Exercícios Álgebra Linear - tema 13

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04/12/2020 Exercícios de Fixação - Tema 13
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Iniciado em terça, 10 Nov 2020, 08:45
Estado Finalizada
Concluída em terça, 10 Nov 2020, 08:45
Tempo
empregado
26 segundos
Avaliar 5,00 de um máximo de 5,00(100%)
A combinação linear entre vetores ocorre quando há um conjunto de escalares que gera uma associação entre estes
vetores; assim, cada vetor torna-se uma projeção dos outros vetores neste mesmo conjunto.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
Considere um escalar k_1=4,2. Dentre as opções que se seguem, assinale a que representa adequadamente um
conjunto de vetores que forma uma combinação linear a partir deste escalar. 
 
Escolha uma opção:
a. v(84,21) e v_1 (20,5) 
 

b. v(10,5) e v_1 (21,42) 
 
c. v(10,42) e v_1 (42,10) 
 
d. v(20,21) e v_1 (84,42) 
 
Sua resposta está correta.
Para que o escalar mencionado forme uma combinação linear entre dois vetores, a equação da combinação linear deve
ser satisfeita: v=k_1*v_1.
Assim, pela propriedade da multiplicação entre escalares, o vetor v(84,21) corresponde ao produto entre o escalar 
k_1 e o vetor v_1: 
v(84,21)=4,2*v_1 (20,5) 
Pois 4,2*20=84 e 4,2*5=21. Logo, os vetores apresentados formam combinação linear quando o escalar k_1 é
igual a 4,2 
A resposta correta é: v(84,21) e v_1 (20,5) 
 
.
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04/12/2020 Exercícios de Fixação - Tema 13
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/mod/quiz/review.php?attempt=2251990&cmid=599992 2/5
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Suponha, para esta questão, que haja um espaço vetorial simbolizado por V, no qual está contido um conjunto de vetores
com notação igual a C, e que é expresso por v(6,-2,1), v_1 (0,2,4) e v_2 (-1,4,0) . Deseja-se verificar a
possibilidade de independência linear entre estes vetores.
Assinale a opção que contém a informação correta.
 
Escolha uma opção:
a. Os vetores mencionados são LD para k_1=1 e k_2=5. 
 
b. Os vetores são linearmente independentes. 
c. Os vetores apresentados são linearmente dependentes quando há escalares que o multiplicam, com valor 
k_1=3 e k_2=4. 
 
d. Os vetores serão linearmente independentes apenas se neste conjunto estiver também incluso o vetor nulo.
Sua resposta está correta.
Se um conjunto de vetores é do tipo LI, ou seja, linearmente independente, é preciso que seja satisfeita a seguinte
equação: k_1*v_1+k_2*v_2+k_3*v_3+⋯+k_n*v_n=0
Ou seja, que a soma dos produtos entre um conjunto de escalares e um conjunto de vetores traga o vetor nulo como
resultado. Assim, temos: k_1*(6,-2,1)+k_1*(0,2,4)+k_1*(-1,4,0)=(0,0,0) 
O sistema linear associado a esta equação é dado por:
 6k_1+0k_2-1k_3=0 
{-2 k_1+2k_2+4k_3=0 
 k_1+4k_2+0k_3=0 
Ou seja, 
 6k_1+ 1k_3=0 
{ -2k_1+2k_2+4k_3=0 
 k_1+4k_2=0 
 
Isolando a variável k_3 da primeira equação, temos que: 
 
〖6k〗_1=k_3→k_1=k_3/6 
 
Substituindo o valor de k_1 na terceira equação, temos que: 
 
k_1+〖4k〗_2=0→k_3/6=-〖4k〗_2 
 
Se tomarmos k_1=2, por exemplo, teremos que k_3=12. 
 
E nesta circunstância, 
 
Efetuando a substituição dos valores destas variáveis na segunda equação, veremos o seguinte:
 
A equação apresentada é inválida , logo, apenas a solução trivial (0,0,0) poderá resolver este sistema. Assim, os vetores
são linearmente independentes.
 
A resposta correta é: Os vetores são linearmente independentes..
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04/12/2020 Exercícios de Fixação- Tema 13
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
As relações de dependência linear mostram se um conjunto de vetores pode apresentar alguma associação entre si.
Caso esta situação seja positiva, dizemos que estes vetores são linearmente dependentes, ou seja, relacionados entre si
por alguma forma de combinação linear.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012. 
Com base no conteúdo exposto, analise as afirmativas a seguir.
I. Um conjunto vetorial que contenha apenas um elemento é linearmente dependente em qualquer circunstância.
II. O vetor nulo é LI em relação a outros vetores inscritos em um mesmo conjunto onde o mesmo esteja inserido.
III. Se um vetor nulo está inscrito em um conjunto com mais de um vetor, os vetores deste conjunto serão do tipo LD. 
Agora, assinale a opção que contém as afirmativas corretas.
Escolha uma opção:
a. Apenas II.
b. Apenas I e III.
c. Apenas III. 
d. Apenas I e II.
Sua resposta está correta.
Dadas as propriedades de dependência linear entre vetores, entendemos que, quando há um conjunto de vetores, inscrito
em um espaço vetorial e que contenha mais vetores além do vetor nulo O, este conjunto (e, por extensão, os vetores que
o compõem) será linearmente dependente (LD) entre si. A propriedade é chamada ‘Conjunto com vetor nulo’. 
 
A resposta correta é: Apenas III..
Considere a existência de um espaço vetorial de notação V e de dimensão R³, ou seja, formado por três variáveis (x,y,z).
Neste espaço vetorial estão inclusos, dentro de um conjunto C, os vetores , e . Sabe-se, ainda, que neste conjunto estão
contidos outros vetores, do tipo LI.
Analise as opções a seguir e assinale a correta.
 
Escolha uma opção:
a. Os vetores mencionados são dependentes para 
 
b. Os vetores apresentados e inclusos no conjunto C são do tipo LD.
c. A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa. 
d. Se no conjunto C estiver incluso o vetor nulo, os vetores mencionados são LI.
Sua resposta está correta.
Pelas propriedades da dependência linear, temos que se um conjunto de vetores (ou seja, contido em um espaço vetorial
V) é linearmente independente (LI), logo, qualquer subdivisão de C também será LI. O exercício nos mostra que uma
subdivisão do conjunto C é linearmente independente; logo, os demais vetores nele contidos também serão do tipo LI.
 
A resposta correta é: A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa..
04/12/2020 Exercícios de Fixação - Tema 13
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Considere a existência de um espaço vetorial V, onde está inscrito um conjunto finito de vetores expresso por C. Em C,
estão contidos os vetores , e . Sabe-se que estes vetores apresentam uma combinação linear entre si.
Assinale a opção que demonstra corretamente os escalares que tornam possível esta combinação linear.
 
Escolha uma opção:
a. Os escalares e fazem com que os vetores mencionados gerem combinação linear entre si. 
 
b. Os vetores formam combinação linear quando e 
 

c. Os vetores mencionados não formam combinação linear em nenhuma circunstância.
d. Os vetores formam combinação linear quando k_1=1 e 
 
Sua resposta está correta.
Se os dois vetores apresentados, e e formam uma combinação linear de , é preciso que seja satisfeita a equação:
 
Assim, deve haver dois escalares () que formem a combinação linear. Logo, dadas as coordenadas dos vetores, é preciso
que seja válida a equação:
 
Pela propriedade do produto de vetores por um escalar, obtemos o seguinte:
 
Somando as coordenadas dos vetores, temos: 
 
Pela condição da igualdade entre vetores, cada coordenada do vetor deve ser igual à coordenada do vetor-resultado;
assim, podemos formar um sistema linear, da seguinte forma: 
 
 { 
 
A equação nos mostra a relação entre escalares:
 
Substituindo o escalar k_1 na primeira equação, temos o seguinte:
 
Retomando a relação entre escalares, temos que:
 
Portanto, podemos concluir que o vetor é uma combinação linear dos vetores e quando os escalares têm valor k_1=2
e 
A resposta correta é: Os vetores formam combinação linear quando e 
 
.
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