Encarte - gabarito de exercícios - aulas 1 a 15

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Respostas dos Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Respostas de Exerćıcios das Aulas 1 a 15
Aula 01
Exerćıcio 1
(a) Dom f(x) = (−∞;−2] ∪ (1; 3] (b) Dom g(x) = x ∈ R | x < 3 (c) Dom
h(t) = [2; 5) (d) Dom k(y) = R− 0
Exerćıcio 2
(a) Observe que
3x− 2
x− 1
= 3 + (−5/x − 1) = 3 − (5/x − 1). Como no
exemplo 1.2 faça uma translação do gráfico 1/x para o gráfico 1/x−1, depois
ao multilicar por −5 lembre de colocar o que é negativo como positivo e o
que for positivo como negativo em relação ao eixo y; como está multiplicando
por −5 o gráfico ficará mais esticado em relação ao eixo y, depois translade
3 unidades para cima.
Exerćıcio 3
Observe que para t = 1 temos que v(1) = −1 e, portanto v(t) − v(1) =
t2 − 4t + 3 = (t− 1)(t− 3).
Dáı,
v(t)− v(1)
(t− 1)
= t − 3, e fazendo t ≥ 1 temos que t − 3 ≥ −2. Isso é
equivalente a derivar a função v e calcular no ponto 1.
No segundo caso repetindo o processo temos
v(t)− v(2)
(t− 2)
= t − 2 e em
t = 2 temos que o resultado é zero, ou seja, 0cm/s.
Exerćıcio 4
R$ 0,98.
Exerćıcio 5
1
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(a) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 = 6 ; (b) limx→1
x2 + 2x− 3
x2 − 3x+ 2 = −4 ;
(c) lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4 = 3 ; (d) limx→√2
x2 − 2
x2 +
√
2x− 4 = 2/3 .
Aula 02
Exerćıcio 1
(a) lim
x→4
x2 − 3x− 4
x2 − 16 = 5/8 ; (b) limx→−1
x+ 1
x2 − 1 = − 1/2 ;
(c) lim
x→3
√
x− 9
x− 3 = 1/12 ; (d) limx→1
x− 1
3
√
x− 1 = 3 ;
(e) lim
x→−4
|x| − 4
x2 − 16 = 1/8 ; (f) limx→1
x3/2 − 1
x1/2 − 1 = 3 .
Para a letra (f) faça x1/2 = a. Assim, com essa substituição, teremos
x3/2 − 1
x1/2 − 1 =
a3 − 1
a− 1 =
(a2 + a+ 1) (a− 1)
a− 1 = a
2 + a+ 1 =
= (x1/2)2 + x1/2 + 1.
Portanto,
lim
x→1
x3/2 − 1
x1/2 − 1 = limx→1 ((x
1/2)2 + x1/2 + 1) = lim
x→1
(x+ x1/2 + 1) = 3
Exerćıcio 2
a = 1
Exerćıcio 3
a = 2 ou a = 0.
Exerćıcio 5
(a) lim
x→−2
g(x) não existe (b) lim
x→0
g(x) = 2
(c) lim
x→2
g(x) = −3 (d) lim
x→−3
g(x) = 2
(e) g(−2) = 0 (f) g(2) = 2
2
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Aula 03
Exerćıcio 1
(a) lim
x→2
[
f(x) + g(x)− h(x)] = −2 (b) lim
x→2
|f(x) g(x) − h(x)| = 5
(c) lim
x→2
[f(x)− g(x)
h(x)
]
= −1 (d) lim
x→2
√
h(x)− f(x) = 2.
Exerćıcio 2
a) Verdadeira. b) Falsa.
c) Falsa. d) Verdadeira.
Exerćıcio 3
(a) lim
x→2−
√
4− x2 = 0 (b) lim
x→8
x− 8
3
√
x− 2 = 12
(c) lim
t→−3+
3 + t√
9− t2 = 0 (d) limx→0
√
x2 + 4− 2
x2
= 1/4
(e) lim
x→2
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 = 6 (f) limx→1
1− x
2−√x2 + 3 = 0
No item (e) faça x1/2 = a. Assim,
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 =
a3 − 2√2
a−√2 =
(a−√2)(a2 + a√2 + 2)
a−√2 = a
2 + a
√
2+ 2 =
= (x1/2)2+x1/2
√
2+2 = x+x1/2
√
2+2 = x+
√
2 x+2.
Portanto, lim
x→2
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 = limx→2 x+
√
2 x+ 2 = 6.
No item (f) multiplique numerador e denominador pelo conjugado do
denominador, obtendo
lim
x→1
1− x
2−√x2 + 3 = limx→1
(1− x) (2 +√x2 + 3)
(2−√x2 + 3) (2 +√x2 + 3) =
= limx→1
(1− x) (2 +√x2 + 3)
1− x2 =
4
2
= 2.
3
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exerćıcio 4
lim
x→2−
f(x) = 3, lim
x→2+
f(x) = 1 , lim
x→2
f(x) não existe.
Exerćıcio 5
a = 4 ou a = 0.
Aula 04
Exerćıcio 1
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
= 3/2 (b) lim
x→0
x2
senx
= 0
(c) lim
x→1
sen (x2 − 1)
x− 1 = 2 (d) limx→0
3x2
tg x senx
= 3
(e) lim
x→0
1− cos 3x
x2
= 9/2 (f) lim
x→0
1− sec x
x2
= −1/2
(g) lim
x→0
tg2 3x
1− cosx = 18 (h) limx→0
sec 3x− sec x
x2
= 9/2
(i) lim
x→0
senx sen 3x
tg 2x tg 4x
= 3/8 (j) lim
x→0
x+ senx
x2 − sen x = −2
Exerćıcio 3
a) 0 b) 0 c) 0 d) 0
Exerćıcio 4
lim
x→0
1− cosx
x2
= 1/2
Aula 05
Exerćıcio 1
4
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(a) lim
x→3+
x+ 2
x− 3 = +∞ (b) limx→1+
x2 − 4
x2 − 1 = − ∞
(c) lim
x→−1+
x− 3)
x2 − 1 = +∞ (d) limx→−1−
x2 − 1
x+ 1
= −2
(e) lim
x→1−
√
x− 5
1−√x = − ∞ (f) limx→2/3+
x
2− 3x = − ∞
(g) lim
x→π+
sec x = −1 (h) lim
x→2π+
cotg x = +∞
(i) lim
x→0−
3x
1− ex = −3 (j) limx→1+
2x
ln x
= +∞
Exerćıcio 2
Asśıntotas verticais x = −2 e x = 2.
Exerćıcio 3
Asśıntotas verticais x = −1 e x = 2.
Exerćıcio 4
f : R− Z→ R tal que f(x) = 1
x− n se x ∈ (n, n+ 1).
Exerćıcio 5
a = 2.
Aula 06
Exerćıcio 1
5
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(a) lim
x→+∞(2x− x
3) = −∞ (b) lim
x→−∞(2x
2 + 3x− 5) = +∞
(c) lim
x→+∞ (
√
5x7 + 8) = +∞ (d) lim
x→+∞ (3x− 8x
2) = −∞
(e) lim
x→+∞
√
x− 5
1−√x = −1 (f) limx→+∞
x2 − 3x+ 4
1 + 3x2
= 1/3
(g) lim
x→−∞
5x− 2
x3 + 7x− 8 = 0 (h) limx→−∞
2x2 − 5
5x+ 4
= −∞
(i) lim
x→−∞
x3 + 7x2
3x− 2x2 + 8 = +∞ (j) limx→+∞
2x2 senx
x4 + 5x− 8 = 0
(l) lim
x→+∞
√
2− 2x− 2
x2 + 3
=
√
2 (m) lim
x→−∞
2
3 +
4
x
= 2/3
(n) lim
x→+∞
[4x2 + 3
x− 5 + cosx
2
]
= +∞ (o) lim
x→+∞
x3/2 + 2x1/2 + 1
x+ 4
= +∞
Exerćıcio 2
(a) y = 0 é uma asśıntota horizontal do gráfico e x = 3 é uma asśıntota
vertical do gráfico.
(b) y = 3 é uma asśıntota horizontal do gráfico e x = 5 é uma asśıntota
vertical do gráfico.
(c) O gráfico de h não possui asśıntota horizontal e x = 0 é uma asśıntota
vertical do gráfico.
(d) y = −2 é uma asśıntota horizontal do gráfico e x = −1 e x = 1 são
asśıntotas verticais do gráfico.
(e) y = 0 é uma asśıntota horizontal do gráfico e x = −2 e x = 3 são
asśıntotas verticais do gráfico.
(f) y = 1 é uma asśıntota horizontal do gráfico. O gráfico de m não
possui asśıntota vertical.
(g) y = −√7 é uma asśıntota horizontal do gráfico e x = 0, 755 é uma
asśıntota vertical do gráfico.
h) y = − 1/2 e y = 1/2 são asśıntotas horizontais do gráfico. x = 2 é
uma asśıntota vertical do gráfico.
6
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exerćıcio 3
(a) lim
x→+∞
x3 − 3x+ 2
x5/2− 4x2 + 3 = 0 (b) limx→+∞
[ 5
x2
− 2
x4
]
= 0
(c) lim
x→−∞
1− x3
x2 + 5
= +∞ (d) lim
x→+∞
√
x
x2 + 2x+ 4
= 0
(e) lim
x→+∞ x−
√
x2 + 1 = 0 (f) lim
x→+∞
√
x+ 2
1 + x
= 0 .
Exerćıcio 5
−2.
Aula 07
Exerćıcio 1
(a) f(x) é cont́ınua no ponto x = 2.
(b) g(x) não é cont́ınua no ponto x = 1.
(c) h(x) não é cont́ınua no ponto x = −3, pois
lim
x→−3−
h(x) = 6 �= 9 = lim
x→−3+
h(x) = h(−3).
Exerćıcio 2
a = −1 e de b = 3.
Esboço do gráfico da função f .
7
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exerćıcio 3
Figura (7.22) é cont́ınua.
Figura (Figura 7.23) é cont́ınua.
Figura (Figura 7.24) é cont́ınua.
Figura (Figura 7.25) não é cont́ınua. (Basta ver que f(3) �= lim
x→3
f(x)).
Figura (Figura 7.26) é cont́ınua.
Figura (Figura 7.27) não é cont́ınua. (Pois f(−4) �= lim
x→−4+
f(x)).
Exerćıcio 4
Vemos aqui, um exemplo de gráfico atendendo as exigências do exerćıcio.
f : (−2, 2)→ R.
Já no intervalo [−2, 2], não há como definir tal função.
8
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exemplos de gráficos de funções f : [1, 5]→ [−2, 2].
Exerćıcio 5
Observando cada um dos exemplos de gráficos do exerćıcio anterior,
conclúımos que existe uma raiz no intervalo [1, 5], isto é, existe x ∈ [1, 5],
tal que g(x) = 0.
Aula 08
Exerćıcio 1
a) f não possui raiz no intervalo [−3, −2].
b) f possui raiz no intervalo [−2, 2].
c) f não possui raiz no intervalo [2, 4].
d) f possui raiz no intervalo [4, 6].
e) f possui raiz no intervalo [−2, 5].
Exerćıcio 2
Sugestão: Considerando a função f(x) = x2 − x5 − 1, utilize o Teorema
do Valor Intermediário.
Exerćıcio 3
(a) n = −2 (b) n = −1
(c) Não existe n que satisfaça. (d) n = 0
9
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exerćıcio 4
Sugestão: Considerando a função f(x) = 2sen x − ln (x + 3), utilize o
Teorema do Valor Intermediário para o ponto x = π/2 e para um outro
ponto conveniente.
Exerćıcio 5
f é necessariamente uma função constante. (A demonstração deste fato,
fica como um desafio extra!)
Exerćıcio 6
Sugestão: Defina uma função g : [0, 1] → R, tal que g(x) = f(x) −√x.
Em seguida aplique o Teorema do Valor Intermediário a esta função, para
demonstrar que admite uma raiz no intervalo (0, 1).
Exerćıcio 7
Demonstração: Seja x0 um pontofixo de f . Neste caso, f(x0) = x0.
Como f é inverśıvel, seja f−1 a inversa de f.
Assim, f−1(f(x0)) = f−1(x0) ∴ f−1(x0) = x0.
Logo, f−1 também admite ponto fixo.
Aula 09
Exerćıcio 1
a) y = 80x− 128 b) y = 1
c) y = −x+ π
2
d) y =
x
2
√
8
+
4√
8
Aula 10
Exerćıcio 1
f(x) = cotg x =⇒ f ′(x) = − 1
sen2x
= −cossec2x
f(x) = sec x =⇒ f ′(x) = senx
cos2 x
= sec x tg x
f(x) = cossecx =⇒ f ′(x) = cos x
sen2 x
= − cossecx cotg x.
10
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Exerćıcio 4
(a) f ′ existe ∀x > 0 e f ′(x) = 2x+ 1 + 1
2
√
x
.
(b) f ′ existe ∀x �= 0 e f ′(x) = − 63 x8 − 1
x2
− 3
x4
.
(c) f ′ existe ∀x > 0 e f ′(x) = 1
2
√
x
+
28
x5
.
(d) f ′ existe ∀x > 0 e f ′(x) = −13x
6 + 1
2
√
x
.
(e) f ′ existe ∀x �= π
2
+ kπ, k ∈ Z e
f ′(x) = (−3x−4 + 4x−3)tg2 x+ (x−4 + 4x−3)tg2 x+
+(x−3 − 2x−2 + 7)(2 sec2 x)tg x.
(m) Como f ′(x) =
8
√
x
x · cosx , então
Dom(f ′) =
{
x ∈ R\{0} | x �= 2n+ 1
2
π; com n ≥ 0
}
.
(o) Como f ′(x) =
senx− cosx− x(cosx+ senx)
(senx− cosx)2 , então
Dom(f ′) =
{
x ∈ R | x �= nπ + π
4
; com n ≥ 0
}
.
Aula 12
Exerćıcio 1
(a) f ′(x) = 2senx cos x
(b) f ′(x) = cos x2 2x
(c) f ′(x) =
2senx cos x sen (x2)− 2x sen2 x cos (x2)
sen2 (x2)
(d) f ′(x) =
2xsenx cos (x2)− 2 cos x sen (x2)
sen3 x
(e) f ′(x) =
2x+ 1
3 3
√
(x2 + x+ 1)2
11
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(f) f ′(x) =
1
3
3
√
x2
+
1
2
√
x
(g) f ′(x) =
−2√x senx cos x cos(cos2 x)− 1
2
√
x
sen(cos2 x)
x
(h) f ′(x) =
(x4 + 2)(cos (cos (x2))(−sen (x2) 2x))− sen (cos (x2))4x3
(x4 + 2)2
(i) f ′(x) =
1
4
[(−2x sen (x2)) + 56x7] (cos (x2) + 7x8 + 1)− 34 .
(j) f ′(x) =
2x(x2 + 1) sec (x3 − 1)
(x2 + 1)2
+
+
3x4(x2 + 1) sec (x3 − 1) tg (x3 − 1)− 2x3 sec (x3 − 1)
(x2 + 1)2
(l) f ′(x) = sec2 (x3)(3x2) + cossec (x3) cotg (x3) (3x2)
(m) f ′(x) =
(1− x2)( 5√x (5 cos4 x(−senx)) + 1
5 5
√
x4
(cos5 x)) + 2x( 5
√
x cos5 x)
(1− x2)2
(n) f ′(x) = 3 tg2 x sec2 x− 3 cossec3 x cotg x
(o) f ′(x) =
(x4 − 1) (3x2)[−cossec2 (x3 + 1)]− 4x3 cotg (x3 + 1)
(x4 − 1)2
(p) f ′(x) = −7
8
x−
15
8 sen (x3− 9x+8)+ x− 78 (3x2− 9) cos (x3− 9x+8)
(q) f ′(x) =
1
3 3
√(
sen (2x)
1+
√
x
)
2
(1 +
√
x) 2 cos (2x)− sen (2x) 1
2
√
x
(1 +
√
x)2
(r) f ′(x) = 3x2 sec2 (x3) sen2 (cos (x2))− 4x tg (x3)
sen (x2) sen (cos (x2)) cos (cos (x2))
(s) f ′(x) = −4x sen (x2) sen (cos(x2)) cos (cos (x2))
(t) f ′(x) = 9
(√
x+ x7 − 5x2 + sen3 (x3 − 4x))8(
1
2
√
x
+ 7x6 − 10x+ 3(3x2 − 4) sen2 (x3 − 4x) cos (x3 − 4x)
)
Exerćıcio 2
12
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(b) A equação da reta é y = 2x.
Exerćıcio 3
g′(1) = 1.
Exerćıcio 5
(b) f ′(x) =
1
3
(
2
x2 + 1
)− 2
3
· [−2(x2 + 1)−2 · (2x)] · sec2
(
3
√
2
x2 + 1
)
(Ou, agrupando os termos semelhantes,
f ′(x) = −x
3
3
√
16
x2 + 1
· sec2
(
3
√
2
x2 + 1
)
.)
(c) A equação da reta é y = 0.
Aula 13
Exerćıcio 1
(a)
dy
dx
=
y2
2xy + 3
, com xy �= −3
2
(b)
dy
dx
=
2− 2xy
3y2 + x2
, com (x, y) �= (0, 0)
(c)
dy
dx
=
1
7y6 + 1
(d)
dy
dx
=
4y + senx
11− 4x , com x �=
11
4
(e)
dy
dx
=
x
y
, com y �= 0
(f)
dy
dx
=
−(y2 + 1)
2xy + 1
, com xy �= −1
2
(g)
dy
dx
=
y − 1
1− x , para x �= 1
(h)
dy
dx
= − 4xy + 1
2(y + x2)
, para y �= x2
13
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
(i)
dy
dx
=
2x− 2xy2
2(x2y − y) , para y �= 0 ou x �= ±1
(j)
dy
dx
=
y − 3x2
3y2 − x , para y �= ±
√
(x
3
)
Exerćıcio 2
(a) y =
3
4
x− 5
2
Aula 14
Exerćıcio 1
A área cresce a uma razão de 562, 5 cm2/s.
Exerćıcio 2
A ordenada diminui a uma razão de
3
16
unidades por segundo.
Exerćıcio 3
O peŕımetro diminui a uma razão de 4 cm/s.
Exerćıcio 4
a) O topo da escada escorrega a uma razão de
5
6
cm/s.
b) − 5
9
m/s.
Exerćıcio 5
14
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
A área diminui a uma razão de 4π m2/s.
Exerćıcio 6
A área diminui a uma razão de
3
50
m2/s.
Exerćıcio 7
dy
dt
=
3− 3
5
20
4 =
12
25
.
Exerćıcio 8
15
Respostas de Exerćıcios de Cálculo I Aulas 1 a 15
Seja t, o instante em que h = 4/3 cm e R = 1 cm. Isto é, h(t) = 4/3 cm
e R(t) = 1 cm.
dV
dt
(t = (112 + 16
√
2)
π
135
.
16