Limites Aula 1

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Limites
Limites (noção intuitiva)
Muitas das idéias básicas do cálculo tiveram sua origem nos dois problemas geométricos seguintes:
O problema da reta tangente
O problema da área.
O problema da reta tangente: Dada uma função f e um ponto P(x0, y0) em seu gráfico, encontre uma equação da reta que é tangente ao gráfico em P.
O problema da área: Dada uma função f, encontre a área entre o gráfico de f e um intervalo [a, b] no eixo x.
Suponha que estejamos interessados na reta tangente a uma curva em um ponto P no plano xy e que Q é um ponto qualquer que pertence à curva e é distinto de P. 
A reta que passa por P e Q é a reta secante à curva em P.
P
Q
Se movermos o ponto Q em direção a P, a reta secante irá girar-se em direção a uma posição limite, que chamaremos reta tangente em P.
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
Exemplo 1
Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1, 1).
Solução: Se encontrarmos a inclinação mtg da reta tangente em P, então podemos usar o ponto P (1, 1) e a fórmula ponto-inclinação de uma reta.
y – 1 = mtg (x – 1)
Para encontrar a inclinação mtg, considere a reta secante por P (1, 1) e um ponto Q (x, x2) na parábola que é distinto de P. A inclinação msec dessa secante é
Áreas e limites
Assim como a noção geral de reta tangente leva ao conceito de limite, o mesmo acontece com a noção geral de área.
Limites
Por exemplo, examinemos o comportamento da função
f(x) = x2 – x + 2
quando x está cada vez mais próximo de 2.
O uso mais básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor.
O Limite de uma Função
Vamos analisar o comportamento da função definida por f(x) = x2 – x + 2 para valores de x próximos de 2.
x
f(x)
x
f(x)
1
2
3
8
1,5
2,75
2,5
5,75
1,8
3,44
2,2
4,64
1,9
3,71
2,1
4,31
1,99
3,9701
2,01
4,0301
1,995
3,985025
2,005
4,015025
1,999
3,997001
2,001
4,003001
12
Vemos no gráfico de f e na tabela que quando x estiver próximo de 2 (à esquerda ou à direita de 2), f(x) tenderá a 4.
Definição de limite:
Se f(x) se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c tanto pela esquerda como pela direita, L é o limite de f(x) quando x tende a c.
	
A notação para limite é
				
		 que se lê
 
“o limite de f(x) quando x tende para c é L.”
Exemplo: Estime o valor de
Solução:
Os dados da tabela sugerem que f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 por qualquer dos dois lados .
Portanto, dizemos que 
x
0,5
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
1,5
f(x)
1,5
1,9
1,99
1,999
?
2,001
2,01
2,1
2,5
f(x) = 
O gráfico abaixo reforça essa conclusão.
Observe que não importa se f(x) não é definida para x = 1. O limite depende somente dos valores de f(x) na vizinhança de 1.
Aula 2
Limites Laterais
Costuma-se dizer que é o limite bilateral , porque requer que os valores de f(x) fiquem cada vez mais próximos de L quando x tende a c por qualquer um dos dois lados.
Por exemplo, considere a função
Quando x se aproxima de 0 (zero) do lado direito, os valores de f(x) tendem ao limite 1. 
Quando x tende a 0 (zero) pela esquerda, os valores de f(x) aproximam-se do limite -1.
Esses limites podem ser denotados da seguinte forma:
Nesse caso, dizemos que o limite bilateral não existe, pelo fato de a função tender para valores diferentes à esquerda e à direita de 0.
Este tipo de comportamento pode ser entendido com o conceito de limite lateral.
 
				 
Limites Laterais (definição)
Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de c (mas menores que c), então escrevemos
e se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de c (mas maiores que c), então escrevemos
 
O primeiro limite refere-se ao limite de f(x) quando x tende para c pela esquerda. O segundo é o limite de f(x) quando x tende para c pela direita.
Exemplo: Seja
Determine os limites laterais
 
Relação entre limites laterais e bilaterais
O limite bilateral de uma função f(x) existe em um ponto c se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é
Exemplo: Ache os limites laterais e bilateral, se existir, de f(x) quando x tende para 1.
Limites Infinitos
Às vezes, os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas. 
Por exemplo, observe o comportamento da função 		 para os valores de x perto de zero. 
As expressões e 
significam que f(x) cresce sem cota quando x tende a a pela esquerda ou pela direita, respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos
Analogamente, as expressões e 
 significam que f(x) decresce sem cota quando x tende a a pela esquerda ou pela direita, respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos
Exemplo: Para as funções representadas nos gráficos abaixo, descreva os limites em x = 2 na notação de limite apropriada.
a) b)
c) d)
 
Assíntotas Verticais
As figuras a seguir ilustram geometricamente o que acontece quando ocorre uma das seguintes situações:
					
					
a
a
a
a
Em cada caso, o gráfico de y = f(x) ou sobe ou desce sem cota, ajustando-se mais e mais à reta vertical x = a à medida que x tende a a pelo lado indicado no limite.
A reta x = a é denominada assíntota vertical da curva y = f(x).
Aula 3
Calculando Limites
Até aqui, empregamos gráficos e calculadoras para fazer conjecturas sobre o valor de limites.
Veremos, agora, algumas técnicas algébricas para calcular limites de muitas funções.
Comecemos com os seguintes resultados básicos:
Sejam a e k dois números reais.
a) 
b) 
c) 
d) 
Propriedades dos Limites
a)
b) 
c) 
d) 
e)					 desde que se n for par. 
 
Essas propriedades podem ser enunciadas da seguinte forma:
a) O limite da soma é a soma dos limites.
b) O limite da diferença é a diferença dos limites.
c) O limite do produto é o produto dos limites.
d) O limite do quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero).
e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
No caso do produto, , quando f(x) = k é uma função constante, temos:
 
Um fator constante pode ser movido para fora de um símbolo de limite.
Limites de Polinômios e Funções Racionais quando 
Teorema
Para qualquer polinômio 
p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn
e qualquer número real a
Exemplo: Calcule o limite
O limite de um polinômio pode ser calculado por substituição direta.
Encontre o limite
Solução: Aplicando a propriedade do quociente, temos:
O método utilizado no último exemplo não funciona com funções racionais em que o limite do denominador é nulo.
	Há dois casos a considerar:
 o limite do denominador é zero e o do numerador não é zero.
 o limite de denominador e o limite do numerador são iguais a zero.
Limite de Função Racional , quando 
q(a) = 0 e p(a) ≠ 0
Se o limite do denominador é zero mas o limite do numerador não é, o limite da função racional não existe e ocorre uma das seguintes situações:
o limite poderá ser -∞.
o limite poderá ser +∞.
o limite poderá ser -∞ de um lado e +∞ do outro.
Os gráficos abaixo ilustram essas três possibilidades para funções racionais da forma 1/(x – a), 1/(x – a)2 e -1/(x – a)2.
Exemplo:
Encontre:
a) 
b) 
c)
Solução: Em todos os três casos, o limite do numerador é -2 e o do denominador é 0 (zero). Logo, o limite da razão não existe.
Analisando o sinal da razão, verificamos que
Como os limites laterais têm sinais opostos, concluímos que o limite bilateral não existe. 
Limite de Função Racional , quando 
p(a) = 0 e q(a) = 0 
No caso em que é uma função racional, com p(a) = 0 e q(a) = 0, o numerador e o denominador possuem um ou mais fatores comuns de x – a.
O limite dessa função quando pode ser encontrado cancelando os fatores comuns.
Exemplo: Encontre o limite em cada caso:
a) 
b)
c) 
d) 
 
Calcule o limite, se existir, e observe no gráfico se a resposta está correta.
a)
b)
c)
d) 
f(x) =