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Ca´lculo Diferencial e Integral I Taxa de Variac¸a˜o Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Taxa de Variac¸a˜o Noc¸a˜o Intuitiva Um certo mo´vel deslocou-se do ponto B para o ponto C conforme ilustra a figura abaixo. Qual foi a velocidade me´dia nesse trajeto? vm = d1 − d0 t1 − t0 = 200 − 50 10 − 8 = 75 km/h Taxa de Variac¸a˜o Noc¸a˜o Intuitiva Um certo mo´vel deslocou-se do ponto B para o ponto C conforme ilustra a figura abaixo. Qual foi a velocidade me´dia nesse trajeto? vm = d1 − d0 t1 − t0 = 200 − 50 10 − 8 = 75 km/h Taxa de Variac¸a˜o Definic¸a˜o Considere que uma grandeza y depende de uma outra grandeza x . Suponha que quando x variar de x0 para x1 tivermos que y ira´ variar de y0 para y1. Temos que a taxa de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x sera´ dada por: T = y1 − y0 x1 − x0 . Usando as notac¸o˜es ∆x = x1 − x0 e ∆y = y1 − y0, podemos escrever a taxa de variac¸a˜o como: T = ∆y ∆x . Taxa de Variac¸a˜o Exerc´ıcios Exemplo 1: A tabela abaixo representa o registro da temperatura a cada hora, a partir da meia-noite, em certa cidade. Qual foi a taxa de variac¸a˜o da temperatura de 6:00 h para 10:00 h? t ◦C t ◦C t ◦C 0 10,2 8 9,5 16 12,2 1 10,1 9 10,1 17 13,1 2 10,0 10 10,3 18 14,0 3 9,1 11 10,4 19 13,6 4 9,2 12 10,9 20 13,0 5 9,1 13 11,0 21 12,0 6 9,0 14 11,1 22 10,3 7 9,2 15 11,8 23 10,0 T = ∆C ∆t = 10, 3 − 9, 0 10 − 6 = 0, 325 ◦C/h Taxa de Variac¸a˜o Exerc´ıcios Exemplo 1: A tabela abaixo representa o registro da temperatura a cada hora, a partir da meia-noite, em certa cidade. Qual foi a taxa de variac¸a˜o da temperatura de 6:00 h para 10:00 h? t ◦C t ◦C t ◦C 0 10,2 8 9,5 16 12,2 1 10,1 9 10,1 17 13,1 2 10,0 10 10,3 18 14,0 3 9,1 11 10,4 19 13,6 4 9,2 12 10,9 20 13,0 5 9,1 13 11,0 21 12,0 6 9,0 14 11,1 22 10,3 7 9,2 15 11,8 23 10,0 T = ∆C ∆t = 10, 3 − 9, 0 10 − 6 = 0, 325 ◦C/h Taxa de Variac¸a˜o Interpretac¸a˜o Geome´trica Considere que y e´ uma func¸a˜o de x , isto e´, y = f (x). A taxa de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x sera´ dada por T = ∆y ∆x = f (x1) − f (x0) x1 − x0 = tgα. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A, desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade do mo´vel apo´s 4 segundos? t0 t1 vm = f (t1)−f (t0) t1−t0 3,9 4 39,5 4 4,1 40,5 Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A, desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade do mo´vel apo´s 4 segundos? t0 t1 vm = f (t1)−f (t0) t1−t0 3,9 4 39,5 4 4,1 40,5 Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A, desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade do mo´vel apo´s 4 segundos? t0 t1 vm = f (t1)−f (t0) t1−t0 3,9 4 39,5 4 4,1 40,5 Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por vm = f (4) − f (t) 4 − t . Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por vm = f (t) − f (4) t − 4 . Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes: vm = f (4) − f (t) 4 − t = −[f (t) − f (4)] −(t − 4) = f (t) − f (4) t − 4 = vm. Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por vm = f (4) − f (t) 4 − t . Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por vm = f (t) − f (4) t − 4 . Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes: vm = f (4) − f (t) 4 − t = −[f (t) − f (4)] −(t − 4) = f (t) − f (4) t − 4 = vm. Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por vm = f (4) − f (t) 4 − t . Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por vm = f (t) − f (4) t − 4 . Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes: vm = f (4) − f (t) 4 − t = −[f (t) − f (4)] −(t − 4) = f (t) − f (4) t − 4 = vm. Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por vm = f (4) − f (t) 4 − t . Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por vm = f (t) − f (4) t − 4 . Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes: vm = f (4) − f (t) 4 − t = −[f (t) − f (4)] −(t − 4) = f (t) − f (4) t − 4 = vm. Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Noc¸a˜o intuitiva v = lim t→4 f (t) − f (4) t − 4 = lim t→4 5t2 − 5 · 42 t − 4 = lim t→4 5(t2 − 42) t − 4 = lim t→4 5��� �(t − 4)(t + 4) ��� �(t − 4) = lim t→4 5(t + 4) = 5(4 + 4) = 40 A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s. Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Definic¸a˜o Considere que uma grandeza y e´ uma func¸a˜o da grandeza x , isto e´, y = f (x). Temos que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y no ponto a sera´ dada por Ti = lim x→a f (x) − f (a) x − a . Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x − a, temos que esse limite e´ equivalente a Ti = lim h→0 f (a + h) − f (a) h . Observac¸a˜o Usando as notac¸o˜es ∆x = x − a e ∆y = f (x) − f (a), podemos escrever a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea como: Ti = lim ∆x→0 ∆y ∆x . Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Definic¸a˜o Considere que uma grandeza y e´ uma func¸a˜o da grandeza x , isto e´, y = f (x). Temos que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y no ponto a sera´ dada por Ti = lim x→a f (x) − f (a) x − a . Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x − a, temos que esse limite e´ equivalente a Ti = lim h→0 f (a + h) − f (a) h . Observac¸a˜o Usando as notac¸o˜es ∆x = x − a e ∆y = f (x) − f (a), podemos escrever a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea como: Ti = lim ∆x→0 ∆y ∆x . Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Interpretac¸a˜o Geome´trica Ti = lim x→a f (x) − f (a) x − a = lim∆x→0 ∆y ∆x = tgβ. Taxade Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)). Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto (x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por y − y0 = m(x − x0). Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos resolver o limite m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 . Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)). Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto (x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por y − y0 = m(x − x0). Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos resolver o limite m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 . Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)). Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto (x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por y − y0 = m(x − x0). Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos resolver o limite m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 . Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = lim x→1 (−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1) x − 1 = lim x→1 −x2 + 4x − 3 x − 1 = lim x→1 −����(x − 1)(x − 3) ��� �(x − 1) = lim x→1 −(x − 3) = −(1 − 3) = 2 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = lim x→1 (−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1) x − 1 = lim x→1 −x2 + 4x − 3 x − 1 = lim x→1 −����(x − 1)(x − 3) ��� �(x − 1) = lim x→1 −(x − 3) = −(1 − 3) = 2 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = lim x→1 (−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1) x − 1 = lim x→1 −x2 + 4x − 3 x − 1 = lim x→1 −����(x − 1)(x − 3) ��� �(x − 1) = lim x→1 −(x − 3) = −(1 − 3) = 2 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = lim x→1 (−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1) x − 1 = lim x→1 −x2 + 4x − 3 x − 1 = lim x→1 −����(x − 1)(x − 3) ��� �(x − 1) = lim x→1 −(x − 3) = −(1 − 3) = 2 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios m = lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = lim x→1 (−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1) x − 1 = lim x→1 −x2 + 4x − 3 x − 1 = lim x→1 −����(x − 1)(x − 3) ��� �(x − 1) = lim x→1 −(x − 3) = −(1 − 3) = 2 Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea Exerc´ıcios Como m = 2 e (x0, y0) = (1, 3) temos que a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto dado sera´ y − 3 = 2(x − 1), ou ainda, y = 2x + 1.
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