Circuitos Seletivos em Freqüência

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Tópico 18 – Circuitos Seletivos em Freqüência 
Filtros Passa-Baixas 
 
No Tópico 16 vimos que o conceito de função de transferência fornece uma ponte entre a 
análise de circuitos com excitações senoidais pela Transformada de Laplace e por 
fasores. 
 
Embora a solução completa via Transformada de Laplace permita a análise do regime 
transitório, a resposta em regime estacionário para excitações senoidais pode ser 
rapidamente determinada através do conhecimento da função de transferência H(s). 
Vimos que, para uma excitação senoidal ( ) ( )θ+= wtAtx cos , a resposta em regime 
estacionário será dada por: 
 
( ) ( ) ( )( )jwHwtjwHAty p++= θcos . 
 
Assim, em cada freqüência de excitação, o circuito terá uma resposta diferente em 
amplitude e fase, que representa exatamente o indicado pela análise com fasores, onde 
vimos que para cada freqüência os elementos do circuito apresentam impedâncias 
diferentes, de modo que a resposta acaba por ser função da freqüência. 
 
No estudo dos circuitos seletivos em freqüência, estaremos interessados apenas na 
resposta do circuito em regime estacionário. Significa dizer que não estaremos 
preocupados com os termos amortecidos transitórios da forma te σ− , que desaparecem até 
o regime estacionário. Ou seja, consideraremos apenas os termos em que 1=− te σ , que é 
equivalente a amarrarmos σ = 0. Estaremos, assim como na análise com fasores, 
restringindo a variável de Laplace a jwjws =+= 0 . Graficamente, significa que 
estaremos analisando a função de transferência apenas sobre o eixo imaginário jw, ou 
sobre o plano por σ = 0. 
 
 
 
Exemplo 18.1 
Seja o circuito RL série. Queremos determinar o comportamento da queda de tensão 
sobre o resistor para duas diferentes freqüências de excitação. 
 
( ) ( )ttv 10cos101 = e ( ) ( )ttv 1000cos102 = 
 
 
Solução 
 
a) Por Fasores 
 
Para w=10 rad/s, ( ) ( )ttv 10cos10= 
o010=V , o01010 =Ω=RZ e o9011,0*10 == jZ L 
o
oo
o
o 71,595,9
901010
010010 −=
+

=
+
=
LR
R
R ZZ
ZVV 
 ( ) ( )o71,510cos95,9 −= ttvR 
+ 
 
vR(t) 
 
- 
v(t)
+
-
L
100mH
R
10
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Para w=1000 rad/s, ( ) ( )ttv 1000cos10= 
o010=V , o01010 =Ω=RZ e o901001,0*1000 == jZ L 
o
oo
o
o 29,84995,0
90100010
010010 −=
+

=
+
=
LR
R
R ZZ
ZVV 
 ( ) ( )o29,841000cos995,0 −= ttvR 
 
b) Por função de transferência 
 
( ) ( )
( )
( )sV
L
Rs
L
R
sLR
R
sVsV
sH
R
321
+
=
+
= 
( )
100
100
+
=
+
=
sL
Rs
L
R
sH 
 
Para s=jw=j10 rad/s, ( ) ( )ttv 10cos10= 
 ( ) ( )
o71,5995,0
10010
100
10 −=+
=
== jsH jjws 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )oop 71,510cos95,971,510cos995,0*10cos10 −=−=+= ttjwHwtjwHtvR 
 
Para s=jw=j1000 rad/s, ( ) ( )ttv 1000cos10= 
( ) ( )
o29,840995,0
1001000
100
1000 −=+
=
== jsH jjws 
 ( ) ( ) ( )oo 29,841000cos995,029,841000cos0995,0*10 −=−= tttvR 
 
Para o circuito do exemplo acima, repare que a excitação de freqüência mais baixa 
provoca uma resposta com amplitude bem maior (≈10x) do que a da resposta na 
freqüência mais alta. Observe, abaixo, as curvas para o módulo e para a fase da função 
de transferência H(s) vista pela excitação em função da freqüência. 
( ) ( )jwHjwH dB log20= 
Banda Passante Banda de Rejeição 
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A figura acima é montada variando-se a freqüência de excitação e determinando-se, para 
cada H(s) encontrado, o valor do módulo e do ângulo de fase. 
 
Repare que o circuito afeta a excitação diferentemente, de acordo com a freqüência, 
“privilegiando” as freqüências mais baixas, em detrimento das freqüências mais altas. 
Dentro de uma determinada faixa, as (excitações em) baixas freqüências são todas 
multiplicadas por aproximadamente o mesmo fator. A partir de um determinado valor de 
freqüência, o módulo da função de transferência vai caindo à medida que a freqüência 
aumenta, de modo que a excitação vai sendo cada vez mais atenuada pelo circuito, 
gerando uma resposta com amplitude cada vez menor. 
 
Por causa dessa característica de atenuar as (excitações de) altas freqüências, mantendo 
o mesmo ganho para as (excitações de) baixas freqüências, esse circuito é chamado de 
passa-baixas. Podemos conceber o que o circuito está filtrando as altas freqüências, 
razão pela qual é um filtro passa-baixas. 
 
Como veremos daqui pra frente, a filtragem pode ser vista como a utilização das 
características de amplitude e deslocamento de fase dos circuitos para rejeitar excitações 
em determinada faixa de freqüências em que eventualmente sejam indesejadas. 
 
 
Cumpre ressaltar que, no processo de filtragem discutido até aqui, estamos preocupados 
primordialmente com a amplitude da resposta em função da freqüência, de modo que os 
diferentes deslocamentos de fase introduzidos pelo circuito tornam-se efeitos colaterais. 
Existem, por outro lado, aplicações em que estamos interessados nos deslocamentos de 
fase introduzidos pelo circuito. Por exemplo, nos chamados equalizadores. 
 
 
 
18.2. Freqüência de corte 
 
Comentamos no exemplo anterior que dentro de uma determinada faixa as baixas 
freqüências são todas multiplicadas por aproximadamente o mesmo fator, e que a partir 
de um determinado valor de freqüência o módulo da função de transferência vai caindo à 
medida que a freqüência aumenta. Será que podemos definir um limite para essa faixa? 
 
Definimos a freqüência de corte wc como o valor de freqüência para o qual o módulo da 
função de transferência cai a 
( )
max2
1 HjwH c = , 
onde 
max
H é o máximo valor que a função de transferência atinge. 
 
Esse fator não é escolhido ao acaso: é para esse valor de freqüência que a potência 
transferida pelo circuito cai à metade em relação à máxima potência transmitida: 
 
( ) max2
1 PjwP c = . 
 
 
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 77 
Por exemplo, no caso do circuito RL série do Exemplo 18.1, observando o gráfico 
podemos afirmar que o máximo valor que a amplitude da função de transferência atinge é 
em jw=0, 
 
 ( ) 1
0
0max =
+
==
L
R
L
R
jHH (no gráfico, ( ) 01log20 = dB) 
Assim, 
 ( ) ( ) 2
1
2
1
max22
==
+
=
+
= H
L
Rw
L
R
L
Rjw
L
R
jwH
c
c
c 
( )
( ) ( ) ( )
222
22
2
2
2
1
L
RwL
R
L
Rw
L
R
c
c
+=∴=
+
 
Logo, 
 L
Rwc = 
 
Repare, então, que podemos ajustar o valor da freqüência de corte wc alterando os 
valores de R e de L. 
 
Mas será que apenas o circuito RL série é um filtro passa-baixas? Veja o exemplo a 
seguir. 
 
 
Exemplo 18.2 
Queremos determinar a função de transferência 
para a queda de tensão sobre o capacitor no 
circuito RC série ao lado. 
 
 
Solução 
 
Podemos facilmente determinar a função de transferência 
 
( ) ( )
( )
( )sV
RCs
RC
sRC
sCR
sCsVsV
sH
C
43421
1
1
1
1
1
1
+
=
+
=
+
= 
Logo, 
( )
RCs
RCsH 1
1
+
= 
 
Repare que assim como no caso anterior, o módulo da função de transferência é máximo 
para s=jw=0 rad/s: 
 ( ) 110
1
0max =
+
==
RC
RCjHH . 
 
v(t) C
1mF
+
-
R
10 + 
 
vC(t) 
 
- 
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 78 
Assim, 
 ( ) ( ) 2
1
2
1
1
1
1
1
max22
==
+
=
+
= H
RCw
RC
RCjw
RCjwH
c
c
c 
( )
( ) ( ) ( )
222
22
2
112
2
1
1
1
RCwRC
RCw
RC
c
c
+=∴=
+
 
Logo, 
 RCwc
1
= .Para os valores de R e C indicados, 
( )
100
100
1
1
+
=
+
=
sRCs
RCsH 
que é exatamente a mesma função de transferência para a queda de tensão sobre o 
resistor no circuito RL série do Exemplo 18.1! Então, nos deparamos, novamente, com 
um filtro passa- baixas. 
 
 
 
Podemos extrair do exemplo acima que uma mesma função de transferência, ou uma 
mesma filtragem, pode ser realizada de diferentes maneiras. De fato, os dois circuitos 
acima estão realizando a mesma função de transferência 
( )
c
c
ws
w
sH
+
= 
com a diferença que a freqüência de corte é dada por RCwc
1
= para o circuito RC e por 
L
Rwc = para o circuito RL. 
 
O problema de achar o circuito que realize uma determinada função de transferência é 
chamado de problema de síntese. 
 
Por exemplo, é o que fazemos quando projetamos um filtro para uma determinada 
aplicação. Primeiro determinamos a função de transferência que desejamos, depois 
encontramos um circuito que realize aquela função de transferência. 
 
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Tópico 19 –Filtros Passa-Altas 
 
 
Vamos voltar ao circuito RL série que estudamos no Tópico 18. Vimos que a função de 
transferência da excitação para a queda de tensão sobre o resistor é da forma 
 
( )
c
c
ws
w
sH
+
= , 
onde a freqüência de corte é dada por L
Rwc = . Vimos, também, que essa função de 
transferência representa um filtro passa-baixas. 
 
 
A seguir, vamos retomar o circuito RL série, mas agora analisando a queda de tensão 
sobre o indutor. 
 
 
Exemplo 19.1 
Queremos analisar a queda de tensão sobre o indutor para três diferentes excitações: 
 
( ) 100 =tv , ( ) ( )ttv 10cos101 = e ( ) ( )ttv 1000cos102 = 
 
 
Solução 
 
a) Por Fasores 
 
Para w=0 rad/s, ( ) 10=tv 
o010=V , o01010 =Ω=RZ e o9000*10 == jZ L 
o
oo
o
o 900
900010
900010 =
+

=
+
=
LR
L
L ZZ
ZVV 
 ( ) 0=tvL 
Obviamente que este resultado está compatível com o fato de que o indutor é um curto-
circuito quando o circuito atinge o regime de corrente constante. 
 
Para w=10 rad/s, ( ) ( )ttv 10cos10= 
o010=V , o01010 =Ω=RZ e o9011,0*10 == jZ L 
o
oo
o
o 29,84995,0
901010
901010 =
+

=
+
=
LR
L
L ZZ
ZVV 
 ( ) ( )o29,8410cos995,0 += ttvL 
 
Para w=1000 rad/s, ( ) ( )ttv 1000cos10= 
o010=V , o01010 =Ω=RZ e o901001,0*1000 == jZ L 
o
oo
o
o 71,595,9
90100010
90100010 =
+

=
+
=
LR
L
L ZZ
ZVV 
 ( ) ( )o71,51000cos95,9 += ttvL . 
 
vL(t) 
+ - 
v(t)
+
-
L
100mH
R
10
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 80 
b) Por função de transferência 
 
( ) ( )
( )
( )sV
L
Rs
s
sLR
sL
sVsV
sH
L
321
+
=
+
=
 
( )
100+
=
+
=
s
s
L
Rs
s
sH 
 
Para s=jw=j0 rad/s, ( ) 10=tv 
 ( ) ( )
o900
1000
0
0 =+
=
== j
j
sH jjws 
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0010cos*0*10cos10 =+=+= op tjwHwtjwHtvL 
Esta função de transferência apresenta um zero em s=0. 
 
Para s=jw=j10 rad/s, ( ) ( )ttv 10cos10= 
 ( ) ( )
o29,840995,0
10010
10
10 =+
=
== j
j
sH jjws 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )oop 29,8410cos995,029,8410cos0995,0*10cos10 +=+=+= ttjwHwtjwHtvL 
 
Para s=jw=j1000 rad/s, ( ) ( )ttv 1000cos10= 
( ) ( )
o71,5995,0
1001000
1000
1000 =+
=
== j
j
sH jjws 
 ( ) ( ) ( )oo 71,51000cos95,971,51000cos995,0*10 +=+= tttvL 
 
 
E se continuarmos a aumentar a freqüência de excitação? Basta calcular o limite da 
função de transferência quando ∞→w : 
 ( ) 1limlimlim ==
+
=
∞→∞→∞→ jw
jw
L
Rjw
jwjwH
www
 
Significa que para freqüências muito altas o circuito não atenua a excitação. 
 
 
 
Observe que o circuito responde a altas freqüências ( )( )1≈jwH , enquanto que atenua as 
baixas freqüências, chegando a apresentar resposta zero a uma excitação constante, que 
chamamos de DC. Por “deixar passar” as altas freqüências e atenuar as baixas, estamos 
lidando com um filtro passa-altas. 
 
Na página seguinte é mostrado o gráfico para o módulo e o ângulo de fase para a função 
de transferência considerada acima. Repare que as baixas freqüências são atenuadas, 
enquanto que as altas freqüências praticamente não ( ( )( ) ( ) 01log20log20 =≈jwH dB). 
 
Compare as curvas com o gráfico do filtro passa-baixas estudado no Tópico 18. Enquanto 
o filtro passa-baixas insere um deslocamento de fase negativo, o filtro passa-altas insere 
um deslocamento positivo. Em ambos os casos esse desvio de fase é maior na banda de 
rejeição. 
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 81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que um mesmo circuito pode servir como um filtro passa-baixas ou como um 
filtro passa-altas, dependendo de onde é definida a saída (e, por conseqüência, a função 
de transferência). 
 
Será, então, que podemos esperar um resultado semelhante para o circuito RC série? 
 
 
Exemplo 19.2 
 
 
Queremos, agora, determinar a função de 
transferência para a queda de tensão sobre o 
resistor no circuito RC série. 
 
 
Solução 
 
A função de transferência será 
 
( ) ( )
( )
( )sV
RCs
s
sRC
sRC
sCR
R
sVsV
sH
R
43421
111 +
=
+
=
+
=
 
Logo, 
( )
1001 +
=
+
=
s
s
RCs
s
sH , 
que é a mesma função de transferência do Exemplo 19.1. 
 
( ) ( )jwHjwH dB log20= 
Banda Passante Banda de Rejeição 
v(t) C
1mF
+
-
R
10
+ vR(t) - 
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E a freqüência de corte? Vejamos para o circuito RL série. A função de transferência 
( )
L
Rs
s
sH
+
= 
atinge seu valor máximo de amplitude para ∞→= jws . 
 ( ) 1limlim
2
22
=
+
=
∞→∞→
L
Rw
wjwH
ww
 
Então, na freqüência de corte wc teremos 
( )
max2
1 HjwH c = 
ou 
2
2
22
22
21
2
1
cc
c
c wL
Rw
L
Rw
w
=+∴=
+
 
 
Logo, 
 L
Rwc = 
 
que é a freqüência de corte que encontramos para a configuração passa-baixas, no 
mesmo circuito RL série do Tópico 18. Mas por quê? 
 
Para esse circuito RL série, a função de transferência para a queda de tensão sobre o 
resistor é 
( )
c
c
PB
ws
w
sH
+
= , 
enquanto que a função de transferência para a queda de tensão sobre o indutor é 
( )
c
PA
ws
s
sH
+
= . 
 
Vimos no passa-baixas que a freqüência de corte representa o pólo da função de 
transferência. Repare que ela também representa o pólo da função de transferência 
passa-altas. Ora, esse resultado já era esperado. Lembre-se que em um mesmo circuito 
as funções de transferência apresentam os mesmos pólos. No caso, isso irá representar 
uma mesma freqüência de corte. 
 
De fato, compare a função de transferência do passa-baixas do Exemplo 18.2 com a do 
passa-altas do Exemplo 19.2, ambos circuitos RC série. Para ambos a freqüência de 
corte é 
RCwc
1
= , 
confirmando que a freqüência de corte é característica ao circuito. 
 
 
A seguir, vamos analisar uma aplicação prática de um filtro passa-altas. 
 
 
 
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 83 
Exemplo 19.3 
Em um circuito eletrônico amplificador, é utilizado um filtro passa-altas para cascatear 
dois estágios do circuito. A saída do primeiro estágio é uma senóide com amplitude de 2V 
pico-a-pico e na freqüência de 1 kHz, oscilando em torno de um valor de 4 V. O objetivo 
do filtro é que o sinal apresentado ao 2o estágio não possua componente DC, isto é, que aexcitação esteja oscilando em torno de 0 V, mantendo, porém, a mesma amplitude. 
Queremos determinar o sinal apresentado ao segundo estágio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
O primeiro passo é representar matematicamente a entrada do filtro, que é a saída do 
primeiro estágio, e que representa uma excitação senoidal adicionada de um valor 
constante. É necessário converter a freqüência em Hz para rad/s, lembrando que 
Hz
s
rad fw pi2= . Além disso, a amplitude dada é pico-a-pico. A entrada do filtro será, então, 
 ( ) ( ) ( )ttpitv 6283cos410*1**2cos
2
24 3 +=+= 
 
O filtro é um circuito RC série onde estamos definindo como saída a queda de tensão 
sobre o resistor. Trata-se, então, de um filtro passa-altas 
( )
100
10*10
11
64
+
=
+
=
+
=
−
s
s
s
s
RCs
s
sH
 
com freqüência de corte sradwc /100= . 
 
Pelo Teorema da Superposição, podemos calcular a resposta total pela soma das 
respostas para cada excitação. A resposta referente ao valor constante será nula, pois 
( ) 00 =jjwH 
Já para sradw /6283= , 
 ( ) o9118,09999,06283 =jH 
de modo que 
( ) ( )o9118,06283cos9999,0 += ttvR . 
 
Então, apesar de uma provocar uma ligeira atenuação e um leve deslocamento de fase 
no sinal senoidal, o filtro cumpre sua função de filtrar a componente DC na saída do 
primeiro estágio. 
 
Observe que implicitamente estamos considerando que os estágios não exercem 
influência nos cálculos do filtro. Mas será que essa hipótese é válida? Veremos em uma 
oportunidade posterior. 
 
1o Estágio 
Amplificador 
 
2o Estágio 
Amplificador 
1uF R
10k
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 84 
Tópico 20 –Filtros Passa-Faixa e Rejeita-Faixa 
 
20.1. Filtros Passa-Faixa 
 
Suponha que estamos interessados em analisar a queda de tensão sobre o resistor no 
circuito RLC série abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20.1 – Circuito RLC série 
 
Podemos facilmente determinar a função de transferência para vR(t). Por divisor de 
tensão, 
 
( ) ( ) ( ) ( )sV
LCL
R
ss
L
R
s
sRCLCs
sRC
sV
R
sC
sL
R
sVsVR 111 22 ++
=
++
=
++
= , 
de modo que a função de transferência é 
( )
LCL
R
ss
L
R
s
sH 12 ++
= 
Para uma excitação constante (w=0), no regime estacionário o capacitor irá se tornar um 
circuito aberto, impedindo que passe corrente pelo resistor, de modo que a saída do 
circuito será zero. De fato, o módulo da função de transferência 
 
( )
22
21






+





−
=
L
R
ww
LC
L
R
w
jwH (1) 
é zero para w=0. 
 
Já para uma excitação em uma freqüência muito alta, tendendo ao infinito, será o indutor 
que irá representar um impedância muito alta (lembre-se que jwLZ L = ). Assim, como no 
caso anterior, não haverá passagem de corrente pelo o resistor, e a saída será zero: 
 
( ) 0lim
1
limlim 222
2
==






+





−
=
∞→∞→∞→ w
L
R
w
L
R
ww
LC
L
R
w
jwH
www
. 
 
+ 
 
vR(t) 
 
- 
v(t)
C+
-
L
R
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 85 
Agora, isso não significa que o circuito não deixe passar nada. Pelo contrário, existirá uma 
freqüência w0 na qual a impedância do capacitor e a do indutor terão o mesmo módulo, 
mas obviamente com sinais contrários. 
 
Nessa freqüência w0, chamada de freqüência de ressonância, a associação em série das 
duas impedâncias representará um curto-circuito ( )0=+ LC ZZ , de modo que a excitação 
aparecerá integralmente sobre o resistor. Assim, nessa freqüência a função de 
transferência atingirá seu módulo máximo, 1
max
=H . 
 
A freqüência w0 pode ser determinada fazendo-se 
 
( ) ( ) 





−−=∴−=
Lw
jLjwjwZjwZ
o
ooCoL 
de modo que 
 
LC
wo
1
= 
 
Já calculamos o módulo da função de transferência em (1). Seu ângulo de fase será 
 
( ) {
444 3444 21
o
adordenodofase
numeradordofase w
LC
L
R
w
tg
L
Rjww
LC
L
Rjw
jw
min
2
1
2 1
901












−
−=












++−
=
−θθ . 
Abaixo estão exemplos de gráficos da amplitude e fase da função de transferência H(jw). 
Figura 20.2 – Amplitude e ângulo de fase de HPF(jw) 
 
Banda Passante 
Banda de Rejeição Banda de Rejeição 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 86 
Repare que o circuito rejeita as baixas e as altas freqüências, existindo, contudo, uma 
faixa intermediária de freqüências que o circuito deixar passar. Por causa desse 
comportamento, estamos tratando de um filtro passa-faixa. 
 
E quais são as freqüências de corte wc1 e wc2 que determinam o limite entre a banda 
passante e as bandas de rejeição? 
 
As freqüências de corte wc1 e wc2 são definidas pelo mesmo critério: 
( )
max2
1 HjwH c = 
Assim, 
 
( ) 1
2
1
1 222
=






+





−
=
L
R
ww
LC
L
R
w
jwH
cc
c
c , 
dando origem à equação de 2o grau 
 012 =−±
LCL
R
ww cc 
As duas raízes dessa equação quem tem significado físico serão 
 





+





+−=
LCL
R
L
R
wc
1
22
2
1 e 





+





+=
LCL
R
L
R
wc
1
22
2
2 
 
 
Repare na figura que a banda passante do filtro é dada por 
 12 cc ww −=β 
Assim, se substituirmos os valores das freqüências de corte, teremos para o circuito RLC 
série 
 
L
R
LCL
R
L
R
LCL
R
L
R
=





+





−+





+





+=
1
22
1
22
22
β 
 
Utilizando as expressões para wc1 e wc2, é fácil verificar que a freqüência central w0 é a 
média geométrica das duas freqüências de corte: 
 120 cc www = . 
 
Além da freqüência central, das duas freqüências de corte e da banda passante, um 
quinto parâmetro que caracterize o filtro passa-faixa é o fator de qualidade, definido como 
 β
0:
wQ = , 
 
que para nosso circuito RLC série é dado por 
 
CR
L
L
R
LCQ 2
1
: == 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 87 
Sabendo que 
LC
wo
1
= e que L
R
=β , vemos que a função de transferência (1) do 
filtro passa-faixa tem a forma 
( ) 2
0
2 wss
s
sH PF
++
= β
β
. 
 
 
 
20.2. Filtros Rejeita-Faixa 
 
Para o mesmo circuito RLC série, queremos definir, agora, a saída como a queda de 
tensão na associação em série do capacitor com o indutor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre que, na freqüência de ressonância w0, a associação em série das duas 
impedâncias representará um curto-circuito ( )0=+ LC ZZ , que apresenta queda de tensão 
igual a zero. Ou seja, ( ) 00 =jwH RF . Já vimos que a freqüência w0 é dada nesse circuito 
por 
LC
wo
1
= . 
 
Se a excitação for, agora, um sinal constante (w=0), em regime estacionário o indutor será 
equivalente a um curto-circuito e o capacitor a um circuito aberto. Como não haverá fluxo 
de corrente, não há queda de tensão sobre o resistor, de modo que a excitação aparecerá 
inteiramente sobre o capacitor e, consequentemente, sobre w0(t). Assim, podemos afirmar 
que ( ) 10 =jH RF . 
 
Já no caso de uma freqüência muito alta, tendendo para o infinito, o capacitor 
representará um curto-circuito e o indutor um circuito aberto. Semelhantemente, não há 
fluxo de corrente, de modo que não há queda de tensão sobre o resistor. A excitação 
aparece, então, inteiramente sobre o indutor e, novamente, sobre w0(t).Podemos, pois, 
afirmar que ( ) 1lim =
∞→
jwH RF
w
. 
 
Vamos confirmar essa análise inicial determinando a função de transferência para vo(t). 
 
Por divisor de tensão, 
 
( ) ( ) ( ) ( )sV
LCL
R
ss
LC
s
sRCLCs
LCs
sV
R
sC
sL
sC
sL
sVsVo 1
1
11
1
2
2
2
2
++
+
=
++
=
++
+
= , 
 
+ vo(t) - 
v(t)
C+
-
L
R
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 88 
de modo que a função de transferência é 
( )
LCL
R
ss
LC
s
sH 1
1
2
2
++
+
= (2) 
Assim, 
 
( )
22
2
2
1
1






+





−
−
=
L
R
ww
LC
w
LCjwH 
 
Repare que H(s) realmente apresenta um zero em 
LC
wo
1
= . Além disso, é fácil 
comprovar que ( ) 10 =jH e que ( ) 1lim =
∞→
jwH
w
. 
 Abaixo estão os gráficos da amplitude e fase da função de transferência H(jw). 
 
Observe que o filtro deixa passar as baixas e as altas freqüências, enquanto que atenua 
uma faixa central. Por esse seu comportamento, esse circuito está realizando um filtro 
rejeita-faixa. 
 
Para determinar a largura de banda desse circuito, precisamos conhecer as freqüências 
de corte wc1 e wc2. A função de transferência atinge seu valor máximo em w=0 ou 
em ∞→w , de modo que 1
max
=H . Assim, 
Banda de Rejeição 
Banda Passante Banda Passante 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 89 
( ) 1
2
1
1
1
22
2
2
=






+





−
−
=
L
R
ww
LC
w
LCjwH
cc
c
c 
Segundo a mesma manipulação algébrica que realizamos anteriormente, determinamos 
as duas freqüências de corte 
 





+





+−=
LCL
R
L
R
wc
1
22
2
1 e 





+





+=
LCL
R
L
R
wc
1
22
2
2 
 
Podemos, então, facilmente determinar a largura de banda e o fator de qualidade: 
 
L
R
ww cc =−= 12β e CR
LwQ 20: == β 
Podemos identificar que o filtro rejeita-faixa possui uma função de transferência da forma 
 
( ) 2
0
2
2
0
2
wss
ws
sH RF
++
+
= β . 
 
 
Algumas observações sobre os filtros Passa-Faixa e Rejeita-Faixa 
 
1a) Embora o filtro possua 5 figuras de mérito (freqüência central, duas freqüências de 
corte, banda passante e fator de qualidade), existem apenas dois graus de liberdade. Ou 
seja, basta definir apenas duas delas para amarrar todas as outras. 
 
2a) As freqüências de corte podem ser reescritas por 
2
2
22 oc
ww +





+±= ββ 
 
3a) O circuito abaixo também realiza um passa-faixa em vo(t) e um rejeita-faixa em vR(t). 
Para verificar, basta achar as funções de transferência e comparar com 
( ) 2
0
2 wss
s
sH PF
++
= β
β
 e ( ) 2
0
2
2
0
2
wss
ws
sH RF
++
+
= β . 
De fato, teremos 
RC
1
=β , 
LC
wo
1
= , 
L
CRQ
2
:= , 





+





+±=
LCRCRC
wc
1
2
1
2
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v(t) C
+
-
L
R
+ vR(t) - 
+ 
 
vo(t) 
 
- 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 90 
Tópico 21 – Carregamento de Filtros e 
Resposta de Circuitos de 2a ordem 
 
21.1. Carregamento de Filtros 
 
Até o momento, temos analisado o comportamento de filtragem dos circuitos sob a 
hipótese de que eles estejam isolados de qualquer circuito. Essa, porém, não é a situação 
que encontramos na prática. O filtro é parte de um circuito maior. 
 
Vamos avaliar, então, qual é o efeito sobre nosso filtro se o ligarmos a um outro circuito 
elétrico. 
 
 
Exemplo 21.1 
 
No Exemplo 19.3, vimos que um filtro passa-altas pode ser utilizado para realizar o 
acoplamento entre dois estágios amplificadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao analisar o filtro, desconsideramos qualquer influência do 2o estágio sobre o filtro. 
Queremos descobrir, agora, qual a influência de uma impedância de entrada Zi(s) do 2o 
estágio sobre o filtro. Vamos considerar uma impedância de entrada resistiva Zi(s)=Ri. 
 
Solução 
No circuito equivalente para o filtro considerando o 2o estágio, iremos substituir o 2o 
estágio por sua impedância de entrada Ri, que aparecerá em paralelo com o resistor R. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos chamar de Req a resistência equivalente ao paralelo entre Ri e R. 
 
RR
RR
R
i
i
eq +
= 
Por divisor de tensão 
 ( ) ( ) ( )sV
CsR
CsR
sCR
R
sVsV
eq
eq
eq
eq
o 11 +
=
+
= , 
 
 
1o Estágio 
Amplificador 
 
2o Estágio 
Amplificador 
1uF R
10k
+ 
 
vo(t) 
 
- 
+
-
v Ri
C
1uF
R
10k
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 91 
de modo que a função de transferência para o passa-altas carregado será 
 ( )
CRs
s
sH
eq
c 1+
= . 
 
Vamos comparar a função de transferência Hc(s) com carregamento com a função de 
transferência H(s) para o filtro não-carregado 
 ( )
RCs
s
ws
s
sH
c
1+
=
+
= . 
Repare que a carga Ri altera a freqüência de corte wc do filtro. Como o paralelo é sempre 
menor do que o menor valor das resistências, podemos afirmar que RReq < , de modo que 
a freqüência de corte do filtro carregado será maior: 
 
RCCR
w
eq
c
11
>= . 
Uma maior freqüência de corte significa uma menor banda passante para esse filtro 
passa-altas. Abaixo está uma comparação da resposta em freqüência entre o filtro não-
carregado e o filtro carregado com Ω= kRi 10 . 
Para esse passa-altas de 1a ordem, a amplitude máxima da função de transferência 
continuará a ser igual a 1: 
 
 
( ) dBjwHH
w
01lim
max
===
∞→
. 
 
 
No exemplo acima, repare que à medida que a impedância de entrada Ri do 2o estágio 
cresce, a impedância equivalente Req tende ao valor de R, 
 R
RR
RR
R
i
i
ReqR ii
=
+
=
∞→∞→
limlim , 
e o filtro tende a ter o comportamento do filtro não-carregado. Um resultado óbvio disso é 
que o ideal é que o circuito posterior ao filtro possua impedância de entrada muito alta. 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 92 
Vamos, agora, analisar o efeito do carregamento sobre outra realização de passa-altas. 
 
 
Exemplo 21.2 
Queremos analisar o efeito de uma impedância de entrada Zi(s)=Ri sobre o passa-altas de 
1a ordem abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
O paralelo entre ZL(s) e Ri será: 
 
sLR
sLR
Z
i
i
eq +
= 
Por divisor de tensão: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sVRRRRsL
LsR
LsRsRLRR
LsR
sV
sLR
sLR
R
sLR
sLR
sV
ZR
Z
sVsV
ii
i
ii
i
i
i
i
i
eq
eq
o ++
=
++
=
+
+
+
=
+
= 
de modo que, 
 
( ) ( )
( )
( )
( ) L
R
RR
R
s
RR
R
s
RRL
RR
s
RRL
LR
s
sH
i
i
i
i
i
i
i
i
c
+
+
+
=
+
+
+
= 
 
Se compararmos essa função de transferência Hc(s) do filtro carregado com a função de 
transferência H(s) do filtro não-carregado 
( )
L
Rs
s
sH
+
= 
veremos que a freqüência de corte aparece multiplicada pelo fator 
RR
R
K
i
i
+
= . 
Como K<1, podemos afirmar que o filtro carregado apresentará uma freqüência de corte 
menor, e, conseqüentemente, uma maior largura de banda. 
 
Contudo, além disso, o módulo da função de transferência também aparece multiplicado 
pelo fator K<1. Assim, podemos esperar que o filtro carregado apresente uma amplitude 
máxima da função de transferência menor do que a do filtro não-carregado. 
 
 De fato,( ) 1lim
max
<=
+
==
∞→
K
RR
RjwHH
i
i
c
w
 
v(t) Ri
L
100mH
+
-
R
10
+ 
 
vo(t) 
 
- 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 93 
 
Na figura abaixo está uma comparação da resposta em freqüência entre o filtro não-
carregado e o filtro carregado com Ω= 10iR . Repare que a freqüência de corte realmente 
diminui com o carregamento. 
 
 
 
Enquanto no circuito passa-altas do Exemplo 21.1 o carregamento provocou a diminuição 
da banda passante pelo aumento da freqüência de corte, já no circuito também passa-
altas do Exemplo 21.2 o carregamento provocou o aumento da banda passante devido à 
diminuição da freqüência de corte filtro. Além disso, nesse último circuito ainda houve a 
diminuição do módulo da função de transferência. 
 
Repare que tanto a variação na freqüência de corte quanto na amplitude são função da 
impedância de entrada do estágio subseqüente. Assim, na hora do projeto do filtro é 
necessário um conhecimento aproximado dessa impedância de entrada para que o 
projeto do filtro seja adequado. 
 
Os filtros realizados apenas com resistores, indutores e capacitores são chamados de 
filtros passivos. Isso porque nesses circuitos o sinal de saída sempre apresenta menos 
potência do que o sinal de entrada. Uma outra característica dos filtros passivos é o efeito 
de carregamento que acabamos de analisar, que é a dependência dos parâmetros do 
filtro em relação à impedância de entrada do estágio seguinte. 
 
Essas duas limitações dos filtros passivos são motivações para a utilização de filtros 
ativos. 
 
 
 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 94 
21.2. Resposta de 2a Ordem 
 
No nosso estudo de filtros, analisamos filtros passa-baixas e passa-altas de 1a ordem: 
( )
c
c
PB
ws
w
sH
+
= e ( )
c
PA
ws
s
sH
+
= . 
 
Utilizando nosso conhecimento de análise pela Transformada de Laplace, podemos 
determinar a resposta vo(t) dos dois filtros a um degrau de amplitude K: ( ) ( )tKutv = : 
Passa-Baixas 
 
( ) ( )
cc
c
PBo
ws
K
s
K
ws
Kw
s
K
sHsV
+
−=
+
== ( ) ( ) ( )tuKetKutv two c−−=∴ 
Passa-Altas 
 ( ) ( )
c
PAo
ws
K
s
K
sHsV
+
== ( ) ( )tuKetv two c−=∴ 
Repare que a função de transferência do filtro passa-altas possui um zero para jw=0, de 
modo que o circuito irá apresentar resposta ao degrau (jw=0) nula em estado estacionário. 
Já a função de transferência do filtro passa-baixas apresenta ( ) 10 =jH , de modo que a 
resposta em estado estacionário do circuito é a própria excitação. 
 
Se prestarmos atenção ao regime transitório para os dois circuitos, veremos que ambos 
os filtros apresentam apenas termos amortecidos da forma te σ− . Isso era esperado, uma 
vez que os circuitos são de 1a ordem (possuem apenas 1 elemento reativo), de modo que 
a função de transferência do circuito apresenta apenas 1 pólo. 
 
Ora, já vimos que são os pólos da função de transferência que caracterizam a resposta 
transitória. De fato, basta verificar que a resposta ao degrau para os dois filtros apresenta 
termos da forma twce− , onde a freqüência de corte wc é um pólo da função de 
transferência. Vimos também que pólos complexos só aparecem na forma de complexos 
conjugados. 
 
Assim, podemos concluir que circuitos de 1a ordem sempre apresentarão apenas 1 pólo 
real, de modo que a resposta transitória sempre será na forma de um amortecimento puro 
te σ− . Já nos circuitos de 2a ordem, como a função de transferência apresenta 2 pólos, é 
possível o aparecimento de pólos que sejam complexos conjugados. Ou também 
podemos ter 2 pólos reais. O que vamos analisar a partir de agora é a resposta transitória 
de circuitos de 2a ordem, em virtude de seus pólos serem reais ou complexos. 
 
Vamos voltar ao circuito RLC série abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vo(t) 
+ - 
v(t)
C+
-
L
R
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 95 
Dessa vez, queremos a função de transferência de v(t) para a queda de tensão vo(t) sobre 
o capacitor: 
 
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
2 ++
=
++
=
RCsLCs
sV
sC
sLR
sCsVsV ooo 
de modo que 
 
( ) 2
0
2
2
0
2
2
1
1
wss
w
LCL
R
ss
LCsH PB
++
=
++
= β 
Como veremos melhor mais a frente, a função de transferência representa um filtro 
passa-baixas, só que de 2a ordem. 
 
A transformada da resposta a um degrau ( ) ( )tKutv = será 
 
( ) ( )
LC
s
L
R
s
L
RK
s
K
wss
sK
s
K
s
K
wss
w
sVo 1220
22
0
2
2
0
++
−=
++
+
−=
++
= β
β
β 
Repare que o segundo termo possui pólos ditados por um polinômio do 2o grau, de modo 
que podem aparecer tanto pólos reais quanto pólos complexos conjugados. De fato, será 
a escolha dos valores de R, L e C que irá determinar a natureza dos pólos de H(s). 
 
Os pólos de H(s) são dados por: 
 
LCL
R
L
RLCL
R
L
R
p 14
2
1
22
14 2
2
−




±−=
−




±−
= 
 
Podemos afirmar que 
se 014
2
<−





LCL
R
 então os pólos serão complexos conjugados. 
se 014
2
=−





LCL
R
 então os pólos serão reais e iguais. 
se 014
2
>−





LCL
R
 então os pólos serão reais e distintos. 
 
Para facilitar a análise, vamos considerar um degrau unitário ( ) ( )tutv = e vamos assumir 
valores para os elementos: HL 1= e FC 1= . 
 
 
1o caso) Seja Ω= 10R . 
Teremos 
 { }1010,0;8890,996
2
15
1*1
14
1
10
2
1
1*2
10 2
−−=±−=−




±−=p 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 96 
de modo que a expansão em frações parciais será 
( )
1010,0
0103,1
8890,9
01031,01
2
0
2
2
0
+
−
+
+=
++
=
ssss
K
wss
w
sVo β 
 
e a resposta ao degrau unitário ( ) ( )tutv = será da forma 
 ( ) ( ) ( ) ( )tuetuetutv tto 1010,08890,9 0103,101031,0 −− −+= 
 
Repare que nesse caso em que os pólos da função de transferência são reais e distintos, 
a resposta transitória só apresenta termos puramente amortecidos. Dizemos, então, que a 
resposta está superamortecida. 
 
 
2o caso) Seja Ω= 2R . 
Teremos 
 { }1;10
2
11
1*1
14
1
2
2
1
1*2
2 2
−−=±−=−




±−=p 
 
de modo que a expansão em frações parciais será 
( ) ( ) 1
1
1
11
22
0
2
2
0
+
−
+
−=
++
=
ssss
K
wss
w
sVo β 
 
e a resposta ao degrau unitário ( ) ( )tutv = será da forma 
 ( ) ( ) ( ) ( )tuetutetutv tto −− −−= 
 
Esse caso em que o pólo da função de transferência é um real com multiplicidade dois 
representa o caso limite entre pólos reais e pólos complexos. Dizemos que a resposta 
está criticamente amortecida. 
 
 
3o caso) Seja Ω= 1R . 
Teremos 
 






+−−−=−±−=−




±−=
2
35,0;
2
35,03
2
15,0
1*1
14
1
1
2
1
1*2
1 2 jjp 
 
de modo que a expansão em frações parciais será 
( )
2
35,0
15057735.0
2
35,0
15057735.01
2
0
2
2
0
jsjsss
K
wss
w
sVo
++
−
+
−+

+=
++
=
oo
β 
e a resposta ao degrau unitário ( ) ( )tutv = será da forma 
 
 ( ) ( ) ( )tutetutv to 






++= − o150
2
3
cos1547,1 5,0 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 97 
Nesse caso em que os pólos da função de transferência são complexos conjugados, a 
resposta transitória ainda é amortecida, apresentando, contudo, uma oscilação. Dizemos, 
então, que a resposta está subamortecida. 
 
A figura abaixo mostra as respostas ao degrau para os três tiposde amortecimento. 
O perfil da resposta transitória, que é ditado pela característica real ou complexa dos 
pólos, está diretamente relacionado com a característica de filtragem do circuito, dada por 
( )jwH . Na figura abaixo, observamos como o módulo da função de transferência é 
alterado de acordo com os pólos de ( )sH . 
Você consegue explicar por que quanto mais subamortecido o circuito maior será o pico 
apresentado pelo módulo da função de transferência? 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 98 
Tópico 22 – Diagramas de Bode 
 
Em nossa análise dos circuitos seletivos em freqüência, os filtros, uma ferramenta 
fundamental tem sido o gráfico do módulo e da fase da função de transferência H(s) sobre 
o eixo das freqüências (H(jw)). Afinal, já sabemos que, para uma excitação senoidal 
( ) ( )θ+= wtAtx cos , a resposta em regime estacionário será dada por: 
( ) ( ) ( )( )jwHwtjwHAty p++= θcos . 
 
Podemos, então, determinar o comportamento do filtro diretamente pela análise do gráfico 
de H(jw), como de fato temos feito. Esse gráfico mostrando a amplitude e a fase de H(jw) 
também é conhecido como diagrama de Bode, por ter sido introduzido por H.W. Bode em 
1945. 
 
No diagrama de Bode, no eixo horizontal representando as freqüências (jw) é utilizada 
uma escala logarítmica, por permitir representar melhor uma faixa maior de freqüências. 
Já o eixo vertical representa a amplitude ou a fase de H(jw). Quando estamos lidando 
com a amplitude de H(jw), utilizamos o dB, que é dado por: 
 
( ) ( )jwHjwH dB 10log20= 
A grande vantagem em se utilizar a função logaritmo é que ela transforma operações de 
multiplicação e divisão em somas e subtrações, conforme veremos a seguir. 
 
Para o diagrama de Bode, vamos trabalhar com a função de transferência na forma 
fatorada em termos de 1a ordem: 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )11
11
...
...
pspsps
zszszs
KsH
mm
nn
+++
+++
=
−
−
, 
de modo que 
 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )11
11
...
...
pjwpjwpjw
zjwzjwzjw
KjwH
mm
nn
+++
+++
=
−
−
 
Inicialmente, vamos considerar que todos os pólos e zeros são reais. Para facilitar nossa 
análise, reescrevemos H(jw) como 
 
( )






+





+





+






+





+





+
=
−
−
1...11
1...11
...
...
1
11
1
1
nnn
nn
n
n
p
wj
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwH . 
 
Podemos, então, afirmar que: 
( )
1...11
1...11
...
...
11
11
1
1
+++
+++
=
−
−
p
wj
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwH
nn
nn
n
n
 
e que 
 
( ) 





+−−





+−





+++





++





= 1...11...1
...
...
111
1
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwH
nnn
n pppppp 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 99 
Lembre-se que em 1945 não se possuía os recursos computacionais de que dispomos 
hoje. Assim, o procedimento utilizado era esboçar o diagrama de Bode através de uma 
composição de retas assíntotas. 
 
Para nós, hoje, traçar um diagrama de Bode leva poucos segundos em um computador 
pessoal. Contudo, a capacidade de se fazer um esboço do diagrama de Bode ainda tem o 
seu valor de análise. Através dele, podemos determinar as principais características de 
uma função de transferência apenas pelo conhecimento de seus pólos e zeros. 
 
A seguir, veremos como construir um esboço do diagrama de Bode através de retas 
assintóticas. 
 
 
22.1. Gráfico de |H(jw)| 
 
Para o gráfico de |H(jw)|, utilizamos o dB. Assim, 
 ( ) ( )














+++
+++
==
−
−
1...11
1...11
...
...log20log20
11
11
1
1
p
wj
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwHjwH
nn
nn
n
n
dB 
Como cba
c
ab loglogloglog −+=





, podemos, então, afirmar que 
( ) 1log20...1log201log20...1log20
...
...log20
111
1 +−−+−+++++=
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwH
nnn
n
dB
(1) 
 
Podemos, então, construir o gráfico de |H(jw)| pela análise dos termos de 1a ordem. 
Vamos, então, analisar o comportamento de um desses termos: 1+
z
wj . 
 
Para zw << : 1<<
z
w
 111 =≈+∴
z
wj 01 ≈+∴
dBz
wj dB 
 
Para zw >> : 1>>
z
w
 
z
w
z
wj
z
wj =≈+∴ 1 
z
w
z
wj
dB
log201 ≈+∴ dB 
Ou seja, quando a freqüência é muito menor do que z, o termo de 1a ordem representa 
uma reta constante de 0 dB. Já para freqüências muito maiores que z, o termo de 1a 
ordem representa uma reta que cruza o eixo de 0 dB em w=z (pois 01log20 = dB). 
 
Mas qual é a inclinação dessa reta? Vamos considerar dois pontos: uma freqüência w>z e 
uma freqüência 10 vezes maior: 10w. Sempre que consideramos o intervalos entre uma 
freqüência e a freqüência 10 vezes maior, dizemos que esse intervalo representa uma 
década. Assim, temos que 
 
dBdB z
wjdB
z
w
z
w
z
wj 120log2010log2010log20110 ++=+==+ 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 100 
Ou seja, em uma década, o módulo aumenta de 20dB. Então, percebemos que a 
inclinação da reta é de 20dB/década. 
 
Repare que os termos de 1a ordem 1+
p
wj relativos aos pólos terão o mesmo 
comportamento. A diferença é que, como eles aparecem com o sinal negativo em (1) 
(pois estavam no denominador), a curva será idêntica, porém com sinal trocado. 
 
 
Abaixo estão representadas as contribuições de amplitude cada termo de 1a ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contribuição de zero de 1a ordem Contribuição de pólo de 1a ordem 
 1+
z
wj 1+
p
wj 
 
A contribuição do termo constante 
1
1
1
1
...
...log20
...
...
pp
zKz
pp
zKz
n
n
dBn
n
= representa uma reta 
horizontal, que acaba por determinar o valor |H(jw)| de para 0=w (DC). 
 
 
 
22.2. Gráfico de Fase de H(jw) 
 
Assim como no gráfico de amplitude, o gráfico da fase de H(jw) 
( ) 





+−−





+−





+++





++





= 1...11...1
...
...
111
1
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
pp
zKzjwH
nnn
n pppppp 
pode ser construído pela soma das contribuição de fase de cada termo de 1a ordem. 
 
Queremos analisar o comportamento de um desses termos: 





+1
z
wjp . 
Para zw << : 1<<
z
w
 ( ) 0011 =≈





+ pp
z
wj 
 
Para zw = : ( ) 04511 =+=





+ j
z
zj pp 
 
Para zw >> : 1>>
z
w
 
0901 +=





≈





+
z
wj
z
wj pp 
 
p 
0 
jw 10p 
-20dB 
z 0 jw 10z 
20dB 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 101 
O gráfico de fase desse termo de 1a ordem pode ser aproximado por: 
• Para 
10
z
w < : a fase é constante e igual a 0o. 
• Para zw 10> : a fase é constante e igual a +90o. 
• Para zwz 10
10
>> : a fase é representada por uma reta que passa em +45o 
em zw = , que representa +45o/década. 
 
Os termos de 1a ordem 





+1
p
wjp relativos aos pólos terão o mesmo comportamento. 
Novamente a curva será idêntica com sinal trocado, por causa do sinal negativo em (2). 
 
Abaixo estão representadas as contribuições de fase cada termo de 1a ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contribuição de zero de 1a ordem Contribuição de pólo de 1a ordem





+1
z
wjp 





+1
p
wjp 
 
 
Exemplo 22.1 
Queremos esboçar o diagrama de Bode para ( ) ( )( )( )5000100
5105
++
+
=
ss
s
sH . 
Além disso, baseados na aproximação, queremos determinar o valor de 
max
H . 
 
 
Solução 
 
O primeiro passo é reescrever H(jw) na forma conveniente: 
( ) ( )( )( )






+





+






+
=






+





+






+
=
++
+
=
1
5000
1
1000
1
5
1
5000
1
1000
1
5
5000*100
5*10
5000100
510 55
wjwj
wj
wjwj
wj
jwjw
jwjwH 
 
 
Para o gráfico de H(jw) teremos 4 contribuições: 
( ) 1
5000
log201
100
log201
5
log201log20 +−+−++= wjwjwjjwH dB 
 
 
0,1z 0 jw 10z 
+90o 
+45o 
z 
0,1p 
0 
jw 10p 
-90o 
p 
-45o 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 102 
Na figura abaixo, estão indicadas as aproximações para cada termo de 1a ordem. 
Lembre-se que todas as retas possuem inclinação de 20dB/década. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somando a contribuição de todos os termos de 1a ordem teremos o esboço de |H(jw)|. 
 
Para 5<w : 
 Todas as contribuições são iguais a 0dB. 
Para 1005 << w : 
 O zero em 5rad/s passa a contribuir com uma inclinação positiva de 20dB/década. 
Para 5000100 << w : 
 O zero em 5rad/s contribui com uma inclinação positiva de +20dB/década. 
 O pólo em 100rad/s contribui com uma inclinação negativa de -20dB/década. 
 A inclinação final é: 02020 =−+ dB/década, ou seja, um valor constante. 
Para 5000>w : 
 O zero em 5rad/s contribui com uma inclinação positiva de +20dB/década. 
 O pólo em 100rad/s contribui com uma inclinação negativa de -20dB/década. 
 O pólo em 5000rad/s contribui com uma inclinação negativa de -20dB/década. 
 A inclinação final é: 20202020 −=−−+ dB/década. 
 
Na figura da página seguinte estão desenhados o gráfico real de |H(jw)| e a nossa 
aproximação por retas assintóticas. Repare que a aproximação por assíntotas é bastante 
razoável. 
 
 
O valor 
max
H representa o valor constante no intervalo 5000100 << w . Assim, podemos 
tomar como referência o início da faixa, onde estará válida a aproximação: 
 
( ) 2620log20
5
100log2000
5
log200 ===+++= wjjwH dB dB. 
 
 
1
5
log20 ++ wj 
1
100
log20 +− wj 
1
5000
log20 +− wj
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 103 
 
Para o gráfico da fase, teremos 
( ) ( ) 





+−





+−





++= 1
5000
1
100
1
5
1 wjwjwjjwH
n
ppppp 
Lembre-se que para cada termo de 1a ordem teremos que observar 3 freqüências: w, 
10
w
 
e 10w. 
 
Para 5,0<w : 
 Todas as contribuições são 0o. 
Para 105,0 << w : 
 O zero em 5rad/s passa a contribuir com uma inclinação positiva de +45o/década. 
Para 5010 << w : 
 O zero em 5rad/s contribui com uma inclinação positiva de +45o/década. 
 O pólo em 100rad/s contribui com uma inclinação negativa de –45o/década. 
 A inclinação final é: 04545 =−+ oo o/década, ou seja, um valor constante. 
Para 50050 << w : 
 O zero em 5rad/s contribui com +90o. 
 O pólo em 100rad/s contribui com uma inclinação negativa de –45o/década. 
 A inclinação final é: o45− o/década. 
Para 1000500 << w : 
 O zero em 5rad/s contribui com +90o. 
 O pólo em 100rad/s contribui com uma inclinação negativa de –45o/década. 
 O pólo em 5000rad/s contribui com uma inclinação negativa de –45o/década. 
 A inclinação final é: ooo 904545 −=−− /década. 
 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 104 
Para 500001000 << w : 
 O zero em 5rad/s contribui com +90o. 
 O pólo em 100rad/s contribui com -90o. 
 O pólo em 5000rad/s contribui com uma inclinação negativa de –45o/década. 
 A inclinação final é: o45− /década. 
Para 50000>w : 
 O zero em 5rad/s contribui com +90o. 
 O pólo em 100rad/s contribui com -90o. 
 O pólo em 5000rad/s contribui com -90o. 
 O resultado é uma fase de oooo 90909090 −=−−+ . 
 
Abaixo estão traçadas as curvas para a fase real de H(jw) e a para a aproximação 
assintótica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conseguimos, então, esboçar as curvas para a amplitude e para o ângulo de fase de 
H(jw) baseados apenas nas inclinações dos termos de 1a ordem. 
 
 
 
22.3. Diagrama de Bode com pólos e zeros complexos 
 
Até aqui, ao fatorarmos a função de transferência, 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )






+





+





+






+





+





+
=
+++
+++
=
−
−
−
−
1...11
1...11
...
...
...
...
1
11
1
1
11
11
nnn
nn
n
n
mm
nn
p
wj
p
wj
p
wj
z
wj
z
wj
z
wj
pp
zKz
pjwpjwpjw
zjwzjwzjw
KjwH , 
supusemos que os pólos e zeros eram reais. E se houver pólos e zeros complexos? Para 
começar a discussão, precisamos lembrar que pólos e zeros complexos só aparecem na 
forma de complexos conjugados. 
 
Vamos tomar como exemplo uma função de transferência com dois pólos complexos: 
 ( ) ( )( )βαβα jsjs
K
sH
++−+
= 
 
+45o/década -45o/década 
-90o/década 
-45o/década 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 105 
Quando houver pólos complexos conjugados, ao invés de trabalharmos com os termos de 
1a ordem, será mais conveniente agregar os dois pólos em um termo de 2a ordem. Assim, 
( ) ( )( ) ( )222 2 βααβαβα +++=++−+= ss
K
jsjs
K
sH 
 
Vamos definir 222 βα +=nw e αζ =nw . Então, 
 ( ) 22 2 nn wsws
K
sH
++
= ζ 
Fatorando H(jw) na forma conveniente, teremos: 
 ( ) ( ) ( )
nn
nnn
w
wj
w
ww
K
wjwwjw
KjwH
ζζ 21
1
2 2222
+














−
=
++
= 
( )
nnn
dB w
wj
w
w
w
KjwH ζ21log20log20
2
2 +














−−= 
Vamos analisar apenas a contribuição em amplitude e em fase do termo de 2a ordem. 
 
nn
dB
w
wj
w
wA ζ21log20
2
+














−= 
Através do mesmo raciocínio utilizado para termos de 1a ordem, temos: 
Para nww << : 1<<
nw
w
 01121
2
==≈+














−∴
nn w
wj
w
w ζ dB 
 
Para nww >> : ∞→
nw
w
 
22422
2221 





≈





+





=+





−=+














−∴
nnnnnnn w
w
w
w
w
w
w
wj
w
w
w
wj
w
w ζζζ
 
E em dB, 
nn w
w
w
w log40log20
2
=




 dB. 
 
Ou seja, quando a freqüência é muito menor do que wn, o termo de 2a ordem representa 
uma reta constante de 0 dB. Já para freqüências muito maiores que wn, o termo de 2a 
ordem representa uma reta, cruzando o eixo de 0 dB em w= wn. 
 
Então, a grande diferença em relação aos pólos e zeros reais é que a reta assintótica 
possui inclinação de 40 dB/década. 
 
 
 
 
 
 
 
wn 
0 
jw 10wn 
-40dB 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 106 
Tópico 23 – Diagrama de Pólos e Zeros, Diagrama de Bode 
e Resposta Temporal 
 
Vamos voltar à análise da função de transferência de 2a ordem: 
( )
01
2
1
bsbs
sH
++
= 
Sabemos que os pólos de H(s) são dados por: 
 0
2
110
2
110
2
11
224
4
422
4
bbbbbb
bbbp −




±−=−±−=
−±−
= 
Observe que esses pólos p de H(s) possuem a forma 
2
0
2 wp −±−= αα , (1) 
onde 
 αα 2
2 1
1
=∴= bb e 0
2
0 bw = . 
Se utilizarmos essa notação na expressão de H(s), veremos que 
( ) 2
0
2
01
2 2
11
wssbsbs
sH
++
=
++
=
α
. 
 
Vamos supor, agora, que 202 w<α na expressão (1), ou seja, que os pólos de H(s) sejam 
complexos conjugados: 
 
22
0 ααα −±−=+−= wjjwp d . 
A parte imaginária de p está relacionada à parte real por: 
 
2
0
2222
0
222
0 wwwwww ddd =+∴−=∴−= ααα , 
Ou seja, as partes real e imaginária de p por um quadrado perfeito. Na verdade, veremos 
a seguir que existe uma interpretação geométrica importante para este fato. 
 
Observando a figura abaixo, que mostra um pólo de H(s), percebemos que o parâmetro 
w0, chamado de freqüência natural não-amortecida, representa a hipotenusa do triângulo 
formado pelos catetos α e wd, e seu módulo é igual à distância entre o pólo p e a origem 
do plano complexo. A parte complexa wd representa a projeção do pólo no eixo complexo, 
e é chamada de freqüência natural amortecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as parte real e imaginária podem ser determinadas a partir da freqüência natural 
não amortecida w0. Se ξ for o cosseno do ângulo indicado na figura, então ξα 0w= . 
 
w0 
α 
22
0
α−= w
d
w 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 107 
A função de transferência H(s) pode, então, ser reescrita como 
( ) =
++
=
++
= 2
0
2
01
2 2
11
wssbsbs
sH
α
 
( ) 2
00
2 2
1
wsws
sH
++
= ξ 
 
Com esses resultados, vamos analisar a resposta em freqüência das funções de 
transferência abaixo. Repare que elas diferem entre si por apenas um coeficiente: 
( )
45
1
21 ++
=
ss
sH , ( )
44
1
22 ++
=
ss
sH , ( )
42
1
23 ++
=
ss
sH e ( )
4
1
24 +
=
s
sH . 
 
 
Para cada uma delas, vamos fazer um esboço do diagrama de Bode. 
 
a) ( )
45
1
21 ++
=
ss
sH 
Neste caso, os pólos são reais e distintos {-1,-4}. 
( ) ( )( )41
1
45
1
21 ++
=
++
=
ssss
sH 
 
 
 
 
b) ( )
44
1
22 ++
=
ss
sH 
Neste caso, os pólos são reais e iguais {-2,-2}. 
( ) ( )( ) { { 42*1*2
1
22
1
44
1
0
222 ++
=
++
=
++
=
ssssss
sH
wξ
 
 
 
 
c) ( )
42
1
23 ++
=
ss
sH 
Neste caso, os pólos são complexos conjugados. 
( )
{ { 42*5,0*2
1
42
1
0
223 ++
=
++
=
ssss
sH
wξ
 
 
 
 
d) ( )
4
1
24 +
=
s
sH 
Neste caso, os pólos são complexos puros. 
 ( ) ( )( ) 40
1
22
1
4
1
224 ++
=
−+
=
+
=
ssjsjsssH 
 
1 jw 4 
-40dB/década 
-20dB/década 
|H(jw)|dB 
jw 
2 
-40dB/década 
|H(jw)|dB 
jw 
2 
-40dB/década 
|H(jw)|dB 
jw 
2 
-40dB/década 
|H(jw)|dB 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 108 
Por essa análise, as quatro funções de transferência acima deveriam apresentar uma 
resposta de magnitude, em freqüência, muito semelhantes, sendo que as das três últimas 
seriam iguais. Mas será que isto realmente ocorre? Será que o coeficiente que está 
variando não acrescenta nada? 
 
Veja abaixo o diagrama de Bode das quatro funções de transferência. Observe que 
representam a mesma figura que vimos na análise da resposta de 2a ordem no Tópico 21. 
Também estão mostrados os diagramas de pólos e zeros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos perceber que H2, H3 e H4 apresentam a mesma freqüência natural não-
amortecida (w0 = 2). Entretanto, suas magnitudes divergem bastante próximo à ela. 
Conseguiremos explicar esse comportamento pelo diagrama dos pólos das funções de 
transferência. 
-1 -4 
pólos de H1(s) 
w0=2 
ξ=1 
-2 
pólos de H2(s) 
w0=2 
ξ=0,5 
α=2*0,5=1 
pólos de H3(s) 
w0=2 
ξ=0,5 
2j pólos de H4(s) 
10-2 10-1 100 101
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
 
M
ag
n
itu
de
 
(dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
H1 H2
H4
H3
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 109 
Inicialmente, lembre-se que o Diagrama de Bode representa a análise do comportamento 
de função de transferência ao longo do eixo imaginário. Ou seja, quando fazemos s=jw. 
 
i) a função de transferência H1 possui dois pólos reais e distintos. Assim, sua resposta em 
freqüência é suavemente decrescente, com dois pontos de inflexão: 1 e 4. Neste caso, 
nosso esboço do Diagrama de Bode está muito próximo à realidade. Sabemos que a 
reposta temporal do sistema será super-amortecida. 
 
 
ii) a função de transferência H2 possui dois pólos reais, porém iguais. Esse é um primeiro 
caso limite, o amortecimento crítico, quando os pólos estão começando a se tornar 
complexos. Repare que neste caso o ângulo com o eixo real é 0, de modo que o cosseno 
é 1=ξ . 
 
 
iii) a função de transferência H3 possui dois pólos complexos conjugados. Os pólos se 
descolam do eixo real e começam a se aproximar do eixo complexo, que é o eixo sobre o 
qual estamos analisando a amplitude da função de transferência. 
O ângulo com o eixo real passa a aumentar (>0) e, consequentemente, o cosseno passa 
a diminuir ( 5,0=ξ ). A resposta temporal passa a ser sub-amortecida, e na freqüência 
passamos a observar um ressalto na altura da freqüência natural amortecida wd. 
 
 
iv) a função H4 representa o outro caso limite, quando os pólos tornam-se complexos 
puros. Neste caso, o módulo da função de transferência tende a infinito na freqüência 
natural não-amortecida w0. No tempo, teríamos uma resposta ao impulso de duração 
infinita (não-amortecida). 
 
 
Desta análise, devemos perceber a relação direta entre os pólos da função de 
transferência, sua resposta em freqüência e a resposta temporal do circuito. 
 
Por exemplo, por causa desta relação direta, podemos predizer a característica de 
filtragem do circuito a partir da análise do diagrama de pólos e zeros. Veja o exemplo a 
seguir. 
 
Exemplo 23.1 
 
Determine que tipo de filtragem realizam os circuitos com os diagramas de pólos e zeros 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-p 
Ha(s) 
-p 
Hb(s) 
wz 
wp 
Hc(s) 
wp>wz 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 110 
i) Ha(s): Como o circuito só possui um pólo, podemos garantir que a função de 
transferência apresenta apenas um termo de 1a ordem no denominador. 
 ( ) ( )psKsH a +=
1
 
Ora, sabemos esboçar facilmente o diagrama de Bode 
de Ha(s), e concluir que se trata de um passa-baixas. 
 
 
 
 
 
ii) Hb(s): Agora o circuito possui um pólo e um zero na origem. A função de transferência 
apresentará um termo de 1a ordem no denominador e um termo de 1a ordem no 
numerador. 
 ( ) ( )ps
sKsH b +
= 
Pelo diagrama de Bode concluímos que se 
 trata de um passa-altas. 
 
 
 
 
 
iii) Hc(s): O circuito possui um par de pólos complexos conjugados e um par de zeros, 
também complexos conjugados. Então, a função de transferência apresentará um termo 
de 2a ordem no denominador e um termo de 2a ordem no numerador. 
 
 
( ) ( )( )22
22
2
2
ppp
zzz
wsws
wswsKsH
++
++
= ξ
ξ
 
 
Como é dado que pz ww < , o esboço do 
diagrama de Bode permite concluir que 
se trata também de um passa-altas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p jw 
-20dB/década 
|H(jw)|dB 
p 
jw 
+20dB/década|H(jw)|dB 
jw 
wz 
+40dB/década 
|H(jw)|dB 
wp