GA A Resumo 05 Vetores DepLinearCombLinearBases

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Curso de Geometria Analítica 
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis 
 Resumo Teórico 05 – Dependência e Combinação Linear, Base Vetorial. 
 
DEPENDÊNCIA e INDEPENDÊNCIA LINEAR: 
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Dados n (n≥1) vetores v1, v2, v3, ….. vn, definimos os mesmos como Linearmente Dependentes, 
(LD) se, e somente se, existem escalares (reais) a1, a2, a3, ….an, não todos nulos tais que: 
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a1v1 + a2v2 + a3v3 + ……+ anvn = 0. 
 
Observamos que quando um conjunto de vetores não forem Linearmente Dependentes, então eles 
serão definidos como Linearmente Independentes (LI). 
 
VETOR COMBINAÇÃO LINEAR: 
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Um vetor V é definido como vetor Combinação Linear(CL) de um conjunto v1, v2, v3, ….. vn, de 
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vetores, quando for obtido por V = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ……+ anvn, com a1, a2, a3, ….an, reais. 
Observamos que o vetor Combinação Linear é um vetor, enquanto que a Dependência Linear é 
uma relação sobre um conjunto de vetores. 
 
Teoremas fundamentais: 
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I. Em um conjunto de vetores, v1, v2, v3, ….. vn , se um destes for Combinação Linear dos 
demais, então estes vetores serão Linearmente Dependentes. Como conseqüência se em um 
conjunto os vetores forem Linearmente Dependentes, então um deles será Combinação Linear 
dos demais. 
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II. Em um conjunto de vetores, v1, v2, v3, ….. vn , se parte deste conjunto for Linearmente 
Dependente (LD), então o conjunto inteiro será também Linearmente Dependente (LD). 
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III. Em um conjunto de vetores, v1, v2, v3, ….. vn , for Linearmente Independente (LI), então 
qualquer parte deste conjunto será também Linearmente Independente (LI). 
 
DEPENDÊNCIA LINEAR DOS VETORES GEOMÉTRICOS 
1. Um conjunto de um vetor V, será Linearmente Dependente (LD), se, e somente se, este vetor 
for nulo, caso contrário será sempre Linearmente Independente (LI). 
2. Um conjunto de dois vetores será Linearmente Dependente(LD), se um destes for nulo, ou se 
estes tiverem a mesma direção, isto é se forem paralelos. 
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Notamos que se dois vetores u e v forem Linearmente Dependentes (//s), um destes será 
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combinação linear do outro, isto é existe a ∈IR tal que u =a • v. 
3. Um conjunto de três vetores será Linearmente Dependente(LD), se um destes for nulo, ou se 
estes vetores forem Complanares, isto é se podem ser representados por segmentos 
orientados no mesmo Plano (Coplanares). 
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Notamos que se três vetores u, v e w forem Linearmente Dependentes (Complanares), um 
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destes será combinação linear dos outros, isto é existem a e b ∈IR tais que u =a • v + b • w. 
4. Os vetores de m conjunto com quatro ou mais vetores serão sempre Linearmente 
Dependentes(LD). 
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Notamos que se quatro vetores u1 , u2 , u3 e v , forem Linearmente Dependentes, um destes 
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será combinação linear dos outros, isto é ∃ a, b e c∈IR tais que v=a • u1+ b • u2+ c • u3. 
 
BASES VETORIAIS 
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Uma Base Vetorial no Espaço, é um conjunto de três vetores ordenados, ( e1 , e2 , e3 ), 
formada por 3 vetores Linearmente Independentes (LI). 
 → 
Desta forma qualquer vetor V do espaço, em conjunto com estes três constituirá um conjunto de 
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4 vetores e portanto Linearmente Dependente de modo que o vetor V pode ser obtido como 
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Combinação Linear de e1 , e2 , e3, isto é, V = a1•e1 + a2•e2 + a3•e3 , com a1, a2, a3 ∈IR, os 
reais a1, a2, e a3 passam a ser chamadas de coordenadas do vetor segundo esta base. 
 → → 
O vetor V pode agora ser escrito através de suas coordenadas e assim teremos: V = (a1, a2, a3). 
 
OPERAÇÕES E DEPENDÊNCIA LINEAR DOS VETORES EM COORDENADAS 
Todas as operações, a relação de Dependência Linear, o vetor combinação Linear e suas 
respectivas propriedades, na forma geométrica do vetor, representada por um segmento 
orientado, podem ser agora revistas com a sua forma algébrica, representada pela sua forma 
matricial através de suas coordenadas. Assim: 
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1. Soma de um Vetor V = (a1, a2, a3) a um ponto A=(a, b, c) : A+V=B⇒(a, b, c)+ (a1, a2, a3) = 
(a+a1, b+a2, c+a3) = B . Lembramos que B é um ponto. 
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2. Adição dos vetores u = (a1, a2, a3) e v = (b1, b2, b3) : u + v = w = (a1 b1, a2 b2, a3 b3). 
lembramos que (a1 b1, a2 b2, a3 b3) é também um vetor. 
 → → → 
3. Produto de um número real κ por um vetor v = (x, y, z): κ•v = w = (κ•x, κ•y, κ•z). 
Lembramos que (κ•x, κ•y, κ•z) é também um vetor. 
 → 
4. O conjunto de um vetor será Linearmente Dependente ⇔ for o vetor nulo 0=(0, 0, 0). 
 → → 
5. O conjunto de 2 vetores u = (a1, a2, a3) e v = (b1, b2, b3) será Linearmente Dependente se, e 
 a1 a2 a3 
 somente se, suas coordenadas forem proporcionais, isto é:  =  =  
 b1 b2 b3 
Para que os vetores sejam LI, basta que uma destas proporções seja diferente. 
 
6. O conjunto de 3 vetores u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3) e w = (c1, c2, c3) será Linearmente 
Dependente se, e somente se, o determinante da matriz de suas coordenadas for nulo, isto é: 
 
 a1 a2 a3 
 ∆ = b1 b2 b3 = 0 
 c1 c2 c3 
 
 
Para que os vetores sejam LI, basta que ∆ ≠ = 0. 
 
7. O conjunto de 4 ou mais vetores será sempre Linearmente Dependente. 
 
 
 
 
Centro Universitário da FSA 
Prof.: Anastassios H.K.