Gauss E Stokes

Prévia do material em texto

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
Faculdade de Matemática
	
TEOREMAS DE GAUSS E DE STOKES
DIVERGENTE E ROTACIONAL
Para entender os teoremas de Gauss e de Stokes, precisamos definir dois operadores para campos vetoriais que são básicos nas aplicações do cálculo vetorial. Cada operador lembra uma diferenciação, mas um produz um campo escalar enquanto que outro produz um campo vetorial.
Introduziremos o operador diferencial vetorial ( (“del”) como:
Ele tem a propriedade de , quando aplicado a uma função escalar f, produzir o gradiente de f:
 = 
.
Consideremos, agora, uma campo vetorial 
 em IR3. Se pensarmos em ( como um vetor de componentes (/(x, (/(y, (/(z, podemos escrever, simbolicamente, o produto escalar de ( por 
, obtendo, assim, o escalar chamado divergente de 
:
div
 = ( . 
 = 
Exemplo 1: Se 
, ache div
.
div
 = ( . 
 = 
 = z + xz – 0 = z (1 + x)
Considerando o produto vetorial formal de ( por 
, temos o vetor ( X 
= rot 
, chamado rotacional de 
:
rot 
= ( X 
= 
Exemplo 2: Se 
, ache rot
.
rot 
= ( X 
= 
Teorema da Divergência (de Gauss)
Seja Q um sólido simples e seja ( a superfície que limita Q (( = fronteira de Q), orientada positivamente (para fora). Se 
é um campo vetorial cujas funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém Q, então:
Exemplo 3: Determine o fluxo d0o campo vetorial 
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
Como a esfera (() é uma superfície que limita o sólido esférico Q: x2 + y2 + z2 ≤ 1, podemos usar o teorema de Gauss, fazendo:
= 
= volume de ( = 
Obs.: div 
= 0 + 1 + 0 = 1
Exemplo 4: Calcule 
, onde 
 e ( é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
usaremos o teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em integral tripla. 
Escreveremos o sólido Q como: Q = {(x, y, z) | -1 ( x ( 1, 0 ( z ( 1 – x2, 0 ( y ( 2 – z }.
Assim, temos:
= 
= 
= 
 = 
 = 
 = 
 = 
Teorema de Stokes
Seja ( uma superfície orientada com um número finito de arestas (suave por partes), cuja fronteira é formada por uma curva C simples, fechada, suave por partes, com orientação positiva. Seja 
 um campo vetorial cujos componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta do IR3 que contém (. Então:
 
Exemplo 5: Calcule 
, onde 
 e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. ( Oriente C para ter o sentido anti-horário quando olhada de cima).
Dentre as muitas superfícies com fronteira C, a escolha mais conveniente é a região elíptica ( no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. Se orientarmos ( para cima, então a orientação induzida em C será positiva. A projeção D de ( sobre o plano xy é o disco x2 + y2 ( 1 e, assim, fazendo z = 2 – y , temos:
 ( VPF = 
 ( rot
. VPF = 1 + 2y e
 = 
 
Exemplo 6: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral 
, onde 
e ( é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy (veja a figura abaixo).
Para achar a curva fronteira C, resolvemos as equações x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 = 1. Subtraindo obtemos z2 = 3 ou z = 
, uma vez que z > 0.Então C é o círculo dado pelas equações x2 + y2 = 1 e z = 
. A equação vetorial de C é r (t) = 
, com 0 ( t (2( e r’(t) = 
.
Temos também:
Portanto, pelo Teorema de Stokes:
 = 
= 
�� EMBED Equation.3 = 
Exercícios: 
Calcule 
 se 
 e ( é a porção do parabolóide z = 4 – x2 – y2, com z ( 0 e com o vetor normal unitário n acima da superfície.
	R.: 12(
Determine o trabalho realizado por 
para deslocar uma partícula ao longo do contorno da parte do plano x + y + z = 2, no 1º octante, no sentido anti-horário, olhando de cima.
R.: -8
Para complementar os estudos, leia os capítulos:
8.7 (pg 531) e 8.8 (pg 539) e faça os exercícios ímpares de nº 1 – 17 da página 538 e de nº 1 – 15 da página 545 do vol. 2 do livro Cálculo um novo horizonte de Howard Anton
ou
18.6 (pg 615) e 18.7 (pg 623) e faça os exercícios ímpares de nº 1 – 15 da página 622 e de nº 1 – 7 da página 633 do vol 2 do livro Cálculo com geometria analítica de Earl Swokowski.
A curva C (uma elipse) está mostrada na figura ao lado. Apesar de � EMBED Equation.3 ��� poder ser calculada diretamente, é mais simples usar o Teorema de Stokes. Vamos, inicialmente calcular:
rot � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ��� (0, 0, 1 + 2y)
O teorema de Stokes pode ser olhado como uma versão em dimensão maior do Teorema de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície ( com uma integral ao redor da fronteira de (, a curva no espaço C. A figura ao lado mostra uma superfície orientada ( e seu vetor normal n. A orientação de ( induz a orientação positiva da curva fronteira C. Isso significa que, se você andar na direção positiva ao redor de C, com sua cabeça na direção de n, então a superfície estará sempre a sua esquerda.
C
n
(
Deve ser extremamente difícil calcular a integral de superfície dada diretamente. (Teríamos que calcular quatro integrais de superfície, correspondentes aos quatro pedaços de (.)
Como o divergente de � EMBED Equation.3 ��� é muito menos complicado que o próprio � EMBED Equation.3 ���:
div � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ���
 = y + 2y = 3y,
_1129972305.unknown
_1129976124.bin
_1129995755.unknown
_1129996325.unknown
_1129996459.unknown
_1129996489.unknown
_1129996792.unknown
_1129996383.unknown
_1129995928.unknown
_1129996118.unknown
_1129995770.unknown
_1129992696.unknown
_1129992914.unknown
_1129993059.unknown
_1129993289.unknown
_1129995684.unknown
_1129993173.unknown
_1129993044.unknown
_1129992834.unknown
_1129992605.unknown
_1129992655.unknown
_1129991877.unknown
_1129976820.unknown
_1129972774.unknown
_1129975536.unknown
_1129974604.bin
_1129975493.unknown
_1129972533.unknown
_1129972668.unknown
_1129972499.unknown
_1129970075.unknown
_1129970243.unknown
_1129972036.unknown
_1129972219.unknown
_1129971240.bin
_1129971498.unknown
_1129970130.unknown
_1129970216.unknown
_1129970087.unknown
_1129737917.unknown
_1129969071.unknown
_1129969715.unknown
_1129968752.unknown
_1129737963.unknown
_1129738199.unknown
_1129737702.unknown
_1129737864.unknown
_1129737409.unknown
_1129737484.unknown
_1129737246.unknown