CALCULO II Roteiro_8

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Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O 
Semestre de 2013 - Mecânica 
Roteiro 8: Formas Indeterminadas e Integrais Impróprias 
 
 Objetivo: Calcular limites usando a Regra de L'Hopital, introduzir o conceito de integral 
imprópria e de fórmula de Taylor. 
 
1. A Regra de L´Hopital 
Na determinação de limites, tem-se que se 
)x(flim
ax
 e 
)x(glim
ax
 existem, então: 
)x(glim
)x(flim
g(x)
f(x)
 lim
ax
ax
0x




. 
 
Existem várias situações em que este resultado não pode ser usado. De fato, se 
)x(glim
ax
 = 0 e 
)x(flim
ax
 = L, sendo L constante não nula. Existem ainda outras situações 
em que este resultado não pode ser aplicado. 
 
Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
(a) 
4- 3x - x
4 - x
 lim
2
4x
; 
(b) 
x
x sen
 lim
0x
; 
(c) O que as funções envolvidas nos limites dos itens (a) e (b) têm em comum? 
 
Definição: Se f e g forem funções tais que 
0 = g(x) lim = f(x) lim
axax 
, então a função 
g
f tem a 
forma indeterminada 
0
0 em a. 
 
Exemplo: As funções 
4- 3x - x
4 - x
2
 e 
x
x sen possuem a forma indeterminada 
0
0 em x = 4 e x 
= 0, respectivamente. Além disso, 
4- 3x - x
4 - x
 lim
2
4x
 = 
5
1 e 
x
x sen
 lim
0x
 = 1. 
 
 O teorema, a seguir, fornece um método geral para se determinar um limite, caso ele 
exista, de uma função que apresenta a forma indeterminada 
0
0 . 
 
 
 
 
 
2 
Teorema 1 (Regra de L'Hopital): Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, exceto 
eventualmente em um número a de I. Suponha que, para todo x  a em I, 
0. x)(g' 
 Se 
f(x) lim
ax
 = 0, 
0 = g(x) lim
ax
 e 
L
x)(g
x)(f
 lim
'
'
a x


 então 
L = 
g(x)
f(x)
 lim
ax
. 
 
Observação: O teorema continua válido se os limites envolvidos forem limites laterais, 
pela direita ou pela esquerda. 
 
Problema 1: Calcule os seguintes limites: 
(a) 
x
x sen
 lim
0x
 
(b) 
x
0x e - 1
x
 lim

 
(c) 
2
2
0x x
x sen
 lim

. 
 
A regra de L´Hopital também é válida se x cresce ou decresce ilimitadamente. 
 
Teorema 1 (Regra de L'Hospital): Sejam f e g funções deriváveis para todo x > N, N > 0, 
com g'(x)  0 para x > N. Se 
)x(flim
+x 
 = 0, 
)x(glim
+x 
 = 0 e 
L = 
x)(g
(x)f
 lim
'
'
+x 
 então 
L = 
x)(g
f(x)
 lim
+x 
. Análogo para x 
 - 
. 
 
Problema 2: Calcular os seguintes limites: 
(a) 
x1
x1 sen
 lim
+x 
; 
(b) 
x
x
e
2
 lim
-x 
. 
 
Problema 3: 
a) Calcular 
x
1
 lim e lnx lim
++ 0x0x 
; 
b) O que acontece com 
x1
x ln
 lim
+0x
? 
 
O Teorema de L'Hopital também pode ser aplicado neste caso e em qualquer caso de 
indeterminação 


 
 . 
 
 
 
 
 
3 
Teorema: Sejam f e g funções deriváveis em I, exceto eventualmente em um ponto a  I e 
suponha que g'(x)  0  x  a em I. Se 


 =f(x) lim
ax
, 


 = g(x) lim
ax
 e 
L = 
)x(g
)x(f
 lim
'
'
ax
 
então 
L = 
g(x)
f(x)
 lim
ax
. 
 
Problema 4: Calcule os seguintes limites, caso existam. 
(a) 
x1
x ln
 lim
+0x
 
(b) 
x tg
2x) - (1 ln
 lim
21x 
 
(c) 
 
3x
)e + ln(2
 lim
x
x 
 
(d) 
 
x
x ln
 lim
x 
. 
 
2. A Integral Imprópria 
Considera-se o problema de se determinar a área da região limitada pela curva y = e
-x
, 
pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = b, b > 0. 
 
Figura 1: Áreas e Integral com limites infinitos 
Tem-se que: 
A = 
xe lim i
n
1i
0 P
i



 = 
 
b
0
xdxe
 = 1 – e-b. 
 
Fazendo b crescer ilimitadamente, obtém-se: 
 
+b
lim  
b
0
xdxe
 =
+b
lim
 be1 
 = 1. 
 
b 
f(x)= e
-x 
xi-1 xi 
f(i) 
i 
 
 
 
 
4 
Escrevemos, então 
1dxe
0
x 


. 
 
Conclui-se, então que independente do valor tomado para b, a área da região tomada na 
figura 1 será sempre menor que 1 unidade quadrada. 
 
Observação: Na definição da integral definida, foi considerada uma função f definida num 
intervalo [a, b]. Agora, essa definição foi estendida, de modo a se considerar um intervalo 
de integração infinito. Essa integral será denominada integral imprópria. 
 
Se f é função contínua para todo x  a ou para todo x ≤ b, valem as definições: 
 
Definição: 
(a) 

 
a 
f(x)dx 
 = 
+b
lim 
b 
a 
 f(x)dx
, se o limite existir; 
(b) 
 
b 
 - 
dx)x(f
 = 
 -a
lim 
b 
a 
 f(x)dx
, se o limite existir; 
(c) 



 
 - 
f(x)dx
 = 
 -a
lim dx)x(f 
0 
a 
 + 
+b
lim 
b 
 0 
f(x)dx
, se os limites existirem. 
 
Caso os limites existam, diz-se que a integral imprópria é convergente. Caso contrário, 
divergente. 
 
Problema 5: Calcular as seguintes integrais impróprias: 
(a) 
2
2 
- x) - (4
dx
  
; 
(b) 
dx e x 
 
0 
x-
 ; 
(c) 
dx x 
 
0 
 ; 
(d) 
dx e x 
2x-
 
- 


. 
 
Problema 6: Considere 
x 
1
 = f(x)
. 
(a) Qual o domínio de f(x)? 
(b) Como você calcularia 
 dx 
x 
1
4 
0 

? 
 
 
 
 
 
5 
Definição: Se f for contínua para todo x no intervalo (a, b] e se 


 = f(x) lim
+a x
, então 

b 
a 
f(x)dx
 = 
+0 
lim

 
b 
 a 
f(x)dx

, se o limite existir. 
 
Problema 7: 
(a) Calcular 
dx
x
1
4 
0 

; 
(b) Calcular a área sob o gráfico de f(x) = 
 
x 
1 , x  (,0 4]. 
 
A descontinuidade infinita de f pode ocorrer no limite superior de integração. Nesse 
caso, tem-se a seguinte definição. 
 
Definição: Se f for contínua para todo x no intervalo [a, b) e se 


 = f(x)lim
-b x
, então 

b 
a 
f(x)dx
 = 
+0 
lim


b 
a 
f(x)dx
, se o limite existir. 
 
A descontinuidade infinita de f pode ocorrer no interior do intervalo de integração. 
Nesse caso, tem-se a seguinte definição. 
 
Definição: Se f for contínua para todo x no intervalo [a, b] exceto c quando a< c< b, 
então 

b 
a 
f(x)dx
 = 
+0 
lim


c 
a 
f(x)dx
 + 
+0 
lim

 
b 
 c 
f(x)dx

 se o limites existirem. 
 
 
Observação: Cada uma destas integrais é dita integral imprópria e elas são convergentes 
se o limite correspondente existir e divergentes se o limite não existir. 
 
Problema 8: Calcular as integrais impróprias, caso convirjam. 
(a) 

1 
0 
x-1 
dx 
(b) 



 
1 
2 1x x
dx ; 
(c) 

1 
 
3
2
1 -
dx 
x
1 .