Algebra Linear - Luis Fernando - lista 6

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ÁLGEBRA LINEAR 
 PROF: LUIZ FERNANDO 
 LISTA 6 
 ASSUNTO: VETORES LI E LD – BASE E DIMENSÃO 
 
1- Exiba uma base para o subespaço gerado pelas matrizes 





00
11
 , 





10
01
 , 





11
11
 , e a seguir dê a 
dimensão desse subespaço. 
2- Verifique se os polinômios p, q, r abaixo são LI em P4 : 
p (x) = x3 - 5x2 + 1; q(x) = 2x4 + 5x -6; r(x) = x3 -5x + 2 . 
3- Mostrar que os vetores (1,0,-1) , (1,2,1) e (0,-3,2) formam uma base de R3. Exprimir cada um dos vetores da 
base canônica de R3 como uma combinação linear destes vetores. 
4- Sejam F = {(x, y, z, t); x = y = z = t}, G = {(x, y, z, t ); x = y e z = t}, H = {(x, y, z, t); x = y = z} e 
K = { (x, y, z, t); x + y + z + t = 0 }, exiba, justificando, uma base para cada subespaço acima. Dê as 
dimensões de cada subespaço acima. 
5- Seja F = {(x, y, z) ; x -2y + 4z = 0}. Obtenha uma base B = {u1, u2 ,u3} de R3 tal que u1 , u2 pertençam a F. 
6- Determine três vetores em R3 que sejam LD tais que dois quaisquer deles sejam LI. 
7- Seja V = M(2x2) , U = 






∈





Rzy,x,,
 zy
x-x
 , W = 






∈





Rz,y,x,,
zx-
yx
 
a) Mostre que U e W são subespaço de V, b) Exiba uma base de U, W, U∩W . 
c) Use o fato que dim(U+W) = dimU + dimW - dim( U∩W ) para determinar a dim(U+W). 
8- Mostre que os polinômios p(x) = 1, q(x) = x – 1 e r(x) = x2 – 3x + 1 formam uma base de P2 . 
Exprima g(x) = 2x2 – 5x + 6, como combinação linear dos elementos desta base. 
9- Ache uma solução não trivial para o sistema 





=−+−
=−++
=+++
02tz2y3x
0tzy2x
04t3z2yx
 e, a partir daí, obtenha 
uma combinação linear nula dos vetores u = (1,2,3), v = (2,1,-2), w = (3,1,1) e µ =(4,-1, -2), na qual os 
coeficientes não são todos nulos. 
10- Seja V um espaço vetorial. Mostre que se u, v e w são LI em V então u + v, v + w , w + u são LI em V. 
11- De exemplos de subespaço U e W de P2 tais que dimU = dimW = 2 e U+W = P2. A soma é direta? 
12- Seja V =M(2x2) e U = x 0
y 0
x,y R





 ∈






, .Ache um subespaço W de M(2x2) tal que M(2x2) = U⊕W. 
13- Seja U = {( z+2t, -2z-3t, z, t ) ∈ R4 ; z, t ∈ R}. i) Mostre que U é um subespaço de R4 ; ii) Exiba uma base 
de U.Justifique; iii) A partir de ii) dê a dim(U)