PME2330 P1 2009

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1a Prova de PME 2330 – Mecânica dos Fluidos 2 – 30/3/2009 
1) (5,0 pontos): Uma camada de ar entre duas placas de vidro em uma janela isolante tem uma massa específica ρ 
que varia linearmente com a distância y do centro da camada segundo a expressão ρ=ρo (1-αy) por causa da 
transferência de calor entre as placas quente e fria. Entretanto, a diferença de temperaturas não é suficiente 
para influenciar a viscosidade dinâmica, de modo que a distribuição de µ pode ser considerada uniforme. O ar 
quente (0 ≤ y ≤ h) se move para cima e o ar frio (-h ≤ y ≤ 0) se move para baixo, de modo que as linhas de 
corrente são paralelas às superfícies de vidro, ou seja, a velocidade na direção y é v=0 e podemos considerar 
também 0=
∂
∂
y
p
. Podemos considerar o escoamento permanente e desenvolvido. Por simetria, a vazão para 
cima do lado quente iguala a vazão para baixo do lado frio.Pede-se: 
a) Mostre que como o escoamento é permanente, ρ=ρ(y) e v=0, podemos considerá-lo incompressível. 
b) Na linha de centro verifica-se que 02
2
=
∂
∂
y
u
 e o gradiente de pressão 
x
p
∂
∂
equilibra a força 
gravitacional. Ache uma expressão para
x
p
∂
∂
. 
c) Obtenha o perfil de velocidades u=u(y) como função de ρo , α , h e µ . 
 
2) (5,0 pontos): Dois fluidos não miscíveis e incompressíveis, com mesma massa específica mas viscosidades dinâmicas 
diferentes µA e µB escoam em regime permanente entre duas placas horizontais e paralelas. Cada camada de fluido tem 
uma espessura h. A placa inferior é fixa e a superior se move com velocidade constante U. Determine a velocidade na 
interface entre os fluidos como função de U, µA e µB. Considere que não há nenhum gradiente de pressão na direção do 
escoamento (∂p/∂x = 0) , que gx=0, que o escoamento é laminar e que a velocidade v na direção y é nula. Considere 
também que a velocidade e a tensão de cisalhamento são contínuas na interface entre os fluidos, ou seja, as velocidades 
e tensões de cisalhamento das duas camadas são iguais para y=h. 
 
Formulário - Continuidade: ( ) 0=⋅∇+
∂
∂
u
t
rρρ 
Navier-Stokes para fluido incompressível: ( ) gupuu
t
u rrrr
r
ρµρ +∇+∇−=




 ∇⋅+
∂
∂ 2
 
Tensor das tensões para fluido incompressível: 








∂
∂
+
∂
∂
+−=
i
j
j
i
ijij
x
u
x
u
p µδσ 
 
 
 
Gabarito 
 
1a Questão) 
 
a) De equação da continuidade: 
 
( )
{ {
{ 000
0
00
=⋅∇⇒=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⇒=⋅∇+
∂
∂
u
y
v
x
u
y
v
x
u
t
u
t
rr ρρρρρρ 
Neste escoamento, as partículas se movem numa direção normal ao gradiente de ρ, o que significa que conservam sua 
massa específica ( A derivada material de ρ é nula). 
 
A equação da continuidade resulta enfim: 
 
0=
∂
∂
x
u
 ou seja, o escoamento é desenvolvido. 
 
 
b) Aplicando Navier-Stokes na linha de centro, como ρ=ρo e gx = -g: 
 
{ {
{
{ {
g
y
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u
t
u
oo ρµρ −










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
2
2
0
2
2
0
00
 
 
Resulta: 
 
g
x
p
oρ−=∂
∂
 
 
c) Aplicando a equação de Navier-Stokes: 
 
{ {
{
{
g
y
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u
t
u ρµρ −










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
0
2
2
0
00
 
 
Resulta: 
 
µ
αρρ
µ
gy
g
x
p
y
u o−
=





+
∂
∂
=
∂
∂ 1
2
2
 
 
Com condições de contorno u=0 para y=±h, u=0 para y=0. 
 
A integração resulta: 
 
( )22
6
yhygu o −=
µ
αρ
 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão) 
 
A equação de Navier-Stokes resulta para ambas as camadas: 
 
 
02
2
=
yd
ud
 
 
Logo: 
 
21 CyCu += para a camada A e 43 CyCu += para a camada B. 
 
Como u=0 para y=0: 
 
yCu 3= para a camada B 
 
Como u=U para y=2h: 
 
11 2hCUyCu −+= para a camada A 
 
A igualdade de velocidades em y=h resulta: 
 
hCUhC 13 −= 
 
A igualdade de tensões de cisalhamento em y=h resulta: 
 
( ) ( ) 31113 2 CChCUyCdy
dyC
dy
d
A
B
hyAhyB µ
µµµ =⇒−+=
==
 
 
 
Substituindo esse resultado no anterior: 
 






+
=
1
3
A
Bh
UC
µ
µ
 
 
E substituindo esse resultado no perfil de velocidades da camada B, a velocidade na interface 
resulta: 
 






+
=
1
A
B
U
u
µ
µ