Cálculo II - Volume dos sólidos

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FACULDADE SANTA MARIA
Aplicações de Integrais 2016-1
RESUMO Muitas coisas que desejamos saber podem ser calculadas com integrais: volume dos sólidos, comprimento das curvas, a quantidade de trabalho necessária para bombardear líquidos do subsolo, as forças exercidas contra comportas as coordenadas de pontos onde objetos sólidos terão equilíbrio. 
Volume por Rotação em torno de um Eixo
Sólidos de revolução: Secções Transversais Circulares.
A aplicação mais comum do método de fatiamento é para sólidos de revolução. Sólidos de Revolução são sólidos cujas formas podem ser geradas pela revolução de regiões planas em torno de eixos.
A secção transversal típica de um sólido perpendicular ao eixo de revolução é um disco de raio R(x) e área. A(x) = π(raio)² = π[R(x)]².
Definição Volume de um Sólido
O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b é a integral de a a b. 
V = .
Exemplos:
A região entre a curva y = , 0 ≤ x ≤ 4, e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume.
Resolução:
Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado. O volume é 
V = . = R(x) = 
V == π unidades cúbicas
Use o método dos discos circulares para determinar o volume V do sólido S gerado pela revolução da região R sob o gráfico da função f dada, no intervalo indicado [a, b], em torno do eixo x. Trace o gráfico de f e do sólido S.
F(x) = x³ em [1, 2]
Solução
V = π= π= π= π. unidades cúbicas.
Para determinar o volume de um sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, de uma região compreendida entre o eixo y e uma curva x = R(y), c ≤ y ≤ d, usamos o mesmo método com x substituído por y. Nesse caso, a secção transversal circular é A(y) = π (R(y))².
Exemplo: determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, de uma região compreendida entre o eixo y e a curva x = 2 / y, 1 ≤ y ≤ 4.
Solução: desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado. O volume é
V = = = π= 4π=-4π.= 4π.[4 = 4π.= -4π.= 3π unidades cúbicas.
Quando R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b, como mostra a figura: 
 Y y = f(x)
 R
 
 y = g(x)
 a b x
Supondo que f(x) ≥ g(x), x [a, b], o volume do sólido T gerado, pela rotação de R em torno do eixo dos x, é dado por
 V = π
Ao invés de girar em redor dos eixo x, a região R gira em torno do eixo dos y.
 Y
 x = g(y)
 x
Nesse caso, temos V = π
A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenado.
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos 
V = π
 Y y = f(x)
 L R
 
 a b x
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos
 Y 
 d M
 R x = g(y)
 b 
 M x 
 
Exercícios de fixação
A região R, limitada pela curva y = x², e o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função y = sen x e o eixo dos x, de até .
A região limitada pela parábola cúbica y = x³, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por y = 1/x, y = 4 e x=4.
A região R, delimitada pela parábola x = y² + 1 e pela retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em torno da reta x=-1. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região delimitada pelos gráficos das equações: y = x +1, x = 0, x = 2 e y = 2
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
Y = x² + 1, x = ½, y = -2 e y = 2