Algebra Linear Aula Espacos Vetoriais

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Álgebra Linear
Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Combinações Lineares
Subespaços Gerados
Dependência e Independência Linear
Base e Dimensão
Prof. Alessandro R. da Fonseca
Universidade Estadual de Ciências da Saúde de Alagoas – Uncisal
Uncisal Álgebra Linear
1. Espaços Vetoriais
Introdução:
Ao final do século XIX, após o estabelecimento das bases mate-
máticas da teoria de matrizes, foi observado que várias entidades
matemáticas que eram tratadas de forma diferentes possuíam pro-
priedades semelhantes, o que motivou os matemáticos da época
a criarem uma teoria consistente que viabilizasse um tratamento
uniforme a tais entidades. Como exemplo, vetores pertencentes
ao R2 e ao R3, funções polinomiais e funções diferenciáveis apre-
sentam as mesmas propriedades de adição e da multiplicação por
escalar, observadas para o caso matricial. Tal constatação deu
origem à definição de espaço vetorial.
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1. Espaços Vetoriais
Historicamente contextualizado, a idéia original associada a de-
finição de espaço vetorial foi publicada em 1844, por Hermann
Grassmann (1808-1887), teólogo e filósofo polonês. Na época
em que publicou seu trabalho, não houve muita repercussão, e so-
mente 44 anos depois da publicação do trabalho de Grassmann é
que o matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publicou
uma interpretação condensada dos conceitos estabelecidos por
Grassmann. No entanto, as definições correntes para espaço ve-
torial, subespaço vetorial, bases e dimensão foram estabelecidas
por um matemático alemão chamado Hermann Weyl (1895-1955),
que reconheceu a magnitude e a importância do trabalho original-
mente proposto por Grassmann.
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1. Espaços Vetoriais
Definição:
Um Espaço Vetorial (ou Espaço Linear) é composto por:
• V é um conjunto não vazio de objetos denominados de vetores;
• K é um conjunto denominado corpo de escalares (R ou C);
• Uma regra (ou operação), dita adição de vetores, que associa a cada
par de vetores u, v ∈V um vetor u+ v ∈V, denominado soma de u e
v , de maneira tal que:
(A1) u+ v = v +u, ∀u,v ∈ V (comutativa)
(A2) u+(v +w) = (u+ v)+w, ∀u,v ,w ∈ V (associativa)
(A3) Existe um único 0 ∈ V, denominado vetor nulo, tal que:
u+0 = u, ∀u ∈V
(A4) Para cada vetor u ∈V, existe um único oposto (também
chamado de simétrico), indicado por −u ∈ V tal que:
u+(−u) = 0, ∀u ∈ V
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1. Espaços Vetoriais
• Uma regra (ou operação), dita multiplicação escalar, que associa a
cada escalar α ∈ K e a cada vetor u ∈ V, um vetor αu ∈ V, denomi-
nado o produto de α por u de maneira tal que:
(M1) α(βu)= (αβ)u, ∀α,β ∈K e u ∈V
(M2) (α +β)u = αu+βu, ∀α,β ∈K e u ∈V
(M3) α(u+ v)= αu+αv , ∀α ∈K e u,v ∈ V
(M4) 1u = u, ∀u ∈ V
Observação:
Um componente importante da definição é que o espaço é fechado em re-
lação às operações. Essas propriedades podem ser resumidas da seguinte
maneira:
(C1) Se u,v ∈ V, então, u+ v ∈ V;
(C2) Se u ∈ V e α ∈K, então, αu ∈ V.
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1. Espaços Vetoriais
Exemplo 01: Seja W = {(a,1), a∈R} com as operações usuais de adição
e multiplicação por escalar. Verifique se W é ou não um espaço vetorial.
Cuidado!
Se um conjunto A é fechado em relação as operações é necessário verificar
os oito axiomas, entretanto, se um conjunto A não é fechado em relação as
operações, então A será um subespaço vetorial.
Exemplo 02: Seja o conjunto R2 = {(a,b), a,b ∈ R} com as operações:
+ : (a,b)+ (c,d) = (a+ c,b+d)
� : α(a,b) = (αa,b)
Verifique se R2 com esta multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
Exemplo 03: Seja d(s) = d0s2 + d1s + d2 e n(s) = n0s2 + n1s + n2, com
d0,n0 6= 0, o conjunto de polinômios em “s”, com coeficientes reais, de grau
dois com as seguintes propriedades:
(d +n)(s) = d(s)+n(s)
(αd)(s) = α(d(s))
O conjunto definido acima é um espaço vetorial?
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2. Subespaços Vetoriais
Muitas vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, sub-
conjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais em relação à adição
e à multiplicação por escalar definidas em V. Tais conjuntos serão chama-
dos subespaços de V .
Definição:
Um subconjunto S não vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço
vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
(i) 0 ∈ S (Vetor nulo)
(ii) ∀ u,v ∈ S ⇒ u+ v ∈ S
(ii) ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ S ⇒ αv ∈ S
Observações:
• Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais:
o subespaço nulo {0} e o próprio subespaço vetorial V.
• Estes subespaços são chamados subespaços triviais.
• Os demais subespaços, se existirem, serão chamados subespaços
próprios.
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2. Subespaços Vetoriais
Exemplo 04: Considerando as operações usuais sobre R3 verifique se o
conjunto W= {(x,y ,z) ∈ R3; x + y = 0} é um subespaço vetorial do R3.
-2
2
x
-1
-4
1
-2
0
0
0
y
-1
2
1
-2
4
2
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2. Subespaços Vetoriais
Exemplo 05: Considere o sistema homogêneo


a11x +a12y +a13z = 0
a21x +a22y +a23z = 0
a31x +a32y +a33z = 0
Adotando as notações:
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


, X =


x
y
z

 e 0 =


0
0
0


O sistema linear pode ser reescrito como
AX = 0
Seja S =

X =


x
y
z



 o conjunto de todas as soluções do homogêneas.
Mostre que S é um subespaço vetorial do R3.
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2. Subespaços Vetoriais
Exemplo 06: Seja V=R2 e S = {(x,y) ∈R2; y = 2x} mostre que S é um
subespaço de V.
Exemplo 07: Seja V=R2 e W= {(x,4−2x); x ∈R}.W é um subespaço
vetorial do R2?
Exemplo 08: A superfície abaixo é a representação gráfica do subconjunto
W ⊆ V = R3 onde W =
{
(x,y ,z) ∈ R3; x2 − y2 = 0
}
. Considerando as
operações usuais em V, verifique se W é um subespaço vetorial do R3.
-2
-2
-4
y
x
-1
-1
-2
00
0
1
2
1
4
2
2
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3. Combinações Lineares
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obten-
ção de novos vetores a partir de vetores dados.
Definição:
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Assim, um vetor v ∈ V é
uma combinação linear dos vetores u1,u2, . . . ,un ∈V se existirem escalares
α1,α2, . . . ,αn ∈K tais que
v = α1u1 +α2u1 + . . .αnun =
n
∑
i=1
αi ui
Exemplo 09: Considere os vetores do R3, v1 = (1,2,1), v2 = (1,0,2) e
v3 = (1,1,0). Escreva o vetor v = (1,2,4) como combinação linear dos ve-
tores v1, v2 e v3.
v = α1v1 +α2v2 +α3v3
(1,2,4) = α1(1,2,1)+α2(1,0,2)+α3(1,1,0)
(1,2,4) = (α1 +α2 +α3, 2α1 +α3, α1 +2α2)
logo,


α1 +α2 +α3 = 1
2α1 +α3 = 2
α1 +2α2 = 4
Resolvendo o sistema linear temos: α1 = 2, α2 = 1 e α3 =−2.Uncisal Álgebra Linear
3. Combinações Lineares
Assim, o vetor v se escreve como uma combinação linear de v1, v2 e v3, do
seguinte modo:
v = 2v1 + v2−2v3.
Geometricamente,
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3. Combinações Lineares
Exemplo 10: Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou
igual a 2. Expresse o vetor v = 7x2 +11x−26 como combinação linear dos
vetores p1 = 5x2−3x +2 e p2 =−2x2 +5x−8.
Exemplo 11: Determine escalares a, b, e c de forma que o vetor (3,7,−4)
seja uma combinação linear dos vetores (1,2,3), (2,3,7) e (3,5,6), nesta
ordem.
Obervação:
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. Então,
S = S1 +S2
é o conjunto de todos os vetores u+ v tal que u ∈ S1 e v ∈ S2.
Teorema1 (Soma de Subespaços Vetoriais)
A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço
vetorial.
1A demonstração deste teorema será uma das questões da Avaliação II de Álgebra Linear.
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4. Subespaços Gerados
Seja V um espaço vetorial e A= {v1, v2, . . . ,vn}⊆V com A 6= /0. O conjunto
S de todos os vetoresde V que são combinações lineares dos vetores de
A é um subespaço2 vetorial de V.
O conjunto S é chamado de subespaço gerado por A.
Observações:
• Notação: S = G(A) ou S = [v1, v2, . . . ,vn].
• Os vetores v1, v2, . . . ,vn são os geradores do espaço.
• A é o conjunto gerador.
• Se A= /0, então, define-se [ /0] = {0}
Exemplo 12: Seja V= R3 e A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}. Verifique se
R3 = G(A).
Exemplo 13: Verifique se os vetores i = {(1,0) e j = (0,1) geram o espaço
R2.
2A verificação deste fato também será uma das questões da Avaliação II de Álgebra Linear.
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5. Dependência e Independência Linear
Definição (L.I.):
Os vetores v1, v2, . . . ,vn em um espaço vetorial V, são ditos Linearmente
Independentes se
α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn = 0 (1)
implica que todos os escalares α1 = α2 = . . .= αn = 0.
Definição (L.D.):
Os vetores v1, v2, . . . ,vn em um espaço vetorial V, são ditos Linearmente
Dependentes se existem escalares α1, α2, . . . , αn NÃO TODOS NULOS, tais
que
α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn = 0. (2)
Exemplo 14: Verifique se os vetores u = {(1,1) e v = (1,2) do R2 são L.I.
ou L.D.
Exemplo 15: Sejam os vetores v1 =(2,−1,3), v2 =(−1,0,2) e v3 =(2,−3,1)
verifique se B = {v1, v2, v3} é um conjunto L.I ou L.D.
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5. Dependência e Independência Linear
Exemplo 16: Verifique se o conjunto formado pelos vetores
p1(x) = x2−2x +3
p2(x) = 2x2 + x +8
p3(x) = x2 +8x +7
é L.I. ou L.D.
Propriedades:
• Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
• Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
• Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é
linearmente dependente.
• Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é
linearmente independente.
• Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores
desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente
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6. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial
Definição:
Um conjunto B = {v1, v2, . . . ,vn} ⊂ V é uma base do espaço vetorial V se
• B é L.I.
• V= G(B)
Exemplo 17: Verifique se B = {(1,1),(−1,0)} é uma base do R2.
Exemplo 18: Seja o conjunto {x3,3x2,6x,6}. Mostre que este conjunto é
uma base do espaço vetorial dos polinômios cúbicos.
Exemplo 19: Seja Vθ o espaço vetorial das funções variável real θ tal que
Vθ = {acos θ +bsen θ ;a,b ∈R}.
Verifique se o conjunto K = {cosθ − senθ ,2cos θ +3sen θ}.
Exemplo 20: Mostre que se {v1, v2, . . . ,vn} e {u1, u2, . . . ,um} são duas
bases para um espaço vetorial V, então, n = m.
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6. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial
Teorema:
Seja B = {v1,v2, . . . ,vn} uma base de um espaço vetorial V. Então, todo ve-
tor v ∈V se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores
da base base B.
Definição:
Diz-se que um espaço vetorial V é de dimensão finita n ou n−dimensional,
se escreve-se dimV= n, se V possui uma base com n vetores.
Observação: Diz-se que o subespaço {0} de V tem dimensão zero
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