Lista de Exercícios Retas e Planos - Geometria Analítica - Unijorge

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Lista de Exerc´ıcios - Retas e Planos
kakal moura@hotmail.com
Novembro 2015
1. Ache a equac¸a˜o da reta que:
(a) passa por (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x.
(b) passa por A(−4, 2, 1) e B(3,−1, 2).
(c) passa por A(−2, 3, 4) e e´ ortogonal ao mesmo tempo aos eixos x e
dos y.
(d) passa por A(2, 2, 4) e e´ perpendicular ao eixo XoZ .
2. Verificar se as retas r1 e r2 sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, deter-
minar o ponto de intersec¸a˜o:
(a) r1 : (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(1,−2, 3) e r2 : (x, y, z) = (−1, 2, 5) +
t(4, 3,−2)
(b) r1 :
{ x = 3 + h
y = 1 + 2h
z = 2− h
e r2 :
{ x = 5 + 3t
y = −3− 2t
z = 4 + t
(c) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x e r2 :
{ x = −t
y = −4− t
z = 2 + 2t
(d) r1 :
{
y = −3x+ 2
z = 2x+ 5
e r2 :
x+2
2 =
y−1
−6 =
z
4
(e) r1 :
{
x = 2 + t
y = 4− t
z = −t
e r2 :
{
y = 6− x
z = 2− x
3. Determine o aˆngulo entre as seguintes retas:
(a) r1 :
{
x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
e r2 :
x
2 =
y+6
1 =
z−1
1
(b) r1 :
{
y = −2x− 3
z = x− 2 e r2 : y =
z+11
−1 ;x = 4
1
(c) r1 :
{
x = 1
y
4 =
z−2
3
e r2 :
x−4
2 =
y
−1 =
z+1
−2
4. Determine o aˆngulo entre os planos pi1 : 2x+y−z+3 = 0 e pi2 : x+y−4 = 0.
5. Determine uma equac¸a˜o do plano p que passa pelo ponto P (1, 0, 1) e
conte´m a reta de equac¸a˜o r :
{
x− y + z + 1 = 0
2x+ y − z + 2 = 0
6. Determine um vetor normal ao plano:
(a) α : 2x− y + 1 = 0
(b) α :
{
x = 1 + t+ h
y = 1− t+ 2h
z = h
; t, h ∈ R
7. determine o ponto de intersec¸a˜o da reta r com o plano pi.
(a) r : x = 3t, y = 1− 2t, z = −t e pi : 2x+ 3y − 2z − 7 = 0
(b) r1 :
{
y = x− 10
z = x+ 1
e pi : 2x− y + 3z − 9 = 0
(c) r :
{ x = 4 + k
y = 3 + 2k
z = −2− 3k
e pi :
{ x = 2 + h+ 2t
y = −3− h− t
z = 1 + 3h− 3t
8. Estude a posic¸a˜o relativa dos planos a seguir, determinando sua intersec¸a˜o:
(a) α : 2x+ 6y − z + 1 = 0 e β : 4x+ 2y − 2z + 2 = 0
(b) α : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, 3) + h(0, 0, 1); t, h ∈ R e β : 2x + y −
z + 1 = 0
(c) α : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, 3) + h(0, 0, 1); t, h ∈ R e
r :
{
x = 4t
y = 1 + 2t
z = 2 + 5t− h
9. Escreva uma equac¸a˜o do plano α nos casos a seguir:
(a) α passa pelos pontos A(1, 0, 2) e B(2,−1, 3) e e´ paralelo ao vetor
v = (0, 1, 2).
(b) α passa pelso pontos A(3, 1,−1) e B(1, 0, 1) e e´ paralelo ao vetor CD,
sendo C(1, 2, 1) e D(0, 1, 0).
(c) α passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C(2, 1, 3).
10. Calcule a distaˆncia entre:
(a) O ponto A(1, 5, 7) e o ponto B(2, 4, 8)
(b) O ponto P (1, 1, 2) e o plano α : 2x− y + 2z + 4 = 0
(c) O ponto P (1, 1, 0) e a reta r : (x, y, z) = (2, 1, 0) + t(1, 2,−1); t ∈ R
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