lista 5 - cálculo 1

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ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Ca´lculo I -A-
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
05
Limites
[01] (2009.2) Seja f(x) =
x√
x+ 3
. Calcule lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
. Justifique cuidadosamente a sua
resposta!
[02] (2013.2) Considere a func¸a˜o g : R→ R cujo gra´fico e´ apresentado a seguir e seja h(x) = (g◦g)(x).
0 x 
(a) Calcule g(2) e h(2).
(b) Calcule os limites laterais limx→2+ h(x) e limx→2− h(x). Justifique cuidadosamente sua res-
posta!
(c) Dizemos que uma func¸a˜o f : R→ R e´ cont´ınua em p ∈ R se limx→p f(x) = f(p). A func¸a˜o h
e´ cont´ınua em p = 2? Justifique sua resposta!
[03] (2014.1) Considere a func¸a˜o f(x) = x3. Calcule
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 e limh→0
f(1 + h)− f(1)
h
.
1
Respostas dos Exerc´ıcios
[01] Temos que f(1 + h) = (1 + h)/
√
h+ 4 + x e f(1) = 1/2. Assim:
lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)/
√
h+ 4− 1/2
h
= lim
h→0
2 + 2h−√4 + h
2h
√
4 + h
= lim
h→0
(2 + 2h)−√4 + h
2h
√
4 + h
· (2 + 2h) +
√
4 + h
(2 + 2h) +
√
4 + h
= lim
h→0
h (7 + 4h)
2h
√
4 + h (2 + 2h+
√
4 + h)
= lim
h→0
7 + 4h
2
√
4 + h (2 + 2h+
√
4 + h)
= lim
h→0
7
2
√
4 (2 +
√
4)
=
7
16
.
[02] (a) g(2) = 0 e h(2) = (g ◦ g)(2) = g(g(2)) = g(0) = 3.
(b) Quando x → 2+, g(x) → 2− e g(g(x)) → 0+. Portanto, limx→2+ h(x) = limx→2+(g ◦ g)(x) =
0+. Quando x→ 2−, g(x)→ 0+ e g(g(x))→ 4−. Portanto,
lim
x→2−
h(x) = lim
x→2−
(g ◦ g)(x) = 4−.
(c) A func¸a˜o h na˜o e´ cont´ınua no ponto p = 2, pois na˜o existe limx→2 h(x) uma vez que os limites
laterais limx→2+ h(x) e limx→2− h(x) sa˜o diferentes.
[03] Temos que
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x3 − 13
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x2 + x+ 1)
x− 1
= lim
x→1
(x2 + x+ 1) = 3.
e
lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)3 − 1
h
= lim
h→0
1 + 3h+ 3h2 + h3 − 1
h
= lim
h→0
3h+ 3h2 + h3
h
= lim
h→0
(3 + 3h+ h2) = 3.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 26/08/2014.
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