico, vemos que quando � = 2, ��2� será um valor entre 2,5 e 3, 
porém se observamos com mais cuidado, veremos que este valor está bem mais 
próximo de 3 do que de 2,5, portanto ��2� vale algo em torno de 2,8. 
 
c) Para quais valores de x, ���� = 2? 
Quando � = 1 e quando � vale algo em torno de -2,5 e -3, porém se observarmos com 
mais cautela, veremos que � deve valer algo em torno de -2,8. 
 
d) Faça uma estimativa para os valores de � para os quais ���� = 0. 
Quando � vale algo em torno de 0,5 e também quando � vale algo em torno de -2,4. 
 
e) Determine o domínio e a variação (imagem) de �. 
Observando o gráfico, visualizamos que o domínio ) da � é: 
 ) =	 <�	 ∈ 	ℝ| = −3 ≤ � ≤ 3? 
Observando o gráfico, visualizamos que a imagem @ da � é: 
@ = <� ∈ 	ℝ|−2 ≤ � ≤ 3? 
 
 
Exercício 2 – página 94: O gráfico descrito na figura mostra o espaço S percorrido por 
um automóvel em função do tempo (minutos). Observe o gráfico e responda às 
perguntas: 
a) Qual o intervalo de tempo em que o carro estava parado? 
Observando o gráfico, vemos que o carro ficou parado no intervalo 30 ≤ ' ≤ 60. 
 
b) Qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro entre o início e o fim da 
viagem? 
A velocidade escalar média é dada por: 
BC = 2�6�çE	620FE0015E72C6E BC = G�
 BC = 40	IJ ℎK 
 
c) Quantos quilômetros o carro percorreu em 120 minutos? 
Basta olhar no gráfico que o carro percorreu 80 Km em 2 horas. 
 
Exercício 8 – página 97: Sabendo que a função L��� é do primeiro grau e que 
L�−1� = 2 e L�2� = 3, determine a função L���. 
 
Se L��� é uma função do primeiro grau, seu gráfico é o de uma reta. Como o 
enunciado nos deu dois pontos (-1,2) e (2,3), podemos definir uma reta com esses 
pontos. 
Calculando o coeficiente angular da reta: 
J = ∆N∆, J = (�
����� J = �( 
Descobrindo a equação da reta que passa pelos pontos (-1,2) e (2,3): 
 
O − OE = J�� − ��� O − 3 = �( �� + 1� 
 
 
Exercício 14 – página 99: O comprimento de uma barra de metal varia com a 
temperatura P, de acordo com a equação Q�P� = 100 + 0,0001P(	P em °C e Q em 
cm). 
a) Qual é o comprimento dessa barra a 10 °C? 
Basta substituir Q�10� para obter o comprimento da barra: 
 
Q�10� = 100 + 0,001 ï 
 
b) A que temperatura o comprimento dessa barra é de 100,01 cm? 
Novamente, basta substituir o valor do comprimento na função: 
 
100,01 = 100 + 0,0001P ï 0,01 = 0,0001P ï 
 O = ,( + R( 
 Q�10� = 100,001	SJ 
 P = 100	°U