As integrais triplas podem ser empregadas para analisar problemas que envolvem o cálculo do volume de sólidos. Nesse sentido, considere o sólido G ...

Para calcular o volume do sólido G no primeiro octante delimitado pelas superfícies X²+y⁷+27=9 e x⁷+y²+27=16, podemos utilizar a integral tripla. Primeiramente, é necessário encontrar os limites de integração para cada variável. Como o sólido está no primeiro octante, temos que x, y e z são maiores ou iguais a zero. Além disso, as superfícies se interceptam no ponto (1, 1), então podemos escolher os limites de integração para x e y como sendo de 0 a 1. Para z, temos que a superfície inferior é z = 0 e a superior é dada pela interseção das duas superfícies, ou seja, z = (9 - x² - y⁷)^(1/2) = (16 - x⁷ - y²)^(1/2). Portanto, a integral tripla para calcular o volume de G é dada por: V = ∫ de 0 até 1 ∫ de 0 até 1 ∫ de 0 até (9 - x² - y⁷)^(1/2) [16 - x⁷ - y²]^(1/2) dz dy dx Observe que a integral é um pouco complicada de ser resolvida analiticamente, então pode ser necessário utilizar métodos numéricos para obter uma aproximação do valor do volume.