Derivada Função Derivada

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Func¸a˜o Derivada
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Func¸a˜o Derivada
Introduc¸a˜o
No´s vimos que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da func¸a˜o f no
ponto a e´ dada por
Ti = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a .
O ca´lculo desse tipo de limite e´ ta˜o comum e frequente que no´s
damos a ele um nome especial.
Func¸a˜o Derivada
Definic¸a˜o de Derivada em um Ponto
Seja f uma func¸a˜o e c um ponto em seu dom´ınio. Dizemos que a
derivada de f no ponto c , denotada por f ′(c), e dada por
f ′(c) = lim
x→c
f (x)− f (c)
x − c ,
quando esse limite existe e e´ finito.
Fazendo a substituic¸a˜o h = x − c , podemos reescrever esse limite
como
f ′(c) = lim
h→0
f (c + h)− f (c)
h
.
Observac¸a˜o
Se f admite derivada no ponto c , no´s dizemos que f e´
diferencia´vel (ou deriva´vel) em c .
Func¸a˜o Derivada
Definic¸a˜o de Derivada em um Ponto
Seja f uma func¸a˜o e c um ponto em seu dom´ınio. Dizemos que a
derivada de f no ponto c , denotada por f ′(c), e dada por
f ′(c) = lim
x→c
f (x)− f (c)
x − c ,
quando esse limite existe e e´ finito.
Fazendo a substituic¸a˜o h = x − c , podemos reescrever esse limite
como
f ′(c) = lim
h→0
f (c + h)− f (c)
h
.
Observac¸a˜o
Se f admite derivada no ponto c , no´s dizemos que f e´
diferencia´vel (ou deriva´vel) em c .
Func¸a˜o Derivada
Interpretac¸a˜o Geome´trica
f ′(c) = lim
x→c
f (x)− f (c)
x − c = tgβ.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(4).
Aplicando a definic¸a˜o da derivada de f no ponto 4, temos que
calcular o limite
f ′(4) = lim
x→4
f (x)− f (4)
x − 4 .
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
x→4
(x2 − 5x + 6)− (42 − 5 · 4 + 6)
x − 4
= lim
x→4
x2 − 5x + 4
x − 4
= lim
x→4
(x − 1)����(x − 4)
���
�(x − 4)
= lim
x→4
x − 1
= 4− 1 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Tambe´m poder´ıamos ter determinado f ′(4) atrave´s do limite
f ′(4) = lim
h→0
f (4 + h)− f (4)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(4) = lim
h→0
[(4 + h)2 − 5(4 + h) + 6]− (42 − 5 · 4 + 6)
h
= lim
h→0
(16 + 8h + h2 − 20− 5h + 6)− 2
h
= lim
h→0
h2 + 3h
h
= lim
h→0
�h(h + 3)
�h
= lim
h→0
h + 3
= 0 + 3 = 3
Func¸a˜o Derivada
Definic¸a˜o
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em todo o seu dom´ınio. Dizemos
que a derivada de f , denotada por f ′(x), e dada por
f ′(x) = lim
u→x
f (u)− f (x)
u − x ,
quando esse limite existe e e´ finito.
Fazendo a substituic¸a˜o h = u − x , podemos reescrever esse limite
como
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Dada a func¸a˜o f (x) = x2 − 5x + 6, calcule f ′(x).
Aplicando a definic¸a˜o de derivada de f , temos que calcular o limite
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
.
Calculando esse limite, no´s obtemos o resultado a seguir.
f ′(x) = lim
h→0
[(x + h)2 − 5(x + h) + 6]− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh + h2 − 5x − 5h + 6)− (x2 − 5x + 6)
h
= lim
h→0
2xh + h2 − 5h
h
= lim
h→0
�h(2x + h − 5)
�h
= lim
h→0
2x + h − 5 = 2x − 5
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Neste exerc´ıcio no´s obtemos que f ′(x) = 2x − 5. Lembrando do
exerc´ıcio anterior, no´s obtemos que f ′(4) = 3. Note que
f ′(4) = 2 · 4− 5 = 3.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 3: A func¸a˜o f (x) = |x | e´ diferencia´vel em 0?
Precisamos analisar se o limite abaixo existe e e´ finito:
f ′(0) = lim
x→0
|x | − |0|
x − 0 = limx→0
|x |
x
.
Lembrando-se da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real, temos
que
|x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
Desse modo, temos que:
lim
x→0−
|x |
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1,
lim
x→0+
|x |
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 3: A func¸a˜o f (x) = |x | e´ diferencia´vel em 0?
Precisamos analisar se o limite abaixo existe e e´ finito:
f ′(0) = lim
x→0
|x | − |0|
x − 0 = limx→0
|x |
x
.
Lembrando-se da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real, temos
que
|x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
Desse modo, temos que:
lim
x→0−
|x |
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1,
lim
x→0+
|x |
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 3: A func¸a˜o f (x) = |x | e´ diferencia´vel em 0?
Precisamos analisar se o limite abaixo existe e e´ finito:
f ′(0) = lim
x→0
|x | − |0|
x − 0 = limx→0
|x |
x
.
Lembrando-se da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real, temos
que
|x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
Desse modo, temos que:
lim
x→0−
|x |
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1,
lim
x→0+
|x |
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Exemplo 3: A func¸a˜o f (x) = |x | e´ diferencia´vel em 0?
Precisamos analisar se o limite abaixo existe e e´ finito:
f ′(0) = lim
x→0
|x | − |0|
x − 0 = limx→0
|x |
x
.
Lembrando-se da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real, temos
que
|x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0 .
Desse modo, temos que:
lim
x→0−
|x |
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1,
lim
x→0+
|x |
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Como lim
x→0−
|x |
x
6= lim
x→0+
|x |
x
, temos que o limite lim
x→0
|x |
x
na˜o existe.
Sendo assim, f na˜o e´ diferencia´vel em 0.
Analisando o gra´fico da func¸a˜o, no´s observamos que ele na˜o possui
tangente no ponto 0.
Func¸a˜o Derivada
Exerc´ıcios
Como lim
x→0−
|x |
x
6= lim
x→0+
|x |
x
, temos que o limite lim
x→0
|x |
x
na˜o existe.
Sendo assim, f na˜o e´ diferencia´vel em 0.
Analisando o gra´fico da func¸a˜o, no´s observamos que ele na˜o possui
tangente no ponto 0.
Func¸a˜o Derivada
Relac¸a˜o entre Diferenciabilidade e Continuidade
Se f diferencia´vel em c, enta˜o f e´ cont´ınua em c .
Observac¸a˜o
Note que se uma func¸a˜o e´ cont´ınua em c , enta˜o na˜o
necessariamente ela e´ diferencia´vel em c .
Func¸a˜o Derivada
Notac¸a˜o
Em toda essa aula usamos a notac¸a˜o f ′(x) para representar a
derivada da func¸a˜o f .
Poder´ıamos tambe´m usar outra notac¸a˜o. No´s vimos que podemos
definir a derivada de f como
f ′(x) = lim
u→x
f (u)− f (x)
u − x .
Considerando que y = f (x) e fazendo as substituic¸o˜es
∆y = f (u)− f (x) e ∆x = u − x , podemos reescrever esse limite
como
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Para representar esse limite, foi criado uma notac¸a˜o mais
conveniente:
f ′(x) =
dy
dx
.