lista 6 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
06
Limites, Ass´ıntotas Horizontais e Ass´ıntotas Verticais
[01] (2006.2) Considere a func¸a˜o
f(x) =
1√
x2 − 4 .
(a) Determine o domı´nio natural (efetivo) de f , isto e´, determine o “maior” subconjunto de
pontos x ∈ R para os quais e´ poss´ıvel poss´ıvel calcular f(x).
(b) Determine, caso existam, as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Justifique sua resposta!
(c) Determine, caso existam, as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . Justifique sua resposta!
(d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua? Justifique sua resposta!
[02] (2007.2) Calcule lim
x→0
[
x2 cos
(
1
x
)
sen
(
1
x
)]
. Justifique a sua resposta!
[03] (2007.2) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam) da func¸a˜o
y = f(x) =
x3 + 1
x3 + x
.
Justifique a sua resposta!
[04] (2008.1) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam) da func¸a˜o
y = f(x) =
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 .
Justifique a sua resposta.
[05] (2008.1) Diga se cada uma das sentenc¸as e´ verdadeira ou falsa. Se a sentenc¸a for verdadeira,
apresente uma justificativa e, se ela for falsa, apresente um contraexemplo.
(a) Se limx→+∞ f(x) = +∞ e limx→+∞ g(x) = +∞, enta˜o limx→+∞[f(x)− g(x)] = 0.
(b) Se limx→+∞ f(x) = 0 e limx→+∞ g(x) = +∞, enta˜o limx→+∞[f(x) · g(x)] = 0.
[06] (2009.1) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam) do gra´fico da func¸a˜o
y = f(x) =
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 .
Justifique a sua resposta!
[07] (2009.2) O que e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de uma func¸a˜o f : R→ R? Deˆ a definic¸a˜o!
Deˆ tambe´m um exemplo de uma func¸a˜o cujo gra´fico possui pelo menos uma ass´ıntota horizontal
e um exemplo de uma func¸a˜o cujo gra´fico na˜o possui ass´ıntotas horizontais!
1
[08] (2009.2) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam) do gra´fico da func¸a˜o
y = f(x) =
arctg(x) + 1
x2 − 2 x+ 1 .
Justifique a sua resposta!
[09] (2013.2)
(a) O que e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de uma func¸a˜o real f? Deˆ a definic¸a˜o!
(b) Determine, caso existam, as ass´ıntotas verticais do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x2 + 4 x− 21
x2 − 2 x− 3 .
Justifique sua resposta!
2
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] (a) Queremos encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade x2 − 4 > 0, isto
e´, x2 > 4. Extraindo-se a raiz quadrada dos dois lados desta desigualdade, obtemos que√
x2 >
√
4, isto e´, |x| > 2. Agora, se |x| > 2, enta˜o x < −2 ou x > +2. Sendo assim,
o domı´nio natural da func¸a˜o f e´ o conjunto D = (−∞,−2) ∪ (+2,+∞).
Erro frequente: usar a seguinte implicac¸a˜o errada: x2 > 4 ⇒ x > 2. Lembre-se que √x2 =
|x|.
(b) Para todo ponto a no domı´nio de f , vale que
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
1√
x2 − 4 =
1√
a2 − 4 ,
isto e´, limx→a f(x) existe para todo a no domı´nio de f . Sendo assim, os u´nicos candidatos
a ass´ıntota vertical do gra´fico de f sa˜o as retas x = −2 e x = +2. Como
lim
x→−2−
√
x2 − 4 = 0+ e lim
x→+2+
√
x2 − 4 = 0+,
segue-se que
lim
x→−2−
1√
x2 − 4 = +∞ e limx→+2+
1√
x2 − 4 = +∞.
Desta maneira, as retas x = −2 e x = +2 sa˜o, de fato, as u´nicas ass´ıntotas verticais do
gra´fico de f .
Erros frequentes: muitos na˜o escreveram nada nesta questa˜o. Outros colocaram a resposta
direto, sem justificativas.
(c) Como limx→+∞
√
x2 − 4 = +∞ e limx→−∞
√
x2 − 4 = +∞, segue-se que
lim
x→+∞
1√
x2 − 4 = 0
+ e lim
x→−∞
1√
x2 − 4 = 0
+.
Assim, a reta y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Erros frequentes: muitos na˜o escreveram nada nesta questa˜o. Outros colocaram a resposta
direto, sem justificativas.
(d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua como multiplicac¸a˜o, diferenc¸a, composic¸a˜o e divisa˜o de func¸o˜es
cont´ınuas.
Erro frequente: muitos alunos escreveram que f na˜o e´ cont´ınua com o seguinte argumento:
Eu sei que f e´ cont´ınua se limx→a f(x) = f(a). Como limx→+2 f(x) = +∞, segue-se que f
na˜o e´ cont´ınua em a = +2. O problema com este argumento e´ que o ponto a = +2 na˜o esta´
no domı´nio de f . Desta maneira, na˜o faz sentido investigar se f e´ cont´ınua ou na˜o neste
ponto.
[02] Como, para todo x 6= 0,
−1 ≤ cos
(
1
x
)
≤ +1 e − 1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ +1,
3
segue-se que
−1 ≤ cos
(
1
x
)
sen
(
1
x
)
≤ +1.
Isto mostra que g(x) = cos(1/x) sen(1/x) e´ uma func¸a˜o limitada. Como limx→0 x2 = 0, segue-se
pelo teorema do anulamento que
lim
x→0
[
x2 cos
(
1
x
)
sen
(
1
x
)]
= 0.
[03] Como
lim
x→+∞
x3 + 1
x3 + x
= lim
x→+∞
1 +
1
x3
1 +
1
x2
= +1 e lim
x→−∞
x3 + 1
x3 + x
= lim
x→−∞
1 +
1
x3
1 +
1
x2
= +1,
segue-se que a reta y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f . Note que f e´ cont´ınua em
todos os pontos diferentes de zero. Assim, a u´nica candidata a ass´ıntota vertical e´ a reta x = 0.
Mas
lim
x→0+
x3 + 1
x3 + x
= lim
x→0+
[
1
x
· x
3 + 1
x2 + 1
]
= +∞,
pois limx→0+(1/x) = +∞ e limx→0+ [(x3 + 1)/(x2 + 1)] = 1. Isto mostra que, de fato, x = 0 e´ uma
ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
[04] Vamos determinar primeiro as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Se p e´ diferente de −1 e +1,
enta˜o
lim
x→p
f(x) = lim
x→p
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 =
p2 − 2 p− 3
p2 − 1 ,
que na˜o e´ −∞ e nem +∞. Assim, as u´nicas candidatas a ass´ıntota vertical do gra´fico de f sa˜o
as retas x = −1 e x = +1. Como
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 = limx→−1
(x+ 1)(x− 3)
(x+ 1)(x− 1) = limx→−1
x− 3
x− 1 = 2
na˜o e´ −∞ e nem +∞, segue-se que a reta x = −1 na˜o e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
Por outro lado, dado que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 = limx→1+
x− 3
x− 1 = −∞,
conclu´ımos que a reta x = 1 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f . Vamos agora determinar
as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . Uma vez que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 = limx→+∞
x2 − 2 x− 3
x2
x2 − 1
x2
= lim
x→+∞
1− 2
x
− 3
x2
1− 1
x2
= 1−
e
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
x2 − 2 x− 3
x2 − 1 = limx→−∞
x2 − 2 x− 3
x2
x2 − 1
x2
= lim
x→−∞
1− 2
x
− 3
x2
1− 1
x2
= 1+,
segue-se que y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
4
[05] (a) A sentenc¸a e´ falsa. Como contraexemplo, considere as func¸o˜es f(x) = x+2 e g(x) = x. Note
que limx→+∞ f(x) = +∞, limx→+∞ g(x) = +∞, por outro lado, limx→+∞[f(x) − g(x)] =
limx→+∞[x+ 2− x] = limx→+∞ 2 = 2 6= 0.
(b) A sentenc¸a e´ falsa. Como contraexemplo, considere as func¸o˜es f(x) = 1/x2 e g(x) = x2.
Note que limx→+∞ f(x) = 0, limx→+∞ g(x) = +∞, por outro lado, limx→+∞[f(x) · g(x)] =
limx→+∞[x2 · (1/x2)] = limx→+∞ 1 = 1 6= 0.
[06] Vamos determinar primeiro as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Note que
y = f(x) =
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 =
(x− 2)2
(x− 2)(x− 3) .
Se p 6∈ {2, 3}, enta˜o
lim
x→p
f(x) = lim
x→p
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 =
p− 2
p− 3 ,
que na˜o e´ −∞ e nem +∞. Assim, as u´nicas candidatas a ass´ıntota vertical do gra´fico de f sa˜o
as retas x = 2 e x = 3. Agora
lim
x→2
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 = limx→2
x− 2
x− 3 = 0
e
lim
x→3+
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 = limx→3+
x− 2
x− 3 = +∞,
pois limx→3+(x − 2) = 1 e limx→3+(x − 3) = 0+. Segue-se enta˜o que a reta x = 3 e´ a u´nica
ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f . Vamos agora determinar as ass´ıntotas horizontais do
gra´fico de f . Temos que
lim
x→+∞
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 = limx→+∞
x− 2
x− 3 = limx→+∞
1− 2/x
1− 3/x = limx→+∞
1− 2/x
1− 2/x− 1/x = 1
+
e
lim
x→−∞
x2 − 4 x+ 4
x2 − 5 x+ 6 = limx→−∞
x− 2
x− 3 = limx→−∞1− 2/x
1− 3/x = limx→−∞
1− 2/x
1− 2/x− 1/x = 1
−.
Sendo assim, a reta x = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o f .
[07] Dizemos que uma reta y = L e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de uma func¸a˜o f : R → R se
limx→+∞ f(x) = L ou limx→−∞ f(x) = L. A reta y = pi/2 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de
y = f(x) = arctg(x). O gra´fico da func¸a˜o y = g(x) = x2 na˜o possui ass´ıntotas horizontais, pois
limx→+∞ g(x) = limx→−∞ g(x) = +∞.
[08] Vamos determinar primeiro as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Se p 6= 1, enta˜o
lim
x→p
f(x) = lim
x→p
arctg(x) + 1
x2 − 2 x+ 1 =
arctg(p) + 1
p2 − 2 p+ 1 ,
que na˜o e´ −∞ e nem +∞. Assim, a u´nica candidata a ass´ıntota vertical do gra´fico de f e´
a reta x = 1. Como limx→1+(arctg(x)+1) = arctg(1)+1 = pi/4+1 > 0 e limx→1+(x2−2 x+1) =
limx→1+(x− 1)2 = 0+, conclu´ımos que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→p
arctg(x) + 1
x2 − 2 x+ 1 = +∞.
5
Segue-se enta˜o que a reta x = 1 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f . Vamos agora
determinar as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . Note que g(x) = arctg(x) + 1 e´ uma func¸a˜o
limitada, pois −pi/4 < arctg(x) < +pi/4⇒ −pi/4 + 1 < arctg(x) + 1 < +pi/4 + 1. Por outro lado,
lim
x→+∞
1
x2 − 2 x+ 1 = limx→−∞
1
x2 − 2 x+ 1 = 0.
Pelo teorema do anulamento, conclu´ımos que
lim
x→+∞
arctg(x) + 1
x2 − 2 x+ 1 = limx→−∞
arctg(x) + 1
x2 − 2 x+ 1 = 0.
Sendo assim, a retas y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o f .
[09] (a) Dizemos que uma reta x = p e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de uma func¸a˜o real f se
limx→p+ f(x) = +∞ ou limx→p+ f(x) = −∞ ou limx→p− f(x) = +∞ ou limx→p− f(x) = −∞.
(b) Se p 6= −1 e p 6= 3, enta˜o x = p na˜o e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f pois, neste caso,
p2 − 2 p− 3 6= 0 e, sendo assim,
lim
x→p
x2 + 4 x− 21
x2 − 2 x− 3 =
p2 + 4 p− 21
p2 − 2 p− 3 .
Uma vez que x2 + 4 x− 21 = (x+ 7)(x− 3 e x2 − 2 x− 3 = (x+ 1)(x− 3), temos que
lim
x→3
x2 + 4 x− 21
x2 − 2 x− 3 = limx→3
(x+ 7)(x− 3)
(x+ 1)(x− 3) = limx→3
x+ 7
x+ 1
=
10
4
=
5
2
.
Portanto, a reta x = 3 na˜o e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f . Agora, quando x→ −1+,
x2 − 2 x− 3 = (x+ 1)(x− 3)→ 0− e x2 + 4x− 21→ −24+. Consequentemente,
lim
x→−1+
x2 + 4 x− 21
x2 − 2 x− 3 = limx→−1+
(x+ 7)(x− 3)
(x+ 1)(x− 3) = +∞.
Logo, a reta x = −1 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
Texto composto em LATEX2e, HJB, 02/09/2014.
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