NB002_NA_2 - 2013 - DERIVADAS PARCIAIS

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�B002 
(Derivadas Parciais) 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
7 DERIVADAS PARCIAIS 
7.1) I�TRODUÇÃO 
As técnicas, regras e fórmulas que dispomos para diferenciar funções a uma variável 
podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, considerando-se que uma 
das variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação à variável 
remanescente. 
Como exemplo considere a função 
( ) 22 43, yxyxyxf −+= . 
Consideraremos temporariamente à variável y como constante e diferenciaremos em 
relação à variável x. Por conseguinte, visto que y é constante, 
( ) ( ) ( ) 04333 2 =−== y
dx
d
eyx
dx
d
yxy
dx
d
, 
 
daí 
( ) ( ) ( ) ( ) yxyxy
dx
d
xy
dx
d
x
dx
d
yxf
dx
d
3203243, 22 +=++=−++= . 
 
No sentido de enfatizar que apenas a variável x pode variar, ou seja, que a variável y 
deve ser mantida constante quando a derivada é calculada, é usual substituir-se o símbolo 
x
por
dx
d
∂
∂
. 
 
O símbolo ∂ é lido como “d round”. Portanto, da expressão anterior teremos 
( ) ( ) yxyxyx
x
yxf
x
3243, 22 +=−+
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
A derivada calculada em relação à variável x enquanto y é mantida temporariamente 
constante é denominada derivada parcial em relação à variável x, e x∂∂ é chamado de 
operador derivada parcial em relação à variável x. Analogamente realizamos as mesmas 
considerações para y∂∂ . Desse modo, para a função f definida por 
( ) 22 43, yxyxyxf −+= , tem-se 
 3 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 4343, y
y
xy
y
x
y
yxyx
y
yxf
y
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
( ) yxyxyxf
y
83830, −=−+=
∂
∂
. 
 
7.2) DERIVADAS PARCIAIS DE FU�ÇÕES A DUAS VARIÁVEIS 
Se f é uma função a duas variáveis e (x,y) é um ponto no domínio de f, então as 
derivadas parciais 
( ) ( )
y
yxf
x
yxf
∂
∂
∂
∂ ,
e
,
 de f em (x,y) em relação à primeira e à segunda 
variável são definidas por 
( ) ( ) ( )
x
yxfyxxf
x
yxf
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,
lim
,
0
, 
 
( ) ( ) ( )
y
yxfyyxf
y
yxf
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,
lim
,
0
. 
 
Contanto que os limites existam. O procedimento para encontrar as derivadas parciais é 
denominado diferenciação parcial. 
7.2.1) �OTAÇÃO 
É conveniente se ter uma notação para derivadas parciais que seja análoga à notação 
f’(x) para funções de uma variável. Assim, a derivada de ( )yxfz ,= frequentemente se 
escreve 
( ) ( )yxfouyxf x ,,1 , 
ao invés de 
( )
x
yxf
ou
x
z
∂
∂
∂
∂ ,
. 
 
Para a derivada parcial de f em relação à variável x. O índice 1(respectivamente o índice 
x) representa a diferenciação parcial em relação à primeira variável ou, em relação à 
 4 
variável x. A notação do operador ( )[ ]xfD para derivadas ordinárias pode ser adaptada 
para derivadas parciais obtendo-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxfDyxfDyxfyxfyxf
xx
z
xx ,,,,, 11 ====∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Analogamente, para a derivada parcial em relação à variável y obtém-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxfDyxfDyxfyxfyxf
yy
z
yy ,,,,, 22 ====∂
∂
=
∂
∂
. 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Use a definição para encontrar 
y
z
e
x
z
∂
∂
∂
∂
se ( ) 22 275, yxyxyxfz +−== . 
 
( ) ( )
x
yxfyxxf
x
z
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,
lim
0
 
( ) ( )[ ] ( )
x
yxyxyyxxxx
x
z
x ∆
+−−+∆+−∆+
=
∂
∂
→∆
2222
0
2752.7.5
lim 
( )[ ]
x
yxyxyxyxyxxxx
x
z
x ∆
−+−+∆−−∆+∆+
=
∂
∂
→∆
22222
0
27527725
lim 
( ) ( )xyx
x
xyxxx
x
z
xx
∆+−=
∆
∆−∆+∆
=
∂
∂
→∆→∆
5710lim
7510
lim
0
2
0
 
.710 yx
x
z
−=
∂
∂
 
 
 
 
( ) ( )
y
yxfyyxf
y
z
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,
lim
0
 
( ) ( )[ ] ( )
y
yxyxyyyyxx
y
z
y ∆
+−−∆++∆+−
=
∂
∂
→∆
2222
0
275275
lim 
( )[ ]
y
yxyxyyyyyxxyx
y
z
y ∆
−+−∆+∆++∆−−
=
∂
∂
→∆
22222
0
27522775
lim 
( ) ( )yyx
y
yyyyx
y
z
yy
∆++−=
∆
∆+∆+∆−
=
∂
∂
→∆→∆
247lim
247
lim
0
2
0
 
.47 yx
x
z
+−=
∂
∂
 
 
 
 5 
7.3) DERIVADAS PARCIAIS DE FU�ÇÕES A � VARIÁVEIS 
Seja f uma função a n variáveis e suponha que (x1, x2,....., xk,......., xn) pertença ao 
domínio de f. Se nk ≤≤1 , então a derivada parcial de f em relação à k-ésima variável xk é 
representada por fk e definida por 
( )nkk xxxxf ,.......,,,........., 21 
( ) ( )
k
nknkk
x x
xxxxfxxxxxf
k ∆
−∆+
=
→∆
,......,.....,,....,.....,,
lim 2121
0
 
 
Contanto que o limite exista. 
Se ( )nk xxxxfw .,,.........,.......,, 21= , então pode se utilizar também as seguintes notações 
para derivada parcial de f em relação à k-ésima variável xk. 
( ) ( )
( ) ( )nkxnkk
nkxnk
kk
xxxxfDxxxxfD
xxxxfxxxxf
xx
w
k
k
,.......,,,.........,,.......,,,.........,
,.......,,,.........,,.......,,,.........,
2121
2121
==
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) No caso onde n = 3, as variáveis x1, x2 e x3 da definição acima são substituídos por x, y, 
z, respectivamente, e obtém-se as expressões. 
( ) ( ) ( ) ( )
x
zyxfzyxxf
zyxfzyxf
x
x ∆
−∆+
==
→∆
,,,,
lim,,,,
0
1 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
y
zyxfzyyxf
zyxfzyxf
y
y ∆
−∆+
==
→∆
,,,,
lim,,,,
0
2 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
z
zyxfzzyxf
zyxfzyxf
z
z ∆
−∆+
==
→∆
,,,,
lim,,,,
0
3 
 
7.4) TÉC�ICAS PARA O CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIAIS 
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram 
válidas para funções ordinárias, exceto que todas as variáveis independentes, que não 
aquelas em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente 
como constantes. 
 6 
Exemplo: 
1) Se w = x.y2.z3 , encontre xw ∂∂ e yw ∂∂ 
Considerando x e z com constantes e diferenciando em relação a y obtém-se 
( ) ( ) ( ) 332332 22 xyzyxzy
y
xzzxy
yy
w
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
( ) ( ) ( ) 32323232 1 zyzyx
y
zyzxy
xx
w
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
7.5) CO�CEITO SOBRE A REGRA DA CADEIA 
Recordando o caso com uma variável, se considerarmos duas funções diferenciáveis f e 
g, onde 
( ) ( )xgueufy == . 
Se g(x) está no domínio de f, pode-se escrever 
( ) ( )( )xgfufy == . 
Isto é, y é função de x. O teorema a seguir dá uma fórmula que especifica a derivada Dxy 
da função composta em termos das derivadas de f e g. No enunciado do teorema supõe-se 
que as variáveis sejam escolhidas de modo que a função composta f o g seja definida, e que, 
se g tem derivada em x, então f tem derivada em g(x). 
Portanto, se y = f(u), u = g(x) e as derivadas Duy e Dxu existem, a função composta 
definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por 
( ) ( ) ( )xgufuDyDyD xux '')( == 
ou 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= . 
 
Considere agora g uma função a mais de uma variável, por exemplo, a duas variáveis 
por facilidade de compreensão. Se w = f(v) e v = g(x,y), ou seja w = f[g(x,y)], então 
mantendo y constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, tem-se 
( )[ ] ( ) ( )
x
v
vfyxgyxgf
x
w
x ∂
∂
==
∂
∂ '' ,, , 
x
v
dv
dw
x
w
∂
∂
=
∂
∂
. . 
 
 7 
Contanto que as derivadas xvedvdw ∂∂ existam. Analogamente, mantendo-se x 
constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, teremos: 
( )[ ] ( ) ( )
y
v
vfyxgyxgf
y
w
y ∂
∂
==
∂
∂ '' ,,y
v
dv
dw
y
w
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
7.6) I�TERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
Suponha que f seja uma função a duas variáveis e que f tenha derivadas parciais f1 e f2. O 
gráfico de f é uma superfície com equação z = f(x,y), ilustrado na Figura 7.1. Seja zo = 
f(xo,yo), tal que P = (xo,yo,zo) seja um ponto desta superfície. O plano y = yo intercepta a 
superfície na seção APB, enquanto que o plano x = xo intercepta a mesma superfície na 
seção CPD. Quando um ponto se move ao longo da curva AP, suas coordenadas x e y 
variam de acordo com a equação z = f(x,yo), enquanto sua coordenada y permanece 
constante com y = yo . A inclinação da reta tangente à APB em um ponto qualquer é a taxa 
de variação da coordenada z em relação à coordenada x, daí a inclinação é dada por 
),(1 oyxfxz =∂∂ . 
C
x
o
y
o0
D
β
α
B
reta tangenteà APB
X
Y
Z
P=(x
o
,y
o
,z
o
)
A
reta tangenteà CPD
z=f(x,y)
 
Fig. 7.1 – Interpretação Geométrica da derivada parcial. 
 8 
Em particular, f1(xo,yo) representa o coeficiente angular da reta tangente à APB no ponto 
P. Analogamente, f2(xo,yo) representa o coeficiente da reta tangente à CPD no ponto P. 
Assim tem-se 
( ) ( ) ( )0000001 ,x em calculado,,tan y
x
z
yxfyxf x ∂
∂
===α 
 
e 
( ) ( ) ( )0000002 ,x em calculado,,tan y
y
z
yxfyxf y ∂
∂
===β . 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da superfície 
324 xyyxz −= com plano y =2 no ponto P = (3,2,48). 
Mantendo y constante e encontrando 
x
z
∂
∂
, tem-se 
( ) ( ) 332 y8xy4x −=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
xy
x
y
xx
z
, 
 
ou seja, quando x = 3 e y = 2, 
40(2))2)(3(8 3 =−==
∂
∂
x
z
. 
 
7.7) APROXIMAÇÃO LI�EAR 
Como pode ser observado nas seções anteriores, as derivadas parciais 
( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 se relacionam com as seções obtidas numa superfície z = f(x,y) por 
dois planos perpendiculares, y = yo e x = xo; assim estas duas derivadas parciais pouco 
dizem quanto ao aspecto da superfície além dessas seções. Assim, não é apropriado chamar 
uma função a duas (ou mais) variáveis de “diferenciáveis” apenas pela existência de suas 
derivadas parciais. A chave para a definição própria de “diferenciabilidade” para funções a 
mais de uma variável está no conceito de aproximação linear. 
Suponha que ( )oo yx , seja um ponto interior do domínio f e que as duas derivadas 
parciais ( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 existam. Assim, se o ponto (x,y) está próximo do ponto 
(xo,yo), então, por analogia ao procedimento utilizado no uso de derivadas para valores 
aproximados de funções a uma variável, tem-se 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )oooooooo yyyxfxxyxfyxfyxf −+−+≈ ,,,, 21 
Naturalmente, o erro resultante dessa aproximação linear é dado por 
 9 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )oooooooo yyyxfxxyxfyxfyxfyxE −−−−−= ,,,,, 21 
Para a maioria das funções encontradas nas aplicações práticas de cálculo, a 
aproximação linear dispõe de boa precisão isto é, o valor absoluto do erro, ( )yxE , , é 
pequeno – quando o ponto (x,y) está próximo de (xo,yo). 
Definindo oo yyyexxx −=∆−=∆ , a aproximação linear pode ser representada 
através da relação 
( ) ( ) ( ) ( ) yyxfxyxfyxfyyxxf oooooooo ∆+∆+≈∆+∆+ ,,,, 21 . 
A condição de que o ponto (x,y) esteja próximo ao ponto (xo,yo) é equivalente, à 
condição de que yex ∆∆ sejam pequenos. 
7.8) FU�ÇÕES DIFERE�CIÁVEIS A DUAS VARIÁVEIS 
Uma função a duas variáveis é diferenciável se o erro resultante da aproximação linear é 
pequeno em valor absoluto. Suponha que (xo,yo) seja um ponto interior ao domínio de f e 
que as duas derivadas parciais ( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 existam. Então, é possível estabelecer 
a seguinte definição. 
7.8.1) FU�ÇÃO DIFERE�CIÁVEL A DUAS VARIÁVEIS 
É possível dizer que f é diferenciável no ponto (xo,yo) se o erro resultante da 
aproximação linear tem a forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxyyyxxxyxE oo ,,, 21 εε −+−= . 
Se o domínio de f é um conjunto aberto, então f é denominada função diferenciável, 
ressaltando-se que é diferenciável em todo ponto de seu domínio. 
Fazendo oo yyxexxx −=∆−=∆ e abreviando E(x,y) ( ) ( )yxyx ,,, 21 εε por 21, εε eE , 
respectivamente tem-se 
0lim0lim 2
0
0
1
0
0
,21 ==∆+∆=
→∆
→∆
→∆
→∆
εεεε
y
x
y
x
eondeyxE . 
Portanto, para uma função diferenciável, o erro E resultante de uma aproximação linear 
tende a zero rapidamente quando yex ∆∆ tendem a zero. Isto é análogo à condição de erro 
da aproximação linear de uma função a uma única variável, estudado no cálculo 
fundamental. 
 10 
Infelizmente, a mera existência das derivadas parciais ( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 não 
garante que f seja diferenciável em (xo,yo). Uma condição que assegura a diferenciabilidade 
de f é dada na próxima seção. 
7.8.2) DIFERE�CIABILIDADE CO�T�UA 
Considere f uma função a duas variáveis e U um conjunto aberto de pontos contidos no 
domínio de f. Pode-se dizer que f é continuamente diferenciável em U se as derivadas 
parciais ( ) ( )yxfeyxf ,, 21 existam para todo ponto (x,y) de U e as funções f1 e f2 são 
contínuas em U. 
Se o domínio de f é um conjunto aberto e se f é continuamente diferenciável em D, então 
f é continuamente diferenciável. 
Propriedades: 
1 – Se f é diferenciável em (xo,yo), então f é contínua em (xo,yo). 
2 – Se f é continuamente diferenciável em um conjunto aberto U, então f é diferenciável 
em cada ponto (xo,yo) em U. 
Assim, pode-se estabelecer que se uma função com derivadas parciais contínuas é 
continuamente diferenciável, então uma função continuamente diferenciável é 
diferenciável. Logo, uma função diferenciável é continua. Finalmente, a aproximação linear 
aplicada a uma função diferenciável da margem a um pequeno erro. 
7.9) DIFERE�CIAL TOTAL 
Suponha que f é uma função a duas variáveis e seja 
( )yxfz ,= . 
Se x e y sofrem pequenas variações, respectivamente, então z varia de uma quantidade 
de z∆ , dada por 
( ) ( )yxfyyxxfz ,, −∆+∆+=∆ . 
Considerando que f seja diferenciável em (x,y), será de conhecimento que o erro 
resultante da aproximação linear 
( ) ( ) ( ) ( ) yyxfxyxfyxfyyxxf ∆+∆+≈∆+∆+ ,,,, 21 , 
será pequeno, e segue que pode-se aproximar z∆ como 
 11 
( ) ( ) yyxfxyxfz ∆+∆≈∆ ,, 21 . 
Usando a notação alternativa yzexz ∂∂∂∂ para as derivadas parciais 
( ) ( )yxfeyxf ,, 21 pode-se escrever a aproximação como 
y
y
z
x
x
z
z ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ . 
Por analogia, com a notação utilizada para funções a uma variável, as variações 
yex ∆∆ são às vezes chamadas de diferenciais destas variáveis e escritas como dyedx , 
respectivamente. Desse modo, se dyedx são pequenos, então a variação z∆ do valor de z 
causada pela mudança de x para x+dx e de dy para y+dy é aproximada por 
dy
y
z
dx
x
z
z
∂
∂
+
∂
∂
≈∆ 
Realizando uma analogia com funções a uma variável, definimos a diferencial total dz 
da variável dependente z por 
dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Portanto, se dx e dy são pequenos, então dzz ≈∆ . Visto que z = f(x,y), pode-se escrever 
também dz como df, ou seja 
( ) ( )dyyxfdxyxfdf ,, 21 += . 
7.10) FU�ÇÕES A TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS 
Se w = f(x,y,z), onde f é diferenciável em um ponto interior (x,y,z) de seu domínio, 
definimos a diferencial total dw, ou df, em (x,y,z) por 
( ) ( ) ( )dzzyxfdyzyxfdxzyxfdz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
dfdw ,,,,,, 321 ++=∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
== . 
 
Onde dx, dy e dz as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores 
arbitrários. A diferencial total dw fornece uma aproximação da variaçãow∆ da variação 
dependente w causada pelo incremento de x, y e z das quantidades dx, dy e dz, 
respectivamente. 
 
 
 
 12 
7.11) AS REGRAS DA CADEIA 
A mais simples regra da cadeia é sugerida pela notação de diferencial total, já 
introduzida. Suponha que z seja uma função a duas variáveis x e y, de modo que z = f(x,y), 
enquanto que x e y sejam funções a uma outra variável t, ou seja x=g(t) e y=h(t). Então z 
torna-se uma função a uma única variável t, isto é z = f(g(t),h(t)). Desde que 
dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Portanto, pode-se esperar que 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Esta regra da cadeia está correta a partir do momento que f, g, h sejam funções 
diferenciáveis. Seja t∆ uma variação pequena em t e sejam x∆ , y∆ , z∆ as variações 
resultantes nas variáveis x, y e z respectivamente. Visto que f é diferenciável, tem-se 
yxy
y
z
x
x
z
z ∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ 21 εε . 
 
Onde yx ∆+∆ 21 εε é o erro resultante da aproximação linear, 
y
y
z
x
x
z
z ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ , 
e 
0limlim 2
0
0
1
0
0
==
→∆
→∆
→∆
→∆
εε
y
x
y
x
. 
Dividindo por t∆ , tem-se 
t
y
t
x
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
=
∆
∆
21 εε . 
 
Tomando o limite em ambos os lados quando 0→∆t e notando que 0→∆x e 
0→∆y , ou seja, 01 →ε e 02 →ε quando 0→∆t , obtém-se 
( ) ( )
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dy
dt
dx
o
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
=++
∂
∂
+
∂
∂
= 0 , 
 
como era esperado 
 
 
 13 
7.11.1) PRIMEIRA REGRA DA CADEIA 
Considere f uma função a duas variáveis e as funções g e h com uma única variável. 
Considere que (xo,yo) seja um ponto interior ao domínio de f e que f seja diferenciável em 
(xo,yo). Suponha que xo = g(to) e que yo = h(to) e que ambas, g e h, sejam diferenciáveis em 
to. Definindo a função ( ) ( ) ( )( )thtgftF ,= . Então, se F é diferenciável em to, tem-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'0020'001' ,, thyxftgyxftF o += . 
Esta regra da cadeia pode ser generalizada para funções a mais de duas variáveis. De 
fato, se w é uma função de n variáveis x1, x2, x3,......, xn e cada uma dessas n variáveis são 
por sua vez, função de uma variável t, então 
dt
dx
x
w
dt
dx
x
w
dt
dx
x
w
dt
dw n
n∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= ...........2
2
1
1
. 
 
Ressaltando que a função w dada em termos de x1, x2, x3,......, xn seja diferenciável e que 
as derivadas 
t
x
t
x
t
x n
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,.....,, 21 existam. 
7.11.2) SEGU�DA REGRA DA CADEIA 
Agora considere o caso em que a variável dependente z seja função de duas variáveis x e 
y, de modo que 
( )yxfz ,= . 
Considerando que x e y são funções a duas variáveis, u e v, ou seja, 
( ) ( )vuhyvugx ,,, == , 
então z torna-se uma função de u e v, dada por 
( ) ( )( )vuhvugfz ,,,= . 
Considerando temporariamente que a variável v seja constante, então a derivada parcial 
de z em relação a u é enunciada pela primeira regra da cadeia como 
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Notando que f é diferenciável e que as derivadas parciais uyeux ∂∂∂∂ existem. De 
modo semelhante, se f é diferenciável e as derivadas parciais vyevx ∂∂∂∂ existem, então 
 14 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Em um modelo mais formalizado considere f, g e h funções a duas variáveis, seja (xo,yo) 
um ponto interior ao domínio de f e suponha f diferenciável em (xo,yo). Seja xo = g(uo,vo), 
yo = h(uo,vo), e suponha que as derivadas parciais g1(uo,vo), g2(uo,vo), h1(uo,vo) e h2(uo,vo) 
existam. Define-se a função F por 
( ) ( ) ( )( )vuhvugfvuF ,,,, = . 
Então F tem derivadas parciais ( )001 ,vuF e ( )002 ,vuF sendo dado por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )001002001001001 ,,,,, vuhyxfvugyxfvuF += , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )002002002001002 ,,,,, vuhyxfvugyxfvuF += . 
A generalização da segunda regra da cadeia para mais de duas variáveis é explicada a 
seguir. 
Se w é uma função a m variáveis y1, y2, y3,......, ym e se cada uma dessas variáveis é por 
sua vez uma função a n variáveis x1, x2, x3,......, xn então 
j
m
mjjj x
y
y
w
x
y
y
w
x
y
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
......2
2
1
1
. 
 
É válido para cada j = 1, 2,...., n, alertando que as derivadas parciais 
j
m
jj x
y
x
y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,.....,, 21 
existam. A equação anterior pode ser escrita mais compacta, ou seja, na forma 
∑
=
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ m
k j
k
kj
njpara
x
y
y
w
x
w
1
,,.........2,1, . 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
Se w = f(x,y,z), x = g(s,t,u), y = h(s,t,u) e z = p(s,t,u), e se f é diferenciável, então 
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
, 
 
t
z
z
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
, 
 
u
z
z
w
u
y
y
w
u
x
x
w
u
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Desde que todas as derivadas parciais de x, y e z em relação à s, t e u existam. 
 15 
7.12) DIFERE�CIAÇÃO IMPLÍCITA 
Dada uma equação na qual figurem as variáveis x e y, pode-se transpor os termos para a 
esquerda do sinal de igualdade e a equação toma a forma 
( ) 0, =yxf , 
onde f é uma função a duas variáveis. Esta equação define y implicitamente como uma 
função g de x se 
( )( ) 0, =xgxf , 
sendo válida para todo valor de x no domínio de g. Considerando que f e g sejam 
diferenciáveis, então pelo teorema da primeira regra da cadeia podemos diferenciar ambos 
os lados da equação ( )( ) 0, =xgxf em relação a x e obter 
( )( ) ( )( ) ( ) 0,, 21 =+ xg
dx
d
xgxf
dx
dx
xgxf , 
 
ou 
( ) ( ) 0,, 21 =+
dx
dy
yxfyxf . 
 
Onde y = g(x). Se ( ) 0,2 ≠yxf , pode-se resolver a última equação em dy/dx, obtendo 
portanto, 
( )
( )yxf
yxf
dx
dy
,
,
2
1
−= . 
 
Em geral, dada uma equação na forma 
( ) 0,, =zyxf , 
onde figurem três variáveis, ela pode ser resolvida para uma das variáveis digamos y, em 
temos das outras duas variáveis x e z. Esta solução tem a forma 
( )zxgy ,= , 
então 
( )( ) 0,,, =zzxgxf . 
Válida para todos os pontos (x,z) do domínio da função g. Além disso, a equação 
( ) 0,, =zyxf define y implicitamente como uma função g de x e z. Assumindo que as 
funções f e g sejam diferenciáveis, tomam-se as derivadas em relação a x e também em 
relação a z em ambos os lados da equação ( ) 0,, =zyxf para obter 
 16 
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 321 =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
z
zyxf
x
y
zyxf
x
x
zyxf , 
 
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 321 =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
z
zyxf
z
y
zyxf
z
x
zyxf . 
 
Visto que x e z são variáveis independentes, tem-se 
1,1,0,0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
z
z
x
x
z
x
x
z
. 
 
Portanto, podemos representar a equação precedente sob a forma: 
( ) ( ) ( ) ( )zyxf
z
y
zyxfezyxf
x
y
zyxf ,,,,,,,, 3212 −=∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Daí, se ( ) 0,,2 ≠zyxf , pode-se resolver 
z
y
e
x
y
∂
∂
∂
∂
obtendo 
( )
()
( )
( )zyxf
zyxf
z
y
e
zyxf
zyxf
x
y
,,
,,
,,
,,
2
3
2
1
−=
∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Suponha que y seja função de x e z dada implicitamente pela equação 
01447 23233 =−−+− zzyxxyzyx . Encontre 
z
y
e
x
y
∂
∂
∂
∂
 quando x=1, z=0 e y=2. 
A equação tem a forma f(x,y,z) = 0, onde 
( ) 1447,, 23233 −−+−= zzyxxyzyxzyxf . 
Calculando as derivadas 
( ) 23321 2421,, zyxyzyxzyxf +−= , 
( ) 222332 347,, zyxxzxzyxf +−= , 
( ) 1212,, 3223 −+−= zyxxyzzyxf . 
Assim, 
22233
322
22233
2332
347
1212
347
2421
zyxxzx
zyxxyz
z
y
e
zyxxzx
zyxyzyx
x
y
+−
−+−
−=
∂
∂
+−
+−
−=
∂
∂
. 
 
fazendo x = 1, z = 0 e y = 2, obtém-se 
7
1
7
1
6
7
42
=
−
−=
∂
∂
−=−=
∂
∂
z
y
e
x
y
. 
 
 17 
7.13) DERIVADA DIRECIO�AL E GRADIE�TE 
Nesta seção é analisada a derivada direcional e o conceito de gradiente de um 
campo escalar. 
7.13.1) DERIVADA DIRECIO�AL E GRADIE�TE �O PLA�O 
Considere um campo escalar no plano xy descrito por uma função diferenciável a duas 
variáveis. Desse modo, se ( )yxfz ,= , então z é o valor do campo escalar no ponto P=(x,y). 
Seja L uma reta no plano xy. Quando P se move ao longo de L, z pode variar e faz sentido 
perguntar pela taxa de variação dz/ds de z em relação à distância s medida ao longo de L, 
conforme ilustra a Figura 7.2. 
A fim de encontrar dz/ds, é introduzido um vetor unitário jbiau += paralelo a L e na 
direção do movimento de P ao longo de L, Figura 7.2, Se P = (x,y) está a s unidades de um 
ponto fixado Po = (xo,yo) em L, então usPPO =
______
; isto é , 
( ) ( ) bsjasijyyixx +=−+− 00 . 
Igualando os componentes temos bsyyeasxx =−=− 00 ; isto é, 
bsyyeasxx +=+= 00 . Assim, 
b
s
y
ea
s
x
=
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Pela regra da cadeia, tem-se 
b
y
z
a
x
z
ds
dy
y
z
ds
dx
x
z
s
z
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
P = (x,y)
x
y
z
z = f(x,y)
P = (x,y)
x
y z
P
o 
= (x
o
,y
o
)
−
i
−
j
0
LL
−−−
+= jbiau
 
Fig. 7.2 - Taxa de variação dz/ds de z em relação à distância s medida ao longo de L. 
 18 
A derivada dz/ds, que é a taxa de variação do campo escalar z em relação à distância 
medida na direção do vetor unitário u , é denominada derivada direcional de z (ou derivada 
direcional da função f) na direção de u , sendo escrita como fDouzD
uu
−−
. Assim tem-se 
( ) ( ) ( )byxfayxfyxfDoub
y
z
a
x
z
zD
uu
,,, 21 +=∂
∂
+
∂
∂
=
−−
. 
onde, 
bjaiu += . 
Em particular se u é o vetor unitário que faz um ângulo θ com o eixo positivo de x, 
então 
( ) ( ) jseniu θθ += cos , 
e 
( ) ( ) ( ) θθθθ sen,cos,,sencos 21 yxfyxfyxfDou
y
z
x
z
zD
uu
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
−−
. 
Portanto, as derivadas direcionais de z nas direções dos eixos positivos de x e y são as 
derivadas parciais de z com respeito à x e y, respectivamente. 
A derivada direcional fDouzD
uu
−−
pode ser expressa na forma de produto escalar. 






∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂





 +=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
−−−−−−−
−
j
y
z
i
x
z
uj
y
z
i
x
z
jbia
y
z
b
x
z
ab
y
z
a
x
z
zD
u
.. . 
O vetor j
y
z
i
x
z
∂
∂
+
∂
∂
 cujos componentes escalares são derivadas parciais de z com 
respeito à x e a y é denominado gradiente do campo escalar z(ou da função f), sendo escrito 
como ) comoou ( fz ∇∇ . O símbolo ∇ , um delta grego invertido, é denominado de 
“nabla”. Assim, 
( ) ( ) ( ) jyxfiyxfyxfouj
y
z
i
x
z
z ,,, 21 +=∇∂
∂
+
∂
∂
=∇ . 
Assim, pode-se escrever a derivada direcional como 
( ) ( )yxfuyxfDouzuzD
uu
,.,. ∇=∇=
−−
. 
Em palavras, a derivada direcional de um campo escalar numa dada direção é o produto 
escalar desta direção pelo gradiente do campo escalar. 
 19 
Algumas observações importantes: 
1) A derivada direcional é nula na direção perpendicular ao gradiente. 
2) A derivada direcional assume seu valor máximo na direção do gradiente e esse 
máximo valor é ( )00 , yxf∇ . 
Em outras palavras, o gradiente de um campo escalar, calculado num ponto P, é um 
vetor cuja direção indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente, 
enquanto o módulo do vetor gradiente é numericamente igual a taxa instantânea de 
aumento do campo por unidade de distância nesta direção no ponto P. 
Por exemplo, se uma partícula estiver num dado ponto de um campo de temperatura e 
for necessário seguir para onde a temperatura aumenta mais rapidamente, basta tomar a 
direção do gradiente neste ponto. Por outro lado, se o movimento for perpendicular ao vetor 
gradiente, a taxa instantânea de variação é nula, pois estará sobre a isoterma (pontos de 
mesma temperatura) que passa por esse ponto. Movendo-se na direção oposta ao gradiente 
(isto é, na direção do gradiente negativo) a temperatura diminuirá mais rapidamente. 
7.13.2) DERIVADA DIRECIO�AL E GRADIE�TE �O ESPAÇO 
Assim, como uma função a duas variáveis pode ser considerada como um campo escalar 
no plano, uma função f a três variáveis pode ser considerado como um campo escalar no 
espaço xyz; isto é, pode-se pensar em f relacionando-a com o escalar w, dado por 
( )zyxfw ,,= . 
Como exemplo tem-se os campos de temperatura, pressão, densidade, potencial elétrico. 
Todas as técnicas introduzidas para campos escalares no plano xy estendem-se para 
campos escalares no espaço xyz. Por exemplo, se w = f(x,y,z), onde f é uma função 
diferencial, o gradiente de w (ou de f ) é definido por 
( ) ( ) ( ) ( ) −−−−−− ++=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ .,,,,,,,, 321 kzyxfjzyxfizyxfzyxfouk
z
w
j
y
w
i
x
w
w
 
Se u é um vetor unitário no espaço xyz, é fácil mostrar que a taxa de variação do campo 
escalar w em relação à distância medida na direção de u é dada pela derivada direcional. 
( ) ( )zyxfuzyxfDouwuwD
uu
,,.,,. ∇=∇=
−−
. 
 20 
Assim, como para campos escalares no plano xy, o gradiente de um campo escalar no 
espaço xyz indica a direção para qual a derivada direcional atinge seu máximo e o seu 
módulo é numericamente igual a essa derivada direcional máxima. 
7.14) DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
Quando se estuda as funções de uma variável, observa-se que é útil considerar não 
apenas a primeira derivada, mas também as derivadas de ordem superior. Analogamente, 
no estudo de funções a várias variáveis é útil considerar as derivadas parciais de ordem 
superior. 
Considere a função f a duas variáveis tendo derivadas parciais 1f e 2f , ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxf
y
yxfyxfeyxf
x
yxfyxf yx ,,,,,, 21 ∂
∂
==
∂
∂
== . 
As funções 1f e 2f são funções a duas variáveis e podem então ter derivadas parciais. 
Por exemplo, se ( ) 232 63, xyyxyxf += , então: 
( ) ( ) ( ) 232321 6663,, yxyxyyx
x
yxfyxf x +=+∂
∂
== 
( ) ( ) ( ) xyyxxyyx
x
yxfyxf x 12963,,
22232
1 +=+∂
∂
== 
Portanto, 
( ) ( ) ( ) 3231 666,, yyxy
x
yxf
xx
yxf
x
=+
∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) yxyyxy
x
yxf
xy
yxf
y
121866,, 2231 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) yxyxyyx
x
yxf
yx
yxf
x
1218129,, 2222 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂( ) ( ) ( ) xyxxyyx
y
yxf
yy
yxf
y
1218129,, 2222 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
As quatro derivadas parciais das derivadas parciais encontradas acima são chamadas de 
derivadas parciais de segunda ordem da função original f. Naturalmente podem-se 
expressar as derivadas da função 1f em relação á primeira e a segunda variável como 
 21 
( ) 11f e ( ) 21f , respectivamente, contudo por simplicidade, omiti-se os parênteses e 
representa-se essa derivada parcial de segunda ordem por 11f , 12f , respectivamente. Da 
mesma forma pode se representar como xxf , xyf . Por exemplo 






∂
∂
∂
∂
==
x
f
y
ff xy12 . 
O simbolismo 





∂
∂
∂
∂
x
f
y
 é também abreviado para 
yx
f
∂∂
∂ 2
, do mesmo modo que 
2
2
dx
fd
 é 
usada como abreviação para a derivada segunda ordinária. Analogamente, escrevemos 
2
2
x
f
∂
∂
 para a derivada parcial de segunda ordem 





∂
∂
∂
∂
x
f
x
, e assim por diante. 
Resumindo, as quatro derivadas parciais de segunda ordem de f podem ser representadas 
como se segue 






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
==
x
f
xx
f
ff xx 2
2
11 , 






∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
==
x
f
yxy
f
ff xy
2
12 , 






∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
==
y
f
xyx
f
ff yx
2
21 , 






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
==
y
f
yy
f
ff yy 2
2
22 . 
Na notação subscrita xyff =12 indica uma diferenciação parcial em relação á primeira 
variável x seguida por uma diferenciação parcial em relação à segunda variável y. Por 
conseguinte, o simbolismo 





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
f
xyx
f2
 indica uma diferenciação parcial inicial em 
relação à y seguida de uma diferenciação parcial em relação à x. Na notação inicial, a 
ordem dos índices da esquerda para a direita indica a ordem da diferenciação parcial, 
enquanto que na notação 
yx
f
∂∂
∂ 2
, a ordem está indicada da direita para a esquerda.